相对保幅的抛物线Radon变换法地震道重建

李晶晶,孙成禹,谢俊法,张晓钊

(中国石油大学(华东)地球科学与技术学院,山东青岛266580)

在地震资料野外采集中,由于受到施工条件(如地形、地貌)的限制或地震资料采集的孔径效应，以及检波器可能出现故障等因素的影响,采集数据中某些测线方向上会出现地震记录道间距过大或道缺失的情况。数据缺失不仅意味着信息丢失,还可能在后续的处理过程中产生不必要的噪声和假频。其中,波动方程偏移、与地表相关的多次波衰减及谱估计等基于多道处理算法的处理过程都将受到很大的影响[1-2]。

Hampson[3]在1986年提出近似双曲线的CMP道集经过部分NMO校正后近似为抛物线;1995年Kabir和Verschuur[4]提出采用抛物Radon变换法恢复缺失地震道,大约要迭代25次,计算效率低。对于叠前缺失地震道的恢复或插值,目前有预测误差滤波法地震道插值、基于插值的倾角时差校正、倾向-样条插值法等。这些方法一般要求较精确的NMO速度,且当有噪声或倾斜同相轴存在时,可能会引入假同相轴[2]。黄新武等[2]2003年提出了基于抛物线Radon变换的地震道重构,但所需迭代次数较多,且对远偏移距数据的恢复有一定的误差。王维红等[5]2005年提出道均衡抛物线Radon变换法来进行地震道重建,极大地减少了重建过程中正、反Radon变换的次数,但是由于采用固定的道均衡系数,在对存在AVO现象的地震数据进行重构时,远偏移距数据的重建误差较大。

为此,我们提出了同时考虑AVO响应特征和道均衡系数的抛物线Radon变换地震道重建方法,该方法只需很少的迭代次数便能实现缺失数据的相对保幅重建,计算效率高,且对不同偏移距条件下的缺失地震道均能保证较高的重建精度。

1 方法原理

1.1 抛物线Radon变换对及其可逆性分析

Hampson[3]于1986年提出离散抛物线Radon变换,其频率域的正变换与反变换形式为[5-9]

其中,M(ω,q)和D(ω,x)分别表示抛物线Radon变换域中的数据m(τ,q)和偏移距-时间域数据d(x,t)的傅里叶变换。对于每一个频率分量,将(1b)式写成矩阵的形式为

(2)

通过求解(2)式可以得到Radon正变换公式。然而nx与nq不一定相等,实际情况中一般有nx>nq,得到正变换的最优解为[9-11]

(3)

其中,RH为矩阵R的共轭转置;λ2为阻尼因子,其值一般为0.1～1.0[11]。我们使用如下抛物线Radon变换对:

把(4b)式代入(4a)式,得到

(5)

考虑λ2比较小,有(RHR+λ2I)-1RHR≈I,所以M≈M,说明(4)式的抛物线Radon变换对可以近似认为是可逆的。因而,经过抛物线正、反Radon变换的数据基本上不发生变化,这是进行缺失道重建的理论前提。

1.3 统计学方法 采用Epidata 3.0软件和SPSS 17.0统计软件进行数据的录入与处理。计数资料以人数、百分比描述；计量资料以x±s描述；采用单样本t检验，配对t检验，Pearson 相关分析和分层回归分析进行统计分析。检验水准α=0.05。

1.2 抛物线Radon变换的离散采样

在缺失道的重建中,为了避免假频,需要选择合理的离散采样参数[12]。根据有关信号理论,可得曲率参数q的临界采样率应该满足[2]

(6)

曲率参数q的扫描范围满足[9]

(7)

1.3 相对保幅道均衡方法的基本原理

为了清楚地说明地震记录的AVO特征,给定如图1所示的速度模型,通过波动方程正演,得到如图2所示的炮记录。提取炮记录中的反射波振幅得到如图3所示的振幅曲线。由图3中的曲线可以看出:随着炮检距的变化,反射波的振幅也是变化的。因此,在选取道均衡系数时,需要同时考虑振幅随偏移距的变化,这样才能在重建过程中很好地保持各道之间振幅的相对变化关系,进而达到对不同偏移距条件下的缺失道实现相对保幅重构的目的。

图1 速度模型

图2 速度模型正演炮记录

图3 正演炮记录中提取的反射波振幅曲线

根据帕斯瓦尔定理知:傅里叶变换前、后,信号在时间域的能量与其在频率域的能量成正比[13]。在缺失地震道重建的迭代过程中,初步迭代结果与模拟道之间有很好的相似性,振幅谱存在一定比例的差异[5],所以在迭代过程中,利用道均衡系数进行加权,可以减少迭代次数。

缺失道附近未缺失地震道的平均振幅[5]为

(8)

其中,A0i是缺失地震道附近未缺失地震道的平均振幅;N为每道采样点数;fi,j为时间域数据。通过(8)式计算的平均振幅,内插或外推得到缺失地震道处的平均振幅Amk。设部分重建道中,缺失道的平均振幅为

(9)

其中,i,k为道序号;j为时间序列号。由(9)式和Amk可以得到第k道的道均衡系数值为

(10)

(11)

迭代过程中按照(11)式进行道均衡,可以减小迭代次数从而极大地提高计算效率。此外,由于道均衡系数的选择考虑了振幅随偏移距的变化,所以该方法对不同偏移距下的缺失道均有较好的重建效果。

2 模型试算和实际资料处理

2.1 模型试算

2.1.1 近偏移距地震道的重建

图4给出了对图1所示速度模型进行波动方程正演得到的共中心点道集。该道集共150道;道间距100m;每道1001个采样点;采样间隔2ms。将其中的15道近偏移距数据置0(图5)。利用本文方法对15道缺失数据进行重建,并求取重建前、后数据的差值进行比较,如图6所示。图6a是重建后的道集;图6b是重建后数据与图4原始数据的差值。从图6b可以看出,重建得到的数据与原始数据之间误差很小,数据重建精度较高。

为了进一步证明该方法可以很好地实现近偏移距缺失道的重建,我们分别抽取重建前、后数据的第10道进行对比分析[14]。图7为二者的波形对比图,可以看出,重建数据与原始数据的波形吻合程度较高,地震波的频率、相位、振幅均得到了很好的恢复。

2.1.2 远偏移距地震道的重建

将图4正演共中心点道集中的15道远偏移距数据置0,形成远偏移距数据缺失道集(图8),利用本文方法对15道缺失数据进行重建的结果如图9所示。图9a 为重建后的道集;图9b为重建后数据与原始数据的差值。图10为重建前、后道集中第135道数据的波形对比图。从图10可以看出,重建数据与原始数据的吻合程度较高,以此证明了本文方法能很好地实现远偏移距缺失地震道的相对保幅重建。

图4 波动方程正演共中心点道集

图5 近偏移距15道数据缺失的正演CMP道集

图6 近偏移距缺失数据重建后的正演CMP道集(a)及其与原始数据的差值(b)

图7 正演CMP道集近偏移距第10道数据重建前、后的波形对比

图8 远偏移距15道数据缺失的正演CMP道集

图9 远偏移距缺失数据重建后的正演CMP道集(a)及其与原始数据的差值(b)

2.2 实际资料处理

图11为国内某探区实际地震资料的一个CMP道集,其最大炮检距为4150m;最小炮检距为150m;道间距为100m;共41道数据;每道1251个采样点;时间采样间隔为4ms。

2.2.1 近炮检距地震道的重建

将图11所示实际CMP道集的4个近炮检距道置0(图12),利用相对保幅的抛物线Radon变换法对缺失数据进行重建(图13a)。为了能直观地分析数据重建的误差,分别从原始数据、重建后数据中抽取目标地震道并作差值比较分析(图13b)。在图13b所示的波形图中,左边是原始数据中的目标道;中间是相应重建后的地震道;右边是二者的差值。从图13b可以看出,重建前、后的数据比较接近,证明本文方法能很好地实现实际地震资料近偏移距缺失地震道的相对保幅重建。

图10 正演CMP道集远偏移距第135道数据重建前、后的波形对比

图11 实际地震资料共中心点道集

图12 将4个近炮检距道置0后的实际CMP道集

图13 近偏移距4道缺失数据重建后的实际CMP道集及重建前、后误差分析a 重建后的道集; b 重建前、后地震道及二者的差值

2.2.2 远偏移距地震道的重建

将图11所示实际CMP道集的4个远偏移距道置0(图14)。图15a为采用本文方法重建后的道集;图15b中由左向右依次为:原始数据中的目标地震道、相应的重建道以及二者的差值。由图15b 分析可知,缺失数据重建误差较小。由此证明了本文方法能高效地实现实际资料远偏移距缺失地震道的重建。需要说明的是,在图15中1.5～1.7s处,原始数据的值为0,而重建数据不为0,“多出来的数据”并非噪声,而是对浅层同相轴的重建,如果我们不希望这些“多出来的数据”存在,可以根据原始数据的零值范围将其压制。

图14 将4个远偏移距道置0后的实际CMP道集

图15 远偏移距4道缺失数据重建后的实际CMP道集及重建前、后误差分析a 重建后的道集; b重建前、后地震道及二者的差值

3 结束语

利用相对保幅的抛物线Radon变换法对模型数据及实际地震资料进行缺失地震道重建,通过重建前、后的误差分析可知:

1) 频率域抛物线Radon变换对可以近似认为是可逆的,经正、反变换后数据基本不发生变化,这是采用频率域抛物线Radon变换进行缺失地震道重建的理论基础;

2) 将抛物线Radon变换与道均衡技术相结合,根据实际地震资料中的AVO现象对不同偏移距的重建地震道采用不同的均衡系数，可以加快重建数据向实际数据逼近的速度并提高数据重建的精度;

3) 正演数据和实际地震资料的试算结果表明，该方法对于叠前地震资料中不同偏移距条件下的缺失地震道均能实现相对保幅的高效重建。

参 考 文 献

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