复变函数中未定式极限的求解*

王 磊,侯 黎

(1.焦作师范高等专科学校 应用数学研究所，河南 焦作 454000; 2.河南理工大学 数学与信息科学学院，河南 焦作 454100)

0 引言

在实分析中，如数学分析，高等数学等相关课程中，未定式的极限是可以利用洛必达法则求解的，洛必达法则是利用拉格朗日中值定理证明得出的.但在复分析的复变函数课程里，微分中值定理是不成立的，例如复指数函数ez就是一个周期函数，但是其导数恒不为0，明显罗尔中值定理不成立，罗尔的后续定理如拉格朗日中值定理，柯西中值定理随之亦不成立，本文进行了详细的阐述.

另外，在z→z0时，分式未定式极限的求解中，我们会注意到z0点往往就是分子，分母的零点或者极点，而复变函数课程中对零点的阶，极点的阶是有详细研究的，本文顺势给出了阶的比较法求解未定式极限.

1 未定式型的极限

其实，上述形式的洛必达法则还是可以改进的，因为复变函数中解析性是非常好的，如无穷可微，级数展开等等，本文给出如下形式的洛必达法则：

综上，可知级数展式为：f(z)=cp(z-z0)p+cp+1(z-z0)p+1+cp+2(z-z0)p+2+…

g(z)=bq(z-z0)q+bq+1(z-z0)q+1+bq+2(z-z0)q+2+… 其中cp,bq≠0

在上述极限求解中，只需要分子，分母同除以min{p,q}次即可得出结论.

又由幂级数和的解析性，展式两侧可逐项求导，即有：

f′(z)=pcp(z-z0)p-1+(p+1)cp+1(z-z0)p+(p+2)cp+2(z-z0)p+1+…

g′(z)=qbq(z-z0)q-1+(q+1)bq+1(z-z0)q+(q+2)bq+2(z-z0)q+1+…

证明：由零点的阶性质[1]，可得f(z)=(z-z0)mφ(z),g(z)=(z-z0)nψ(z)，

其中φ(z),ψ(z)在点z0解析且φ(z0)≠0，ψ(z0)≠0

而m=n时，关注参考文献[1]中第167页中阶的性质证明，可知

注：在参考文献3中，也有相关结论，其中只给出了m=m时的情况，不够全面.

这个例题如果通过定理1.1去解决，是需要连续用14次洛必达法则的，计算量非常大.

2 未定式型的极限

对于z→z0时，分子，分母同趋于∞的情况也有相似的结论，证明同样是利用双边幂级数展开，此时点z0必为分子，分母的极点，考虑重心在负幂部分即可，此时负幂部分都是有限项，在这里不详细论证了，直接给出如下结论：

定理2.2 若点z0是解析函数f(z)的m阶极点，是解析函数g(z)的n阶极点，

3 z→∞时，未定式和型的极限

4 结语

我们主要讨论的是分式未定式极限的求解问题，至于其余类型的未定式如：0·∞型，00型，1∞型，∞0型，我们都可以通过同除法，幂指型变形法转化为分式未定式，再用本文中的结论进行求解.

[参考文献]

[1] 钟玉泉. 复变函数论(第四版)[M].北京：高等教育出版社,2013,8:167-168.

[2] 高颖. 洛必达法则在复变函数极限中的应用[J].科技致富向导,2010(29):81-82.

[3] 李景和. 复变函数中的一个有用的法则[J]. 河北工业大学成人教育学院学报,2004(4):1-2.