基于退化量分布的可靠性建模方法

贺英政，王浩伟，杨 坤

（海军航空工程学院a.训练部；b.研究生管理大队；山东烟台264000）

对产品退化数据进行分析和建模的方法主要有：基于退化轨迹的方法[1-3]，基于随机过程的方法[4-6]和基于退化量分布的方法。从建模理论上分析，前2 种方法应比基于退化量分布方法的预测精度要高。因为后者不但要对若干测量时刻的退化量分布族类型作出判断，还要对分布族参数的时间函数作出预测，更为关键的是各测量时刻的退化量可能不最优服从同一分布类型。然而，当产品个体之间的退化轨迹相差较大，无法使用前2 种建模方法对退化数据进行较好拟合时，基于退化量分布的方法因具有不区分个体退化差别的特点而具有较高的可信度。

Nelson[7]首先研究了基于退化量分布的方法，并应用对数正态分布对同一观测时刻的退化量进行建模。Wang 等[8]使用同样的方法对感应电动机的加速退化数据进行分析，并假设其尺度参数与时间有关而形状参数与时间无关。赵建印等[9]通过失效物理分析推导出了某电容器产品的退化量服从正态分布，并基于此进行了可靠性评估。邓爱民等[10]对基于退化轨迹和基于退化量分布的2种方法进行了系统的介绍。钟强晖等[11]认为产品各个检测时刻的退化量可能服从不同的分布族，通过选择分布类型确定其可靠度值，最后使用三参数威布尔分布对产品寿命进行了分析。

本文提出了通过拟合优度检验选择退化量分布族及通过数据拟合确定分布族参数的方法。以某金属产品的裂纹退化数据为例，详细阐述了所提出方法的具体应用过程，并验证了方法的有效性和准确性。

1 可靠性建模分析

基于退化量分布的可靠性评估方法将样品性能退化量看作随机变量，把各样本在同一时刻的退化数据认为是该随机变量的一组实现，从退化量分布的角度来描述样品的退化过程。在产品退化早期，退化量分布曲线的涵盖范围离失效阈值较远，此时产品可靠性近似为1。随着产品退化的发展，退化量分布曲线接近并涵盖失效阈值，产品的可靠性逐渐降低，其过程如图1 所示。所以，如能对每个测量时刻的退化量分布进行准确建模，就可对产品的可靠性进行评估。

图1 基于退化量分布的统计分析Fig.1 Statistical analysis based on degradation amount distribution

基于退化量分布的可靠性建模基于以下假定。

假定1：退化量分布族假定。所有样品在若干测量时刻的退化量服从同一分布族，但分布族的参数可能随时间有所变化。

假定2：分布族参数假定。分布族参数可表示为时间t的函数，并且如果存在加速应力，分布族参数可表示为时间t和加速应力S的函数。

假定3：产品失效假定。样品的失效阈值l为一常量，当样品退化量X(t)首次达到失效阈值时，定义为样品失效，样品寿命ξ=inf(t|X(t)≥l)服从某一寿命分布类型。

2 可靠性建模

根据测量时刻的退化量确定分布族类型，文献[4]中使用失效物理分析的方法推导出了分布族类型，本文使用拟合优度比较的方法选择退化量最优的分布族类型。总结以往文献用到的分布族类型，将正态分布、对数正态分布、威布尔分布和伽玛分布作为4个备选分布族类型。假设在各测量时刻，所有样品的退化量X(t)为相对于初始值的退化增量，满足X(0)=0，且X(t)服从正态分布X(t)∼N(μ(t),σ2(t)) ，μ(t)和σ2(t)分别为均值和方差，且有μ(0)=0 和σ(0)=0。设样品的失效阈值为l，则可得t时刻样品的可靠度为

式中，Φ(∙)为标准正态分布函数。

考虑到非线性情况，使用时间t的幂率函数表示均值和方差：

式中，a、b、c、d待定系数。

将式（2）代入式（1）中，得到可靠度函数为

3 参数估计

假设每次对n个样品在同一时刻进行退化量测量，xij（i=1,2,…,n;j=1,2,…,m）表示第i个样品第j次测量时的退化量，tj表示第j次测量的时刻，μj表示第j次测量时的退化量均值，表示第j次测量时的退化量方差。则有：

将式（4）代入式（2），可得：

对式（5）中的两个等式求对数，可得：

4 实例应用

文献[12]提供了某金属产品21 个样品的裂纹尺寸增长数据，每组数据的测量间隔为百万次运行周期，本文使用了其中前11 组数据，具体内容如表1 所示。所有样品的裂纹初始值都为0.90，设当裂纹数据增长到1.30时产品失效。

表1 裂 纹尺寸增长数据Tab.1 Increment data of crack size

求出以上11列数据与裂纹初始值之间的差值，使用Anderson-Darling 统计量[13-15]对11 列差值进行拟合优度检验，确定各列所服从的最优分布族类型。最优服从正态分布的是第1、3、5、6、10 列，最优服从威布尔分布的是第2、4、7、8 列，最优服从伽玛分布的是第9列，最优服从对数正态分布的为第11列。其中，第5列的拟合优度检验情况如图2所示。

图2 拟合优度检验Fig.2 Goodness-of-fit test

根据拟合优度检验结果，分别假设各列数据服从正态分布和威布尔分布进行参数估计和可靠性评估。

1）假设服从正态分布。通过式（4）解得均值和方差，其变化轨迹见图3。并利用式（6）得到各系数的最小 二 乘 估 计 为可靠度函数可确定为

图3 均值与方差的变化轨迹Fig.3 Changing path of the mean and variance

图4 尺度参数与形状参数的变化轨迹Fig.4 Changing path of the scale and shape parameters

从图4 中可看出，形状参数不是时间t的单调函数，设形状参数为与t无关的常数m，其估计值mˆ取为 均 值4.076。设η(t)=a∙tb，得 最 小 二 乘 估 计，可靠度函数可确定为

为了对以上2 种假设下的可靠性预测值进行验证，可计算出每列数据在最优分布族下的可靠度值，如表2所示，并以此为基准进行预测结果比较，可靠性预测曲线如图5所示。

表2 最优分布族下的可靠度值Tab.2 Reliability at the best fitting distribution type

图5 可靠度预测值比较Fig.5 Compare between different reliability predictions

由图5 可知，假设退化量服从正态分布和假设退化量服从威布尔分布的可靠度预测结果几乎一致，这说明如果在这2 个分布族之间发生误指定，对预测结果的影响很小，并且2 种假设下的预测曲线与表2 中的可靠度值拟合曲线非常接近，可认为通过2 种假设所得的可靠度预测值都是可信的。

5 结束语

基于退化量分布的可靠性建模方法为长寿命、高可靠性产品的可靠性评估提供了一种新思路，尤其适用于产品个体间的退化轨迹相差较大的情况。本文通过数据拟合的方法做出了对退化量分布族和其参数的假定，结果证明这种处理方法具有较高的准确度和可信度。

[1] WANG F，CHU T. Lifetime predictions of LED-based light bars by accelerated degradation test[J]. Microelectronics Reliability，2012，52（7）：1332-1336.

[2] 马小兵，王晋忠，赵宇.基于伪寿命分布的退化数据可靠性评估方法[J].系统工程与电子技术，2011，33（1）：228-232.

MA XIAOBING，WANG JINZHONG，ZHAO YU. Reliability assessment using constant-stress accelerated degradation data based on pseudo life distribution[J].Systems Engineering and Electronics，2011，33（1）：228-232.（in Chinese）

[3] 朱天文，王宏力，陈坚，等.基于退化轨迹未知的多退化量可靠度预测方法[J].传感器与微系统，2013，32（2）：53-56.

ZHU TIANWEN，WANG HONGLI，CHEN JIAN，et al.Reahability prediction method of mutliple degradations based on unknown degradation paths[J]. Transducer and Microsystem Technology，2013，32（2）：53-56.（in Chinese）

[4] WANG X.Wiener processes with random effects for degradation data[J]. Journal of Multivariate Analysis，2010，101（2）：340-351.

[5] LAWLESS J F，CROWDER M J. Covariates and Random Effects in a Gamma Process Model with Application to Degradation and Failure[J]. Lifetime Data Analysis，2004，10（3）：213-227.

[6] 卢华兴，刘学军，晋蓓.基于随机过程的格网DEM 精度场模型[J].测绘学报，2012，41（2）：273-277.

LU HUAXING，LIU XUEJUN，JIN BEI. Stochastic process based accuracy field model for grid DEM[J]. Acta Geodatica et Cartographica Sinia，2012，41（2）：273-277.（in Chinese）

[7] NELSON W B.Analysis of Performance Degradation Data From Accelerated Tests[J]. IEEE Transactions on Reliability，1981，30（2）：149-150.

[8] WANG W D，DAN D D. Reliability Quantification of Induction Motors Accelerated Degradation Testing Approach[C]//Proceedings Annual Reliability and Maintainability Symposium.2002：325-331.

[9] 赵建印，刘芳. 产品加速退化失效模型与统计分析[J].哈尔滨工业大学学报，2008，40（12）：2088-2090.

ZHAO JIANYIN，LIU FANG.Models and statistical analysis for accelerated degradation test[J]. Journal of Harbin Institute of Technology，2008，40（12）：2088-2090.（in Chinese）

[10]邓爱民，陈循，张春华，等.基于性能退化数据的可靠性评估[J].宇航学报，2006，27（3）：546-552.

DENG AIMIN，CHEN XUN，ZHANG CHUNHUA，et al.Reliability assessment based on performance degradation data[J]. Journal of Astronautics，2006，27（3）：546-552.（in Chinese）

[11]钟强晖，张志华，王磊.考虑模型选择的退化数据分析方法[J].系统工程，2009，27（11）：111-114.

ZHONG QIANGHUI，ZHANG ZHIHUA，WANG LEI.Approach about degradation data analysis considering model selection[J]. Systems Engineering，2009，27（11）：111-114.（in Chinese）

[12]MEEKER W Q，ESCOBAR A.Statistical methods for reliability data[M]. New York：John Wiley & Sons，1998：566-623.

[13] GRACE A W，WOOD I A.Approximating the tail of the anderson-darling distribution[J]. Computational Statistics&Data Analysis，2012，56（12）：4301-4311.

[14]THAS O，OTTOY J P.Some generalizations of the anderson-darling statistic[J]. Statistics & Probability Letters，2003，64（3）：255-261.

[15] HEO J H，SHIN H J，NAM W S，et al.Approximation of modified Anderson-darling test statistics for extreme value distributions with unknown shape parameter[J]. Journal of Hydrology，2013，499：41-49.