中国剩余定理在交换环上的推广

潘 桔, 陆 媛

(沈阳大学 师范学院, 辽宁 沈阳 110044)

我国古代算书《孙子算经》中有这样一个“物不知数”问题:“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?”[1]由现代数学语言描述,就是求整数n满足同余方程组

《孙子算经》中给出了它的解法,它可推广成一般的同余方程组求解. 其结果是:设m1,m2,…,mr是两两互素的正整数, 任给正整数a1,a2,…,ar必有正整数x使

x≡ai(modmi),i=1,2,…,r

有解. 这一结果被称为孙子定理, 也称为中国剩余定理[2].

中国剩余定理是我国古代数学家为世界数学的发展做出的巨大贡献, 在数论中占据重要地位, 它的思想在数论、多项式理论和编码学等方面有广泛的应用[3]. 本文讨论了这一定理在交换环上的几种推广形式, 并得到了比较圆满的结果.

1 交换环的相关理论

定义1[4]设p是环A的一个素理想, 则S=A-p是A的乘法封闭集, 用Ap来表示S-1A, 由A得到Ap的过程被称作局部化.

可以验证Ap是一个局部环.

定义2 设R是环,I1,I2是R的理想, 若I1+I2=R,则称I1和I2互素.

易知I1,I2互素⟺∃a∈I1,b∈I2使a+b=1.

定义3[5]设由A-模和A-模同态组成的序列

称为正合序列,如果Imfi=kerfi+1对每个i都成立. 其中Imfi表示映射fi的象集,kerfi+1表示映射fi+1的核．

引理1[6]123-135设A是维数为1的Noether局部整环,m是它的极大理想,k=A/m是分式域,则下列说法等价:

①A是离散赋值环;②每个理想都是m的幂;③存在x∈A,满足每个非零理想都是(xk)(k≥0)的形式.

引理2[6]125-127设A是维数为1的Noether整环,则下列条件等价:

①A整闭;②A中准素理想是素理想的幂;③Ap(p∈SpecA,p≠0)是离散赋值环.

2 中国剩余定理在交换环上的形式

定理1 设A是交换幺环,I1,I2,…,In是A的理想φ:A→A/I1×A/I2×…×A/In是环同态映射,∀x∈A,定义φ(x)=(x+I1,x+I2,…,x+In), 则φ是满射⟺Ii,Ij互素.

证明 若φ是满射, 则对于(1+I1,0+I2,…,0+In)∈A/I1×A/I2×…×A/In, 存在a∈A, 使

因此1-a∈I1,a∈Ii,i=2,3,…,n, 从而1=(1-a)+a∈I1+Ii. 故I1+Ii=A, 即I1与Ii(2≤i≤n)互素. 同理可证Ii与Ij(1≤i

反之,由I1+Ii=A知∃ai∈Ii, 使1-ai∈I1,(2≤i≤n). 设1-ai=bi∈I1. 令a=a2a3…an, 则

a=(1-b2)(1-b3)…(1-bn)=1+c,

其中c∈I1.

d=d1+d2+…+dn,

则有

即φ是满射.

定理2 设A是一个交换环(不一定含单位元),I1,I2,…,In是A的理想, 且

A2+Ii=A,Ii+Ij=A,∀i≠j.

如果b1,b2,…,bn∈A, 那么

(1) 同余方程b≡bi(modIi)在A中有解;

(2)c∈A,c≡bi(modIi)⟺b-c∈I1∩I2∩…∩In.

证明 (1) 由I1+I2=A,I1+I3=A,有

因为A=A2+Ii,i=1,2,…,n,于是A⊆I1+(I1+I2∩I3)=I1+I2∩I3⊆A,所以

A=I1+I2∩I3.

c-bi=(c-b)+(b-bi)=-a+ai∈Ii.

即有c≡bi(modIi).

定理3 设A是Dedekind整环,I1,I2,…,In是A的理想,x1,x2,…,xn∈A, 则同余方程x≡xi(modIi),(1≤i≤n)在A中有解⟺xi≡xj(modIi+Ij),(i≠j).

φ(x)=(x+I1,x+I2,…,x+In),

∀y∈Ap,φp(y)=(y+〈xk1〉,y+〈xk2〉,…,y+〈xkn〉), 那么ψp(φp(y))的(i,j)-分量为y-y+〈xki〉+〈xkj〉=0+〈xki〉+〈xkj〉,即ψp(φp(y))=0.所以Imφp⊆kerψp.

反之,∀(y+〈xk1〉,y+〈xk2〉,…,y+〈xkn〉)∈kerψp, 令km=max{k1,k2,…,kn}, 则yi-ym∈〈xki〉+〈xkm〉.故∃ai,bi∈Ap, 使yi-ym=-aixki+bixkm, 即

yi+aixki=ym+bixkm.

令y=ym+(b1+…+bm-1+bm+1+…+bn)xkm∈Ap, 则

y-yi=

[(b1+…+bm-1+bm+1+…+bn)xkm-ki+ai]xki∈

〈xki〉.

于是φp(y)∈kerψp. 从而kerψp⊆Imφp, 故Imφp=kerψp,∀p∈SpecA都成立.因此Imφ=kerψ. 这说明序列①正合.

进而有,若同余方程x≡xi(modIi), (1≤i≤n)在A中有解, 即存在x∈A, 使φ(x)=(x+I1,x+I2,…,x+In)=(x1+I1,x2+I2,…,xn+In), 则

ψ(φ(x))=ψ(x1+I1,x2+I2,…,xn+In)=0,

即xi-xj+Ii+Ij=0,(i≠j), 从而xi-xj∈Ii+Ij. 故xi≡xj(modIi+Ij),(i≠j).

反之,若xi≡xj(modIi+Ij),(i≠j), 则(x1+I1,x2+I2,…,xn+In)∈kerψ=Imφ.那么∃x∈A, 使φ(x)=(x1+I1,x2+I2,…,xn+In). 即x≡xi(modIi).

3 结 论

针对交换幺环、不一定含单位元的交换环和Dedekind整环分别讨论了中国剩余定理在其上的推广形式,并且对不同的同余方程组给出了其有解的充要条件.中国剩余定理在三种交换环上的推广形式可以使其更方便地应用于定义在交换环上编码的研究中.

参考文献:

[1]姜春燕. 中国剩余定理探析[J]. 武警学院学报, 2005,21(3):89-91.

(Jiang Chunyan. The study of the Chinese Remainder Theorem[J]. Journal of the Chinese People’s Armed Police Force Academy, 2005,21(3):89-91.)

[2]张丽清. 中国剩余定理的应用[J]. 科教导刊, 2010(15):48-50.

(Zhang Liqing. The Application of the Chinese Remainder Theorem[J]. The Guide of Science & Education, 2010(15):48-50.)

[3]高恩伟,张金霞. 关于W. Y. Veléz猜想[J]. 数学杂志, 2000,20(4):27-31.

(Gao Enwei, Zhang Jinxia. On W. Y . Veléz’s Conjecture[J]. Journal of Mathematics, 2000,20(4):27-31.)

[4]范德·瓦尔登. 代数学Ⅰ[M]. 丁石孙,等译. 北京:科学出版社, 2009:46-51.

(Van der Waerden B L. AlgebraⅠ[M]. Ding Shisun, et al, trans. Beijing: Science Press, 2009:46-51.)

[5]乔浩. 中国剩余定理的应用[D]. 北京:北京大学, 2006:15-19.

(Qiao Hao. The Application of the Chinese Remainder Theorem[D]. Beijing:Peking University, 2006:15-19.)

[6]Atiyah M F, MacDonald I G. Introduction to Commutative Algebra[M]. New York: Addsion-Wesley Publishing Company, 1982.