参数已知下比例函数系数线性模型的局部多项式估计

常克亮， 陈贵景

（山西大同大学数学与计算机科学学院，山西大同 037009）

0 引 言

函数系数模型是由Tibshirani和Hastie［1］在1993年提出的，由于函数系数模型里面存在的维数问题产生了很多不便，由此出发，统计专家们对其进行了研究，提出来很多不同的解决办法，文献［2-5］都有体现。文献［6］提出了如下模型：称为比例函数系数线性模型。其中Y是因变量，X＝（X1，X2，…，Xp）T和Z＝（Z1，Z2，…，Zp）T是自变量，X与Z的独立性不确定；但是ε独立于X和Z，且E（ε）＝0，Var（ε）＝1；假定σ（·，·）是从R2p到R的确定可测函数；g（·）是从R到R的一个未知可测函数；Cα（γ），（α＝1，2，…，p）是参数γ的已知函数，γ＝（γ1，γ2，…，γp）T的可知性不清楚，现在来考虑在假设γ已知的条件下，讨论系数函数局部多项式估计及其渐近正态性，记

1 估计和渐近正态性

由局部多项式思想来求解：

即关于｛aα，α＝1，2，…，p｝和｛bα，α＝1，2，…，p｝的极小值，设~gα（x）是使式（2）达到极小化的解的前p个值，由局部多项式思想：

可见，x＝（x1，x2，…，xp）T，eα，2p是单位向量，它的维数为2p，而且第α个分量为1，U是一个矩阵，维数是n×2p，U的第i行是

易知W＝diag（W11，W22，…，Wpp），Wii＝Khα（Xiα－xα）是W的第i个对角线元素，Xiα，Ziα分别是Xα和Zα的第i个观察值，Khα（·）＝K（·／hα），K（·）是一个概率密度函数，而且有紧支撑，并关于0对称，有界非负的Lipschitz连续的，hα＝hnα＞0是窗宽。

条件：

A1：X的联合密度p（x）以及Xα的边际密度pα（xα）是有紧支撑的，有界的，而且是Lipschitz连续的；

2 证 明

引理1 令

在假设A1和A2都成立的条件下有：

从而

引理2 令Mn，r（x0）＝（Mn，r，λ（x0））pλ＝0，在假设A1和A2都成立的条件下有：

从而

引理3 令Qn，r（x0）＝（Qn，r，λ（x0））pλ＝0，在假设A1和A2都成立的条件下有：

从而

而

由引理1、引理2和引理3得：

3 结 语

把局部多项式方法用到了比例函数系数线性模型的估计中，得到系数函数的局部多项式估计，并且讨论了估计的渐近正态性。

［1］ Hastie T，Tibshirani R.Varying-coefficient models［J］.Statist.Soc.B，1993，55（4）：757-796.

［2］ Cai Z，Fan J.Avreage regression surface for dependent［J］.Multivaraiate Anal，2000，75：112-142.

［3］ Cai Z，Fan J，Yao Q.Function-coefficient models for nonlinear time series［J］.American Statist，As-soc，2000，95：451.

［4］ Fan J，Zhang J.Two-step estimation of functional lineat models with applications to longitudinal data［J］.R.Statist，2000，62B：303-322.

［5］ Zhang R Q，Li G Y.Avreage estimation of function-coefficient regression models with different smoothing variables［J］.Statistics ＆Probability，2007，77：455-461.

［6］ 张日权，卢一强.变系数模型［M］.北京：科学出版社，2004.

［7］ 常克亮，陈贵景.参数已知下比例函数线性模型的平均估计［J］.佳木斯大学学报：自然科学版，2012（6）：917-919.

［8］ 施三支，赵鸣霖.一阶双重线性时间序列模型的参数估计［J］.长春理工大学学报：自然科学版，2004（1）：64-68.