数值推理的扩展研究

王彦达

(湖北省武汉市第二中学 430000)

题目：

(1)2，3，4，5，6，7，( )；

(2)5，7，9，11，13，( )；

(3)4，6，8，10，12，( )；

(4)9，16，25，36，49，( )；

(5)8，27，64，125，216，( ).

参考答案

(1)很明显是基于自然数的序列，所以括号值为8.

(2)很明显是基于奇数排列的，所以括号值为15.

(3)很明显是基于偶数排列的，所以括号值为14.

(4)该数列第一数9表示32，第二个数表示为42，因而表示为自然数的平方，所以括号值为64.

(5)该数列第一个数8可以表示为23，第二个数27可以表示为33，以此类推，所以括号值表示为73，即343.

这是很容易看出规律的数值推理方面的试题，但是在实际命题过程中，不一定通过一步推理就可以得到.以第一个数列为例，2, 3, 4, 5, 6, 7,…这样的数列只需要执行加1计算即可，我们必须掌握多步数值推理的思考能力，从而提高我们解答这类题的技巧.

1.基于公差与公比的数列推理

(1)5，10，17，26，( )；

(2)7，9，( )，21，37；

(3)8，9，0，-25，-72，( )；

(4)2，7，24，77，( ).

分析用常规的加减与平方立方无法求解，这里我们就需要从数与数之间的差值发现规律.

解(1)可以看出，相邻两数之差是有规律的，差值分别是5，7，9，…，即xn+1-xn= 2(n+1)+1=2n+ 3.则x5-x4=11，x5=26+11=37.

(2)观察数列，括号值正好在数列的中间，数列从差值来看，最前面的差值为2，最后面的差值为16，从差值的数列来看，我们发现一共有4个数，这里面可以采用很多方法来解决，第一差值为2，最后一个差值为16，相差14，我们可以提出两个假设：

假设1 对差值数列基于平均值求解，将其看作为等差数列，数与数之间的差值为14/3，因而第二个差值为20/3，括号里面的值即为20/3+9=47/3，第三个差值为20/3+14/3=34/3，则对应数列第4个数应该是括号里面的值加第三个差值，得47/3+34/3=27，不等于对应数列第4个数，第4个数为21，所以假设1是不成立的.

假设2 对差值数列进行等比值求解，将其看作为等比数列，数与数之比为2，即第一个差值为2，则后面的一个差值为4，第三个差值为8，最后一个差值为16，基于该假设，括号内的值应该为9+4=13，则对应原来数列第4个数应该为13+8=21，正好满足条件，则括号内的值为13.

(3)我们发现数列第一个数是正数8，到了最后出现负数，数列对应的数值是呈现下降的趋势，但是从一次差值分析(8，9，0，-25，-72，x6)对应差值为(1，-9，-25，-47，x6+72)，依然未发现规律.因此思考是不是二次差值排列能发现规律.将(1，-9，-25，-47，x6+72)进一步进行差值排列得到(-10，-16，-22，x6+119)，发现差值为-6，即x6+119+22=-6，x6=-147.

(4)通过观察，发现 7=2×3+1；24=7×3+3；77=24×3+5.从这个表达式里面可以看出，后面一个数等于前面一个数乘以3加上一个奇数得到，因而括号内的值可以表示为77×3+7=238.

2.基于次方变化的数值推理

(1)32，81，64，25，6( )；

(2)15，35，63，99，( )；

(3)4，16，49，121，( ).

分析从(1)(2)(3)可以看出，数与数大多都是平方、立方或者多次方的值，比如32可以表示为25，而121可以表示为112，还有64可以表示为43，很明显这样一组数列满足多次方有关的规律.

解(1)进行最小质数分解[3]，可以发现32=25；81=34；64=43；25=52，6=61，则x6=70=1.

(2)我们发现15，35，63，99这样的数列，每一个数加1，正好可以表示为自然数的平方，得到16，36，64，100，即表示为42，62，82，102.这些平方的底数是按照等差数列排列的，即4，6，8，10，也就是说括号内的值表示为122=144，减1得到答案143.

(3)4，16，49，121这几个数都是对应自然数的平方，即表示为22，42，72，112.这样还是看不规律，但是从xy的底数看出规律：4-2=2；7-4=3；11-7=4.求解底数之差，发现它们是等差数列，则括号内的数也是自然数的平方和，底数与前一个自然数差为5，对应底数表示为11+5=16，则括号内数值为162，即256.

通过上述的数值推理的举例，我们会发现加减乘除在一般数值推理中是很基础的，但是也十分重要，复杂的数值推理也是由数的加、减、乘、除运算找到规律的.很多规律的发现不是一步推理得到，可以将数表示为含有参数函数，也可以表示为某几个数的序列发现其中的规律，在具体的看似无规律数值分析中，我们不能忽略任何细节，只要解决了一部分的规律推测，即可用于数列的分析.

参考文献：

[1]沈恒.关于等比数列中是否存在共项成等差的理论证明[J]. 福建中学数学,2012(5):23 -24.

[2]胡辉,雷明, 杨保亮. 利用查找表的动态载波环路增益控制算法[J]. 河南科技大学学报:自然科学版,2015(2):49 -53.

[3]丁学明.分解质因数的妙用[J]. 课堂内外:智慧数学,2014(2):36 -37.

[4]肖凌戆.高中数学“ 优效教学” 的规则课型研究:以等差数列性质的探究为例[J]. 中国数学教育,2014(12):22 -25.