融合内容的教学知识之课例研究*

徐章韬

（华中师范大学 数学与统计学学院，湖北 武汉 430079）

融合内容的教学知识之课例研究*

徐章韬

（华中师范大学 数学与统计学学院，湖北 武汉 430079）

借鉴Kahan等的教学过程和基本要素研究框架，以情意原理、序进原理和活动原理作为解析课堂教学的框架，调查师范生融合内容的教学知识的实然水平。师范生的教学水平大致分布在三个等级上，师范生对学与教的理解有明显的缺失。如果师范生对知识的发生发展过程认识较为深刻，那么知识教学的序列安排就与知识发生的历史过程拟合得较好；如果师范生对做数学的一般机制有一定的体会，那么学生思维过程的设计就与历史上人们做数学的活动经验较为相似。数学发生发展的知识是影响师范生课堂教学水平的重要因素之一。

面向教学的数学知识；融合内容的教学知识；数学的发生发展；师范生

一.问题提出

如果说医生的真功夫体现在临床上，那么教师的真功夫体现在课堂上。[1]由于教师这一职业的复杂性，因此对于教师该具备哪些知识才能更好地进行课堂教学，成为学界近来重要的研究议题。[2-7]教师真功夫集中表现为教师能有效地转化课程内容并使之适合学生的学习，从而实施高质量的课堂教学。内容是把数学课程与其他学科课程区别开来的决定因素，因此对内容及其变化的研究应该成为数学课堂教学研究不容忽视的一个方面。[8]在转化过程中起底层支持作用的是融合内容的教学知识（Knowledge of Content and Teaching, KCT）。KCT是面向教学的数学知识(Mathematical Knowledge for Teaching, MKT)的一个组成部分。融合内容的教学知识，是指为了达到教学目的和教学目标，教师根据学情的知识，而采取的合适地表征内容的教学手段和策略的知识，主要表现为教师能在课堂教学中有效地实施情意原理、序进原理和活动原理。[9]本研究以三角函数为抓手，建立体现内容底层支撑作用的分析框架，以此分析课例中师范生融合内容的教学知识的实然水平，并从数学发生发展的角度对师范生融合内容的教学知识实然水平进行归因。

二 研究设计

（一） 研究对象

笔者在指导教育实习的过程中对师范生及其教学情况有一定的了解，采取典型取样法选取6名教三角函数的师范生作被试，姑且以小A、小B、小C、小D、小E和小F称之。小A考取了应用数学的研究生，小E直升了数学教育的研究生，小B、小C、小D顺利地找到了工作。小B还获得过学校教学比赛公开课的特等奖。他们是优秀的师范生，研究他们融合内容的教学知识有一定的价值。

（二）研究方法

课例立足于课堂，将理论思想置于鲜活的教学之中，将宏大的理论转化为个体的教育经验或事件；课例研讨聚焦课堂，是在真实情境中研究学与教。本研究选取的课例是：小A的任意角的三角比（第一课时），小B的两角和与差的余弦，小C的两角和与差的余弦，小D的诱导公式（第一课时），小E的余弦定理，小F的半角公式及万能公式。这些课的内容反映了三角函数历史发展过程的一些重要进展，具有典型意义。不同的被试讲相同的主题，自然容易一较高下；不同的被试讲不同的主题，如果严格采用同一个评价标准，得到量化数据，也能区分被试的水平。

（三） 研究过程

首先是对支持课堂教学进程的知识建立分析框架，然后是建立知识运用水平的分析框架，这两者可形成一个二维框架。用这个二维框架可以分析出支持课堂教学推进的知识成分，以及对知识成分的运用作实然水平分析。然后，从数学发生发展的视角分析实然水平背后的原因。

1. 课堂教学进程的分析框架

本研究关注的是课堂教学中所教主题的实质以及教师对主题实质的处理，对课堂教学的组织形式没有特别要求，为此需要建立一个体现上述主旨的研究框架。Kahan等的教学过程和教学基本要素研究框架的显著特点是一个二维框架，[10]其中一维是对教学进程的刻画，另一维是对教学过程中教学任务选择的刻画。情意原理、序进原理和活动原理一方面刻画了课堂教学的进程，另一方面也回答了教学过程中教学任务如何选择的问题，有鉴于Kahan的框架，本研究认为情意原理、序进原理和活动原理可以作为解析支持课堂教学进程的知识成分的框架。这些原理的实施顺序反映了课堂教学的主要进展，实施的效果如何反映了教师驾驭课堂教学的水平。

2. 数据的量化

自新课程改革以来，我国基础教育教学改革中出现了一些异化，[11]人民教育出版社章建跃编审就指出“数学课要教数学”，言外之意是教师对数学内容的理解对课堂教学的走向及水平有重要的影响。因此，本研究用教师对数学内容的教学理解水平来衡量师范生融合内容的教学知识的实然水平。参照Kinach[12]修正过的理解水平框架和数学认知水平分析框架，形成分析师范生融合内容的教学知识水平分析框架，如表1。

表1 融合内容的教学知识水平分析框架

安德森在制定课堂教学认知领域的达成目标时，首先从知识维度把知识分成事实性知识、概念性知识、程序性知识和元认知知识，然后又从记忆、理解、运用、分析、评价和创造等水平刻画了认知过程的维度。类比于此，对课堂教学的刻画，也可以从两个维度刻画，分别是支持课堂教学进程的知识成分分析框架和知识成分的水平分析框架。一个刻画课堂教学中的内容及进程，一个刻画水平。

3. 原因分析视角

当用上述框架采集到课堂教学中的质的数据，并给其水平层次之后，还要进行原因分析，对师范生融合内容的教学知识的实然水平给出合理的解释。本研究从数学发生发展的视角分析影响师范生融合内容的教学知识水平的内在因素，这是一个全新的视角，已经引起了研究者的注意，如Clark[13]和Jankvist[14]等的研究。

三.研究结果与讨论

（一）师范生情意原理的实然水平及原因剖析

1. 师范生实施情意原理时质的数据

根据表1的水平分析框架，得到表2的结果。

表2 师范生实施情意原理时的表现水平

小A通过对比，指出了比值定义法的不足，指出要改进这种定义法。如何改进定义呢？其没有激发学生从方法的层面上考虑，包办太多。小B通过提出逻辑脉络上的问题：如何用特殊角表示一般角，如何用特殊角的三角函数值表示一般函数，不但指明了研究动机，而且用任务驱动吸引了学生的注意力。小C提出的问题太抽象，问题指向不明，没有创设出反映公式产生动机的问题。小D的问题设计的过于具体，学生只要按照问题提出的步骤进行操作就能获得答案。小E是把余弦定理所能解决的一类问题当作问题提出来，没有考虑知识在逻辑脉络上的联系，也没有创设问题情境，表现的是内容水平的教学策略。小F提出了逻辑脉络上的问题，表现出了问题解决水平的教学策略。

2. 总的看来，师范生由于对反映学科本质的学术问题缺乏深刻的认识，故而不能把学术问题以教育的形式表达出来，不能以问题为导向，激活学生的情意系统

情意原理认为，主体的中枢活动包含着互为前提、互相促进的认知心理和情意状态两个方面，激发学习者的动机、兴趣和追求的意向，加强教育者与学习者的感情交流，是促进认知发展的支柱和动力。[15]

数学家按研究的视角生成、组织、构建某一领域的知识。在考虑、顾及学生的心理发展状态的前提下，有效的教学应充分拟合这一过程，从而最终学会数学家看问题的方式、思考问题的方式，具有数学的眼光。数学家对未知世界具有强烈的好奇心，常能提出问题，在解决问题的过程中虽遭遇困难却也百折不挠。文学家冰心曾用诗一般的语言描述这一过程：成功的花儿，人们只惊羡它现时的美丽，然而当初它的芽儿浸透了奋斗的泪水，洒遍了牺牲的血雨。情意原理深谙此道，良好的情意状态是认知发展的动力系统。孔子早就指出，知之者不如好之者，好之者不如乐之者。或创设情境问题，或提出逻辑脉络上的问题，都能形成认知冲突，激发求知欲，激活思维，激发“火热的思考”。数学家因高度的好奇心产生问题，但在教学上却要以问题驱动而产生求知热情。张奠宙先生指出，中国的课堂讲究导入，不可能在每节课中都创设情境，创设情境不能天天搞，而导入是每堂课都能进行的，导入的价值和实行的办法是要有思考的问题。[16]师范生都认为要创设情境，但创设的情境要么是假的情境，要么是为情境而情境，而不知情境创设是手段，激发理趣、还原知识的本来境遇，才是目的所在。

实施情意原理的常见方式有：以问题作为出发点，这要求教师能挖掘反映一节课教学目标的本质问题来驱动教学；采取思维最近发展区内的学习任务，这要求教师能铺设恰当的问题序列，采取“导而弗牵”的方式，激发学生的学习激情；使用“反馈－调节”机制，学习任务难易不当,都不利于学生保持高水平学习热情，应通过教学反馈,及时发现问题,通过调整设问方式,增加提示信息或进一步设置障碍等方法调整学习任务的难度。[17]

师范生由于对反映学科本质的学术问题缺乏深刻的认识，故而不能把这种学术问题以教育的形式表达出来，不能以问题为导向，以问题为驱动，激活学生的情意系统。

（二）师范生序进原理的实然水平及原因剖析

1. 师范生实施序进原理时质的数据

根据表1的水平分析框架，得到表3的结果。

表3 师范生实施序进原理时的表现水平

小A于细枝末节的地方着墨过多，没有牢牢抓住关键点不放松。小B讲授的是命题的发现，在知识点的顺序的选取上表现出了一定的灵活性，吸取了公式最初产生的动机。在证明公式时，小B直截了当地说就在平面直角坐标系中和单位圆中研究。后面问题的设计虽然有序，但跨度太少。小C想先让学生猜测两角和与差的余弦公式，没有像小B一样遵循公式定理发现的一般程序，而是要学生凭“空”猜想。对比小B和小C的讲法，可以看到小C花大气力“退”到的地方，正是小B回避的地方。小C没有讲清楚研究动机就来选择研究工具，也就是没有发挥研究动机的引领作用。小D的课堂教学结构是“复习旧知，导入新课；层层深入，引领探究；实践体验，巩固新知；归纳小结”。无论是从整体，还是从细节上看，小D对序进原理的理解都是较为深刻的。从整体上看，小E的课堂教学结构是“复习回顾；定理引出；定理证明；定理应用；课堂练习”，和凯洛夫的课堂教学五环节很相似，也是依序而进的。但在定理的证明中，没有很好地体现序进原理。小F讲的是公式的推导及应用，其课堂教学结构分为两个部分，一是讲万能公式，一是讲半角公式。其由两倍角公式得出了万能公式，从内容的逻辑关联性看，没有很好地体现序进原理。

2. 总的看来，师范生对数学概念、定理、公式产生的历史过程缺乏必要的了解，以致不能还原概念、定理、公式发现的原生态过程，产生了一些认知顺序上、教学序列上的颠倒

序进原理认为，来自环境的知识和经验可以相应转化为学习者的认知结构、情意状态和行为结构。教育者根据不同对象的发展水平，有步骤地提高所呈示的知识和经验的结构化程度，组织好从简单到复杂的有序累积过程，是提高转化效率的基础。

要实施好序进原理，就要在历史的流变中弄清楚数学概念的产生过程，数学命题的发现过程，数学思想方法的概括过程和数学知识结构的建立、推广和发展过程。在教学中要尽量艺术性地再现这一过程，才能不至把“马车放在马之前”而发生教学法上的颠倒。在提出问题、分析问题、解决问题的过程中，就要探明知识内容的最佳结构以及各结构之间的最佳序列，让学生清晰地了解知识的产生过程、知识间的相互联系以及整个知识体系的框架，从而帮助学生理解知识本身蕴涵的思维形式和思维方法。谙熟知识发生发展的序列过程，从而艺术地、有效地促进学生的认知心理合乎生态地发展，是教学的永恒追求之一。

实施序进原理的具体的做法有：教学目标明确，每堂课都围绕一个中心论题而展开和深化，遵照循序渐进的原则，组织精当的层次序列，把主要教学力量放在关键性问题上，突破难点；尽量使新知识与学生头脑里已有的适当知识、经验建立实质性的联系；尽量保持知识的连贯性，思想方法的一致性，使前后的课与课之间形成精当的层次序列，以学科教学的主线或学科内容的诠释架构和逻辑架构的基本思想为主线贯穿之。

师范生对数学概念、定理、公式产生的历史过程缺乏必要的了解，以致不能还原概念、定理、公式发现的原生态过程，产生了一些认知顺序上、教学序列上的颠倒；不能很好地体现概念的发生发展过程，教学过程中的过渡与衔接显得生硬与突兀；不能很好地艺术地再现定理、公式的猜想—反驳过程，而是直接过渡到公式的证明过程。这样的做法既不符合数学本身的发生发展规律，也不符合学习者的心理发生发展的规律。

（三） 师范生活动原理的实然水平及原因剖析

根据表1的水平分析框架，得到表4的结果。

由于小A没有提出问题，整堂课以讲述为主，少有学生活动，是典型的“你讲—我听”信息传递式的教学模式。当教师（小B）提出如何求具体的函数值后，开展了系列的活动。小C采取的是小步子的、一问一答的方式推进课堂教学，学生活动多且细。小D虽然没有采取在问题提出后就放手让学生自行探究这样一种“流行”的授课模式，但其设计的学生活动还是启发了学生的思考。这曾是一堂公开课，获得过好评。小E的教学以讲授为主，学生的活动很少。小F有设计学生活动的良好愿景，但是在实施中却并没有做到。在应当设置低认知水平的学生活动时，却设置了高认知水平的学生活动；在可以设置高认知水平的学生活动时，却没有时间完成了。

总的看来，师范生在组织学生活动时，是典型的中国式的课堂，教师时时刻刻在起主导作用，学生的主体活动是有指导的认知活动，但由于对课堂的掌控能力还没有达到一定的火候，往往在不经意间就把高认知水平的活动降格成了低认知水平的任务了。

表4 师范生实施活动原理时的表现水平

活动原理认为，学习者外周的行为结构与中枢的心理结构之间有直接的互化，教育者精心组织各类行为活动与认知活动，并使之合理结合。学习者充分发挥活动的自主性，是促成行为结构与心理结构迅速互相转化的有效途径。

提出了研究问题后，就应该在教师的指导下开展火热的学生活动。活动原理重视学习者的亲身感受、动手操作和动口陈述等行为在教学过程中的作用，也重视在教师指导之下开发学生的尝试、探究等认知活动，期望经感性操作到表象操作再到理性操作的活动序列，使外部动作逐步内化为智慧活动。教学设计必须基于人们如何学习的知识，教学设计必须充分考虑学习的条件。郭思乐[18]认为从主要依靠教到主要依靠学是基础教育的根本改革。同时也认为依靠学的教育绝不是不要教师、不要教师教，而是说，教师的教主要是为了学生，而学生的学才是最终获得丰富知识和能力的关键，也是教师的功业所在。也就是说为了实施有效的教学要注意认知结果和教学方式相匹配的要义，教学时一是要还原知识的发生发展过程，这体现在序进原理中；二是学生思维过程的还原，为学生建构一条“从具体到抽象，从特殊到一般，从片面到全面，由此及彼、由表及里”的思维通道，以帮助学生获得基本活动经验，这体现在活动原理中。在实施序进原理（其主体是教师）和活动原理（其主体是学生）的过程中，引导学生发展做数学的活动经验，使他们经历概括过程。从教学实践上说,学习和运用知识的过程是概括的过程。知识迁移的实质就是概括。没有概括,学生就不可能掌握知识、运用知识；没有概括,就难以形成概念,由概念所引申的公式、法则、定理、定义就无法被学生所掌握；没有概括,学生的认知结构就无法形成,通过学习形成在意义上、态度上、动机上和技能上相互联系着的越来越复杂、抽象的模式体系,就会发生困难；没有概括,学生就很难形成学科能力,因为任何一门学科能力都是通过概括表现出来并形成起来的。[19]

展开活动的具体方式有：创设问题情境，引起学生对新知识的注意与思考；开展观察、试验、类比、猜想、归纳、概括、特殊化、一般化等活动，形成假设；利用已有知识进行推理论证活动，检验假设，获得新知识，并纳入到已有认知结构中；新知识的应用，加深理解，建立相关知识的联系，巩固新知识。

小A提供了一个反例，其虽对认知结果有深刻的认识，但是对学生的认知机制缺乏一定的认知，其教学效果就不及小B和小D。学一点教育心理学是必要的。有学科背景的人研究教育学时易认为教育心理学缺乏具体学科背景，易产生抵触情绪。教学心理学既要基于学科，又要超越学科。面向教学的数学知识的提出正是在“基于学科”和“超越学科”之间建立一座沟通之桥。师范生由于没有厚实的面向教学的数学知识，在组织学生活动时，是典型的中国式的课堂，教师时时刻刻都在起着主导作用，学生的主体活动是有指导的认知活动，学生经历了回忆（Recall）、识别(Recognizing)、发展（Building-with）和建构（Constructing）等认识活动。一节课不可能全是高认识水平的活动，而是高认知水平的任务、低认知水平的任务有机交错、相互补充、动态运演的过程。师范生在实施活动教学时，由于对课堂的掌控能力还没有达到一定的火候，往往在不经意间就把高认知水平的活动降格成了低认知水平的任务。

（四） 总结

1. 课堂教学的整体情况

按一般的做法，先把各位师范生分别在情意原理、序进原理和活动原理上的得分累积起来，获得关于课堂教学的一个整体直观印象（如图1所示）。有一些师范生能讲好一堂课，有的则不然，师范生之间的差别是很大的。对每一个个体而言，在每一种成分上的得分也不尽相同，有的甚至差别较大。

图1 师范生融合内容与教学的知识

下面，再深入分析影响课堂教学水平的关键环节。

2. 采用内容测量法和主观测量法相结合的测量法,较准确地反映了师范生直面课堂教学的融合内容的教学知识水平,他们水准大致分为三个等级。

教学是教师与学生一起理解和回应情境的过程。理解总是要比照他人的经验，理解水平的提高需要有人（尤其是水平更高的人，如教师）“结伴而行”。[20]教师根据自身的学养，在实施情意原理的过程中，创设了反映数学本质的问题情境，然后，学生、教师、教学媒介和内容情境营造了一个认知场。在这个认知场中，活跃着两条线：一条是教师活动的主线，另一条是学生活动的主线，师生共同承担知识获取的职责。要获得课堂教学的真实图景，就要收集教师和学生的有关数据，并把它们融为一体，这正是学习者视角（The Learner’s Perspective Study, LPS）所秉持的观点。

情意原理和序进原理的实施充分反映了教师对学科知识本质的认识及在教学情境中教育取向的转化，活动原理的实施成效充分体现了教师的学科知识教育取向转化的成效。因而，要收集数据捕捉双方的观点并把它们融为一体，即要采用学习者视角收集和处理数据。按“问题——还原知识的原发现过程——还原学生的思维过程”这样一条逻辑线索考察师范生直面课堂教学的融合内容的教学知识。为了评价教师面向教学的数学知识水平，应着重考察教师在揭示知识发生发展过程中表现出来的水准。因此，从教师对教材内容的理解、实施和开展学生经验活动两方面来考量师范生在课堂教学中表现出来的面向教学数学知识的综合水平：设代表师范生的平均得分，a 代表师范生在序进原理上的得分，b代表师范生在活动原理上的得分，提出经验公式=λa +µb ，其中λ,µ是参数且都大于0，且λ+µ=1。当λ=µ=0.5时，即认为教师的导引和由此产生的学生活动同等重要时，那么得分从高到低的顺序：。当λ=0.4，µ=0.6，即认为教师的导引应该以促进并服务学生的学习，教学应尊重学生的心理时，那么得分由高到低的顺序是：。因此，师范生在课堂教学中表现出来的融合内容的教学知识水准大致分为三个等级：小B、小D；小C、小A、小F；小E。这和师范生的自我感觉大致一致。采用这样一种内容测量法和主观测量法相结合的测量法较准确地反映了师范生直面课堂教学的融合内容的教学知识水平。

（五） 结论

师范生的教学水平大致分布在前三个等级上，师范生对学与教的理解有明显的缺失。师范生对数学的理解达不到方法-探究水平，对教材的理解停留在概念和解题水平，又不能“诊断”和“预测”学生的学习困难，加之经验的缺乏，自然导致其对学与教的理解有明显的缺失。从师范生的课堂教学的表现来看，如果在实施序进原理时，师范生对知识的发生发展过程认识较为深刻，那么知识安排的序列就与知识发生的历史过程拟合得较好；如果在实施活动原理时，师范生对做数学的一般认识机制有一定的体会，那么学生思维过程的设计就与历史上人们做数学的活动经验较为相似。数学发生发展的知识是影响师范生课堂教学水平的重要因素。

[1]王洁,顾泠沅.行动教育:教师在职学习的范式革新[M].上海:华东师范大学出版社,2005.

[2]徐章韬,龚建荣.学科知识和学科教学知识在课堂教学中的有机融合[J].教育学报,2007(6):34-39.

[3]柳笛.美国数学教师学科内容知识的述评[J].数学教育学报,2010(6):74-78.

[4]童莉.数学教师专业发展的新视角——数学教学内容知识（MPCK）[J].数学教育学报,2010(2):23-27.

[5]韩继伟,黄毅英,马云鹏.中学数学教师的学科知识[J].数学教育学报,2009(5):42-45.

[6]汪会玲,刘晓玫.中学数学教师知识结构的调查与分析[J].数学教育学报,2008(6):52-55.

[7]李渺,喻平,唐剑岚,黄晓学.高中数学教师知识结构特征的研究[J].数学教育学报,2007(2):55-59.

[8]黄荣金,李业平.数学课堂教学研究[M].上海:上海教育出版社,2012.

[9]徐章韬.青浦经验:数学活动经验的教育表达[J].数学教育学报,2008(5):6-9.

[10]Kahan J K, et al. The role of mathematics teachers’ content knowledge in their Teaching: A framework for research applied to a study of student teachers[J]. Journal of Mathematics Teacher Education,2003 (6):223-252.

[11]陈云奔.基础教育教学改革的四种异化[J].教育学报,2009(2):66-68.

[12] Barbara M, Kinach. A cognitive strategy for developing pedagogical content knowledge in the secondary mathematics course: Toward a model of effective practice[J]. Teaching and Teacher Education,2002(18):51-71.

[13]Clark, K M(In pres).History of mathematics: Illuminating understanding of school mathematics concepts for prospective mathmatics teachers[J]. Educational Studies in Mathematics,2012,81(1):67-84.

[14]Jankvist U T,Mosvold R,Fauskanger J,Jakobsen A.Mathematical knowledge for teaching in relation to history in mathematics education[C].The conference paper of 12th International Congress on Mathematical education,Seoul,2012.

[15]顾泠沅,易凌峰,聂必凯.寻找中间地带[M].上海:上海教育出版社,2003 .

[16]代钦,李春兰.对中国数学教育的历史和发展之若干问题的理性思考——对张奠宙先生的访谈录[J].数学教育学报,2012(1):21-25.

[17]章建跃.数学课堂教学设计研究[J].数学通报,2006(7):20-26.

[18]郭思乐.从主要依靠教到主要依靠学:基础教育的根本改革[J].教育研究,2007(12):15-20.

[19]林崇德.基础教育改革心理学研究30年[J].教育研究,2009(4):61-66.

[20]毛齐明.教学即参与[J].课程·教材·教法,2010(4):29-33.

The Investigation of Knowledge of Content and Teaching of Pre-service Teachers

XU Zhang-tao
(College of Mathematics and Statistics, Central China Normal University, Wuhan,Hubei, 430079)

Drawing on Karan’s framework of teaching process and the basic teaching elements, we develop the Qingpu principles to analyze the classroom teaching. We investigate pre-service teachers’ knowledge of the content and teaching of trigonometric functions. The levels of pre-service teachers distribute three different ranks, in addition to a small number of them with high scores, most of the rest with low scores. This shows pre-service teachers lacking of understanding of learning and teaching. If the pre-service teachers have a more profound understanding of the genesis and development of mathematics knowledge, the arrangement of the sequence of knowledge teaching will fit well with the historical process. If the pre-service teachers know the general mechanisms of doing mathematics, the design of the process of students’thinking will be similar to the mathematics activities experience of the people in the history. The knowledge of the genesis and development of mathematics have important effects on the teaching level of the pre-service teachers.

mathematical knowledge for teaching; knowledge of content and teaching; the genesis and development of mathematics; pre-service teachers

G421

A

10.3969/j.issn.1005-2232.2014.04.007

（责任编辑：李家成，姚 琳）

（责任校对：朱振环，姚 琳）

2014-04-09

2012年湖北省本科高校“专业综合改革试点”项目数学与应用数学（师范）专业综合改革;2013年湖北省教学改革项目“师范生拔尖创新型人才培养的理论与实践”（20130930）。

徐章韬,华中师范大学数学与统计学学院副教授,国家数字化学习工程技术中心博士后。E-mail：xuzhangtaoyuanyuan@126.com