非对称结构振型向量的海森阵算法

2014-03-26张淼

长春工业大学学报 2014年2期

张淼

（长春工程学院理学院，吉林长春 130012）

0 引言

目前在最优化领域中，多元函数的海森阵及多元函数的二阶泰勒展开式已经得到广泛应用，但关于多元向量值函数的海森阵问题的讨论，一直很少有文献提及，实际上海森阵问题构成需要计算向量值函数的二阶导数。自1965年发展至今，有关对称系统振型向量一阶导数的计算无论从算法到应用都已相当成熟［1－2］，相关的一阶泰勒展开式也随之发展应用。但非对称系统的振型向量二阶导数问题一直没有很好的解决方案。导数问题在工程中也称为灵敏度问题，文献［3］提出了针对非保守系统的灵敏度分析方法，文献［4］综述了计算各种振系模态灵敏度的统一算法，文中在此基础上，首先给出了多元向量值函数的海森阵定义，然后提出了非对称系统振型向量的海森阵算法，并形成了非对称系统正则固有振型在设计参数发生扰动后的二阶泰勒近似算法，为工程应用提供可靠且高效的算法基础。

1 多元函数的海森阵

对于多元函数f（x），其中，x＝（x1x2…xn）T，f（x）的一阶导数称为它的梯度

式中：o（‖x－x（0）‖2）——高阶无穷小。

仿此，下面给出多元向量值函数的海森阵概念及算法。

2 多元向量值函数的海森阵

若u＝（u1（b），u2（b），…，uN（b））T每一维分量均为向量b＝（b1，b2，…，bq）T的函数，因此，u＝（u1（b），u2（b），…，uN（b））T是多元向量值函数，下面考虑它的二阶导数及海森阵算法。

定义1 设多元向量值函数u＝（u1（b），u2（b），…，uN（b））T的二阶偏导数为：

则u＝（u1（b），u2（b），…，uN（b））T的海森阵为：

若记

那么海森阵还可改写为

事实上，多元向量值函数的海森阵只是一个矩阵形式而已，而并不能构成通常意义上的矩阵，因它的每个元素仍是向量，但它可方便用于向量值函数的二阶泰勒展开，因此仍可沿用海森阵的名称。

3 振型向量的海森阵算法及应用

对N自由度的线性离散振动系统的运动方程为：

式中：M——对称系统的质量矩阵，M∈RN×N；

C——对称系统的阻尼矩阵，C∈RN×N；

K——对称系统的刚度矩阵，K∈RN×N。

结构有限元分析时，作拉普拉斯变换x（t）＝u ewt＝u eiωt（w＝iω）代入式（2）可得（w2Mu＋w Cu＋Ku）ewt＝0。令C＝0，则无阻尼固有频率（i＝1，2，…，N，w2＝－ω2）与振型向量为ui（i＝1，2，…，N），满足无阻尼特征方程

为表达方便，记λi＝－（i＝1，2，…，N），上式可写成

实际上，方程（3）是关于矩阵M和K的广义特征问题。

研究在设计参数变化时所引起的振型的变化具有广泛的应用。由于在设计参数发生微小变化时，结构动力特性和动力响应可能会引起很大的变化，在工程中用导数来反映这种变化的程度，有时也称为灵敏度分析。因此，这一领域的研究在结构动力分析、识别、修改、模态分区及振动控制和优化设计等工程问题中扮演了重要的角色。例如现实工况中设计参数不得不面对损伤，探测及锈蚀等变化，所以人们若不正视在特定环境下的这种变化所引起的严重反映，就可能直接影响着结构系统的稳定性［5］。另一方面，由于泰勒展开式在设计参数发生扰动后结构参数随之发生扰动的幅度的计算中具有良好的应用性，因此，计算结构参数及模态参数的各阶导数更加成为一个关键环节，但目前灵敏度计算所能达到的应用水平却很低，许多有限元程序分析软件中关于导数的使用最多的表达式仍然是差分格式，Ansys中的灵敏度分析实际上是将变量变动1%，然后重新计算变动后的函数值，再用一阶和二阶差分来作为近似导数，这需要多次重复地计算，因此，文中的研究具有较好的应用价值。

对于N自由度的线性离散振动系统（2），若其在设计、修正和动力分析过程中可以被设计参数向量b＝（b1，b2，…，bq）T所描绘，系统的性质矩阵乃至振型向量均可看成是设计向量的函数，相应地特征方程（3）应为（b）u（b）＋λ（b）M（b）u（b）＝0，为了讨论方便，以下仍记为如式（3）的形式。考虑系统的初始状态，即设计参数取值为b（0）＝时，若取得设计参数的微小扰动Δb＝（Δb1，Δb2，…，Δbq）T时，那么振型会产生多大的扰动呢？与有关多元函数的泰勒展开方法类似，工程中也考虑在设计参数的初始位置处对振型作二阶泰勒近似