Banach空间中变分不等式组的广义f-投影迭代算法

张红玲, 马淑霞, 王中宝

(西南交通大学 数学学院, 四川 成都 610031)

1 预备知识

近几十年来,变分不等式及其相补问题已在众多不同领域得到应用,其中一个非常重要的问题就是寻求有效的迭代算法来逼近变分不等式的解[1-9].1994年,Y. Alber[10]在一致光滑和一致凸的Banach空间中引进广义投影的概念,并用它解决变分不等式解的逼近问题.随着变分不等式向变分不等式组的推广,这个方法也随之被应用到变分不等式组解的逼近问题[11-12].本文在文献[12]的基础上讨论集值变分不等式组的广义f-投影算子的迭代算法.

令X和Y是拓扑空间,F:X→2Y是非空集值映像,称F是：

(i) 在x0∈X上半连续的,若对Y中任意包含F(x0)的开集V,在X中存在x0的开邻域U使F(U)⊂V;

(ii) 在X是上半连续的,若在X中的任意点处是上半连续；

(iii) 是闭的,若它有闭图,即GrF={(x,y):x∈X,y∈F(x)}在X×Y中是闭的.

令X是实Banach空间,X*是其对偶空间,记X与X*间的对偶为〈·,·〉,K是X的非空闭凸子集.J:X→2X*是X到其对偶空间的正规对偶映像,定义为

J(x)={f*∈X*:〈x,f*〉=‖x‖2=

‖f*‖2}, ∀x∈X.

为了参考方便,下面列出它的一些性质.

(i)J在光滑的Banach空间中是强拓扑到X*空间中弱星拓扑的连续的单值算子；

(ii)J在一致光滑的Banach空间中每个有界集上是一致连续算子；

(iii) 如果X是自反光滑严格凸的Banach空间,J*:X*→X是X*上的正规对偶映像,那么J-1=J*,JJ*=IX*,J*J=IX.

令S,T,U:K3→2X*是3个非线性集值映像.考虑下面的广义非线性变分不等式组问题(SGNVIP):寻找x*,y*,z*∈K,使得s*∈S(y*,z*,x*),t*∈T(z*,x*,y*),u*∈U(x*,y*,z*),并且满足对∀x∈K有

〈s*,x-x*〉+f(x)-f(x*)≥0,

〈t*,x-y*〉+f(x)-f(y*)≥0,

〈u*,x-z*〉+f(x)-f(z*)≥0.

(1)

现在回想广义f-投影算子的概念和它的一些性质.设泛函G:X*×K→(-∞,+∞),则有

G(φ,ξ)=‖φ‖2-2〈φ,ξ〉+

‖ξ‖2+2ρf(ξ),

(2)

其中,ξ∈K,φ∈X*,ρ>0,f:K→(-∞,+∞)是真凸下半连续泛函.文献[13]有如下性质：

(i) 对固定的ξ∈X,G(φ,ξ)关于φ是凸连续的；

(ii) 对固定的φ∈X*,G(φ,ξ)关于ξ是凸下半连续的.

∀φ∈X*.

如果X是光滑的Banach空间,那么J是单值映射.所以,对任意的x∈X在X*空间中存在唯一的φ满足φ=Jx,将它带入(2)式得到

G(Jx,ξ)=‖x‖2-2〈Jx,ξ〉+

‖ξ‖2+2ρf(ξ).

(3)

Banach空间X中的广义投影算子有如下定义.

∀x∈X.

对于广义f-投影算子,有如下基本性质.

∀y∈K;

引理1.2[13]若f(x)≥0,∀x∈K,则有

G(Jx,y)≤G(φ,y)+2ρf(y),

引理1.3设X是实光滑严格凸自反Banach空间,K是X的非空闭凸子集,f:K→(-∞,+∞)是真凸下半连续泛函.令S,T,U:K3→2X*是3个非线性集值映像,ρ>0,η>0,ξ>0.点(x*,y*,z*)∈K3是变分不等式组(1)的解当且(x*,y*,z*)∈K3是下面变分包含组的解

(4)

证明实际上,(x*,y*,z*)∈K3是(1)式的解当且仅当存在s*∈S(y*,z*,x*),t*∈T(z*,x*,y*),u*∈U(x*,y*,z*),使得对∀x∈K与任意ρ>0,η>0,ξ>0有

ρ〈s*,x-x*〉+ρf(x)-ρf(x*)≥0,

η〈t*,x-y*〉+ηf(x)-ηf(y*)≥0,

ξ〈u*,x-z*〉+ξf(x)-ξf(z*)≥0.

上式成立当且仅当

〈Jx*-ρs*-Jx*,x*-x〉+

ρf(x)-ρf(x*)≥0,

〈Jy*-ηt*-Jy*,y*-x〉+

ηf(x)-ηf(y*)≥0,

〈Jz*-ξu*-Jz*,z*-x〉+

ξf(x)-ξf(z*)≥0.

由引理1.1的(ii)可知此式成立当且仅当(4)式成立,这就完成了证明.

引理1.4[16]设X是一致凸Banach空间,r>0,那么存在一个严格单增的连续凸函数g:[0,2r]→R,使得g(0)=0,并且

‖tx+(1-t)y‖2≤t‖x‖2+

(1-t)‖y‖2-t(1-t)g(‖x-y‖),

(5)

对任意的x,y∈Br和t∈[0,1],其中

Br={z∈X:‖z‖≤r}.

引理1.5(i) 设若X是Banach空间[17],则有

‖x+y‖2≤‖x‖2+2〈y,J(x+y)〉,

∀x,y∈X.

(ii) 若X是一致凸和光滑Banach空间[18],则有

‖f+g‖2≤‖f‖2+2〈g,J-1(f+g)〉,

∀f,g∈X*.

2 算法

算法2.1对任意给定的初始点(x0,y0,z0)∈K3,按下面的定义计算{sn}、{tn}、{un}和{xn}、{yn}、{zn}:

sn∈S(yn+1,zn+1,xn),

tn∈T(zn+1,xn,yn),

un∈U(xn,yn,zn),

zn+1=(1-γn)zn+

(6)

其中,ρ,η,ξ>0,{αn}、{βn}、{γn}是[0,1]中序列.

当X=H是Hilbert空间,f=0时,则有X=X*,J=J-1=I.若S、T、U为单值映射,则算法2.1变为算法2.2.

算法2.2对任意给定的初始点(x0,y0,z0)∈K3,按下面的定义计算{xn}、{yn}、{zn}:

xn+1=(1-αn)xn+αnPK(xn-ρS(yn+1,zn+1,xn)),

yn+1=(1-βn)yn+βnPK(yn-ηT(zn+1,xn,yn)),

zn+1=(1-γn)zn+

γnPK(zn-ξU(xn,yn,zn)), ∀n≥0,

(7)

其中,ρ,η,ξ>0,{αn}、{βn}、{γn}是[0,1]中序列,PK:H→K是度量投影.

3 主要结果

现在给出变分不等式组在一定条件下解的近似逼近.

定理3.1设X是一致凸和一致光滑的Banach空间,K是X的非空闭凸子集,θ∈K,f:K→R是凸下半连续泛函.令S,T,U:K3→2X*是3个上半连续闭值的集值映像且满足下列条件：

(i)f(x)≥0,∀x∈K且f(0)=0;

(ii) 存在X*中的一个紧子集C和常数ρ>0,η>0,ξ>0,使得

(J-ρS)(K3)∪(J-ηT)(K3)∪

(J-ξU)(K3)⊂C,

其中,J(x,y,z)=Jz,∀(x,y,z)∈K3而且对任意(x,y,z)∈K3,s∈S(y,z,x),t∈T(z,x,y),u∈U(x,y,z),下式成立

〈s,J-1(Jx-ρs)〉≥0,

〈t,J-1(Jy-ηt)〉≥0,

〈u,J-1(Jz-ξu)〉≥0.

(8)

令{xn}、{yn}、{zn}是(6)式定义的序列,{αn}、{βn}、{γn}是(a,b)⊂(0,1)中的序列满足

则由算法2.1构造的序列{xn}、{yn}、{zn}存在子列{xnt}、{ynt}、{znt}满足当t→∞时,有xnt→x*,ynt→y*,znt→z*,其中,(x*,y*,z*)∈K3是(1)式的解.

证明根据引理1.2和引理1.5(ii)可知

G(Jxn-ρsn,0)+ρf(0)=‖Jxn-ρsn‖2≤

‖Jxn‖2-2ρ〈sn,J-1(Jxn-sn)〉≤

‖Jxn‖2=‖xn‖2.

(9)

另一方面有

(1-αn)‖xn‖+

(10)

应用引理1.4,存在一个严格增的连续凸函数g:[0,2r]→R,使得g(0)=0,并且使得(5)式成立.根据(5)和(9)式可知

这就表明

‖xn‖2-‖xn+1‖2.

(11)

因为{‖xn‖}单调递减且有下界,知道{‖xn‖}的极限存在.在(11)式中令n=0,1,2,…,k并求和有

‖x0‖2-‖xk+1‖2.

令k→∞,上式蕴含

根据正项级数收敛的必要条件可知

由条件(iii)知上式等价于

因此由g的性质可得

(12)

用完全类似的方法可得

(13)

(14)

因为{xn}、{yn}、{zn}有界,而且存在紧子集C⊂X*使(J-ξU)(K3)⊂C,所以存在子列{xni}⊂{xn},{yni}⊂{yn},{zni}⊂{zn}使得存在{uni}∈U(xni,yni,zni)有

Jzni-ξuni→h1∈X*.

(15)

而此时

由(14)和(15)式有zni→z*.由{zn}的定义可知

‖zni+1-zni‖=

所以zni+1→z*.

因为{xni}、{yni}、{zni+1}有界,(J-ηT)(K3)∈C,所以存在子列{xnk}⊂{xni},{ynk}⊂{yni},{znk+1}⊂{zni+1},使得存在tnk∈T(znk+1,xnk,ynk),从而

Jynk-ηtnk→h2∈X*,

(16)

所以

类似可证得ynk→y*,ynk+1→y*.

由{xnk}、{ynk+1}、{znk+1}有界,(J-ρS)(K3)∈C,所以存在子列{xnt}⊂{xnk},{ynt+1}⊂ynk+1},{znt+1}⊂{znk+1},使得存在snt∈S(ynt+1,znt+1,xnt),从而

Jxnt-ρsnt→h3∈X*,

(17)

所以

再由S,T,U:K3→2X*是3个具有闭值的上半连续映射,知道J-ρS、J-ηT、J-ξU是闭的,从而由(15)～(17)式可得

所以由引理1.3可知(x*,y*,z*)∈K3是变分不等式(1)的解.这就完成了证明.

若X是Hilbert空间,f=0时,S、T、U为单值映射,由定理3.1可得定理3.2.

定理3.2设X是Hilbert空间,K是X的非空闭凸子集,θ∈K,令S,T,U:K3→X是3个连续映像且满足下列条件：

存在一个紧子集C⊂X和常数ρ>0,η>0,ξ>0,使得

(J-ρS)(K3)∪(J-ηT)(K3)∪

(J-ξU)(K3)⊂C,

其中,I(x,y,z)=z,∀(x,y,z)∈K3而且对∀(x,y,z)∈K3,下式成立

〈S(y,z,x),x〉≥ρ‖S(y,z,x)‖2,

〈T(z,x,y),y〉≥η‖T(z,x,y)‖2,

〈U(x,y,z),z〉≥ξ‖U(x,y,z)‖2.

令{xn}、{yn}、{zn}是(7)式定义的序列,{αn}、{βn}、{γn}是(a,b)⊂(0,1)中的序列满足定理3.1(iii),则定理3.1的结论仍然成立.

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