高阶差分的值分布

俞伟鹏， 叶亚盛

（上海理工大学理学院，上海 200093）

使用值分布理论的基本概念和标准符号，参见文献［1］和文献［2］.设f（z）和α（z）是两个亚纯函数，称α（z）是f（z）的小函数，如果T（r，α）＝S（r，f），其中当r→∞时，S（r，f）＝o（T（r，f）），除去一个有限对数测度集.

在差分理论中，将f′（z）差分模拟定义为Δcf（z）＝f（z＋c）－f（z），以及Δf（z）＝f（qz＋c）－f（z），其中对于f（k）（z）的差分模拟，定义为以及Δkf（z）＝Δk－1（Δf（z））.经过简单的计算，有

Hayman［3］提出了如下猜想：

上述猜想逐渐得到了证明，Hayman［1］证明了n≥3的情形，Mues［4］证明n＝2的情形，Bergweiler等［5］证明了n＝1的情形.

Hayman［3］也证明了如下结论：

定理2 设n（≥5）为正整数，a（≠0），b为两个有穷复数，f为复平面上的亚纯函数，如果f′－afn≠b，则f恒为常数.

最近，国内外很多文章聚焦于复域上的差分方程和Nevanlinna理论的差分模拟［6－11］，并且得到许多相关的结论.张继龙等［12］考虑了定理1的高阶差分对应，证明了如下定理：

首先改进了定理3：

利用差分的思想，考虑了定理2的高阶差分模拟.

还研究了一个高阶差分的唯一性定理：

1 引 理

为了证明本文的结论，需要如下几个引理：

引理1［13］设f是有穷级（记为ρ）超越亚纯函数，c∈＼｛0｝，则对于每个ε＞0，有

引理2［14］设f是非常数零级超越亚纯函数，q∈＼｛0｝，则

在下对数测度为1的集合上成立.

引理3［14］设f是非常数零级超越亚纯函数，q∈＼｛0｝，则

在下对数测度为1的集合上成立.

引理4［6］设f是复平面上的有穷级亚纯函数，c∈＼｛0｝，n∈N，则对于f的任意小函数a（z），有对所有的r成立，除去一个有限对数测度集.

引理5［1］设f是复平面上的亚纯函数，a1（z），a2（z），a3（z）是f（z）的3个小函数，则

引理6［8］设f是非常数零级亚纯函数，q∈＼｛0｝，则在对数测度为1的集合上成立.

引理8［15］设F和G是两个非常值亚纯函数，如果F与G分担1CM，则下面3个结论必有一个成立：

2 定理的证明

由于定理4的证明与定理5的类似，只证明定理4.

2.1 定理4的证明

设F（z）＝fn（z）Δkcf（z），则

再结合式（1）和式（2）以及引理1、引理5，得

2.2 定理6的证明

另一方面

则由式（3）和式（4）及第一、第二基本定理，得

即（n－k－3）T（r，f）≤S（r，f），这与n≥k＋4矛盾.因此，f恒为常数.

2.3 定理7的证明

假设f不是常数，则令

以下考虑两种情形：

情形1 Δkf（z）≡b.此种情况必有b≠0.

当q≠1时，Δkf（z）＝Δ（Δk－1f（z））＝Δk－1f（qz＋c）－Δk－1f（z），则是Δkf（z）的零点，这与Δkf（z）≡b≠0矛盾；

当q＝1时，f（z）不存在极点，否则若存在，记为z0，那么z0＋c，z0＋2c，…，z0＋kc中至少有一个是f（z）的极点，从而f的级至少是1，这又和条件矛盾，所以f（z）是零级超越整函数，于是Δkf（z）－afn（z）≡b－afn（z）也是零级超越整函数，则Δkf（z）－afn（z）取每个有穷复数无穷多次，这与条件矛盾.

这种情形与定理6的证明类似，此处省略.因此f恒为常数.

2.4 定理8的证明

4 T（r，f）＋4 T（r，g）＋S（r，f）＋S（r，g），即（n－5）T（r，f）≤4T（r，g）＋S（r，f）＋S（r，g），同理（n－5）T（r，g）≤4T（r，f）＋S（r，f）＋S（r，g）.

两式相加，并整理，有

（n－9）（T（r，f）＋T（r，g））≤S（r，f）＋S（r，g）这与n≥10矛盾.因此，由引理8有F＝G或FG＝1.

如果F·G＝1，则fn（z）Δkf（z）gn（z）·Δkg（z）＝d2.由于g是整函数，则零级超越整函数f与Δkf（z）没有零点，于是f（z）与Δkf（z）是非零常数.而由f是非零常数可知，Δkf（z）恒为零，矛盾.所以F＝G，即fn（z）Δkf（z）＝gn（z）Δkg（z）.

［1］ Hayman W K.Meromorphic functions［M］.Oxford：Clarendon Press，1964.

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