f-semiclean环上的幂级数环
2014-03-23郭莉琴
郭莉琴
（天水师范学院 数学与统计学院，甘肃 天水 741001）
f-semiclean环上的幂级数环
郭莉琴
（天水师范学院 数学与统计学院，甘肃 天水 741001）
对semiclean环和f-clean环做了推广,给出了f-semiclean环的概念.讨论了f-semiclean环上的形式幂级数环和斜幂级数环的f-sem iclean性质.
满元素；f-semiclean环；形式幂级数环；斜幂级数环
环是一个基本的代数系统,也是代数学的主要研究分支之一,它在代数学研究中起着举足轻重的作用.clean环是一个非常重要的特殊环类,也是一个较新的研究课题.对clean环的研究起源于模的消去问题,最早是由Nicholson,W.K.于1977在文献[1]中提出的.随后，就有好多学者研究了clean环的特殊子类,如唯一clean环和强clean环.1999年, Nicholson,W.K.研究了强clean环,2001年，他又研究了clean环的扩张.2003年Ye yuanqing在文献[2]中推广了clean环,给出了semiclean环的概念,并研究了semiclean环的一些性质.文献[3]给出了f-clean环的概念及其一些扩张性质.受以上文献中结果的启发,我们把semiclean环和f-clean环做了推广,给出了f-semiclean环的概念及其一些相关结果.
文中除特别声明之外,总假定R是有单位元的环.J（R）, U（R）和Id(R)分别表示环R的Jacoboson根,R的单位群和由R的幂等元构成的集合.
定义1[1]称环R的元素r是clean元,是指r=e+u,其中e∈Id(R),u∈U(R).如果R的每个元素都是clean元,则称R是clean环.
定义2[2]称环R的元素r是semiclean元,是指r=a+u,其中a是R的周期元（即am=an,m,n∈Z+，且m≠n）,u∈U(R).如果R的每个元素都是semiclean元,则称R是semiclean环.
定义3[3]称环R的元素w是满元素,是指存在s,t∈R,使得swt=1.环R的所有满元素做成的集合记为K(R).显然,环R的可逆元和单边可逆元都在集合K(R)中.
定义4[3]称环R的元素r是f-clean元,是指r=e+w,其中e∈Id(R),w∈Id(R).称R是f-clean环,是指R的每个元素都是f-clean元.
定义5称环R的元素r是f-semiclean元,是指r=a+w,其中a是R的周期元（即am=an,m,m∈Z+，且m≠n）,w∈K(R).称环R是f-semiclean环,是指R的每个元素都是f-semiclean元.
Ara,P.Goodearl,K.R.和Pardo,E.在文献[4]中研究了纯有限单环.如果R不是除环,但R是纯有限单环,则对R的每个非零元x,都存在s,t∈R,使得sxt=1.对纯有限单环R的元素x来说,要么x=0,要么x是R的满元素,因此纯有限单环是f-semiclean环,但它不是semiclean环.所以f-semiclean环是semiclean环的真推广.又每个幂等元都是周期元，但周期元不一定是幂等元，所以f-semiclean环也是f-clean环的真推广.
由f-semiclean环的定义立即可得：
引理1 f-semiclean环的同态像是f-semiclean环;
文献[5]中给出结论:R是clean环当且仅当R/J(R)是clean环且幂等元模J(R)可被提升.我们得到如下结论:
定理1设R是环.如果周期元模J(R)可被提升,则R是f-semiclean环当且仅当R/J(R)是f-semiclean环.
文献[2,例3.2]证明了非零环上的多项式环不是semiclean环.对于f-semiclean环,我们得到了类似的结果:
例1设R是非零交换环,且R是f-semiclean环,但R [x]不是f-semiclean环.
证明假设R[x]是f-semiclean环,对R[x]中的元素x而言,存在R[x]中的周期元a和满元素w,使得x=a+w.但R[x]包含惟一的周期元0和惟一的满元素1,则x=0+1,这不可能.故R[x]不是f-semiclean环.
对于环R[x]/〈xn+1〉而言,我们得到如下结论：
定理2设R是f-semiclean环.如果周期元模J(R)可被提升,则对任意n≥1,都有R[x]/〈xn+1〉是f-semiclean环.
引理2[6]设R是环,α是环R上的自同态,如果f=a0+a1x+a2x2+…∈R[[x;α]],则f∈U(R[[x；α]])当且仅当a0∈U (R).
文献[5]的定理2证明了:如果α是环R上的自同态,则以下三条等价:(1)R是clean环;(2)R上的形式幂级数环R[[x]]是clean环;(3)R上的斜幂级数环R[[x；α]]是clean环.对于f-semiclean环,我们有如下结论:
定理3 设α是环R上的自同态,则以下等价:
(1)R是f-semiclean环;
(2)R上的形式幂级数环R[[x]]是f-semiclean环;
(3)R上的斜幂级数环R[[x；α]]是f-semiclean环.
〔1〕N icholson,W.K.Lifting idempotents and exchange rings[J].Trans.Amer.Math,Soc,1977,229(2):269-278.
〔2〕Ye,Y.Q. Sem iclean Rings[J].Comm.Algebra,2003, 31(11):5609-5625.
〔3〕Li,B.J.and Feng,L.G.f-clean rings and rings having many full elements[J].J.Korean Math.Soc,2010,47 (2):247-261.
〔4〕Ara,P.Goodearl,K.R.and Pardo,E.K0 of purely infinite simple regular rings[J].K Theory,2002,26(1): 69-100.
〔5〕Cam illo,V.P.and Yu,H.P.Exchange rings,units and idempotents[J].Comm.Algebra,1994,22(12)4737-4749.
〔6〕Askar Tuganbaev.Rings Close to Regular[M].Kluwer Academ ic Publishers,2002.
O153.3
A
1673-260X（2014）01-0005-02
天水师范学院中青年教师科研资助项目“特殊环与半环的分次和导子的研究”(TSA1312)阶段性成果
