多电极电磁血液流速仪仿真建模研究

吴学礼，杨静芬，赵宇洋

（河北科技大学电气工程学院，河北石家庄 050018）

多电极电磁流量计针对非轴对称流的测量应运而生，通过获得流动截面处不同位置的感应电势差，利用任意流型下的平均流速表达式，实现速度分布和体积流量测量。基于多电极电磁流量计的测量原理，将其应用到血液流速的测量上。SULLIVAN提出医用的6电极血液电磁流量计，通过理论分析和实验验证相结合的方法，证明了在非对称流下的流量测量精度和流量计的信噪比等方面，多电极电磁流量计要明显优于传统的两电极电磁流量计［1］。WYATT博士，从20世纪50年代就在牛津大学开始电磁流量计的研究，主要应用背景是血液流动，在理论和实践方面都很有建树，如管壁的电导率、电极的表面情况和脉动流等［2］。之后，CDL-J型电磁血液流量计在临床手术及科研中投入使用［3］，并且南京医学院第一附属医院普外科的医生采用电磁流量计成功地测定了门静脉血流量［4］。随着微电子及微处理器技术的发展，应用多电极进行测量的条件逐渐成熟，目前相关研究主要包括北京航天航空大学的徐立军［5］、浙江大学的张宏建［6］等人，进行了多电极测量的实现方法研究、利用多电极实现流速分布的重建以及多电极电磁流量计的设计，另外王国强等研究了非对称流及流体内气泡对测量的影响等［7］。

本文基于多电极电磁流量计在非轴对称流测量领域的研究成果［8］，提出了适于测量主动脉、静脉的血液流速区域划分方式及速度重构算法［9］，为精确测量的实现提供了理论研究依据。

1 权函数理论以及区域权函数

1.1 电磁流量计权函数理论

Shercliff权函数理论确定了轴向流速与感应电压的关系，即当电极的几何位置位于流体管道的内圆周，电极之间的连线垂直于施加的磁场，并且电极之间的距离等于导管直径时，Shercliff计算出了与位置有关的“权函数”W（x，y），表示流动截面上给定点的轴向流体速度对所测量的电极间的感应电势差的相对作用［9，10］。Shercliff得到的传统两电极的长筒型流量计的权函数表达式为

式中：a为管道半径；x，y为测量截面的坐标。

1.2 区域权函数

依据Shercliff权函数理论得到的权函数的分布特点提出了区域权函数的概念。区域权函数不再是以单独的流体质点作为研究对象，而是根据二重积分的微元求合法，将积分区域划分为许多微元，则有界函数的二重积分可转换为对微元的近似求和计算［11-13］，所以将流动截面划分为i个区域，在圆周上布置j对电极。

多电极电磁流量计的区域权函数的表达式见式（2）：

式中：U j为第j对电极测量的感应电压；为第i个区域的平均速度；w ij为第i个区域对第j个感应电压的影响，其大小表示不同区域的流体对各个感应电压的贡献大小；Ai为各个区域的面积值［8］。

对比两对电极电磁流量计和多电极电磁流量计，两电极电磁流量计得到的流量信号对流速分布敏感，仅由布置在直径处的电极测量得到电压，只能计算整个界面的平均流速。而多电极电磁流量计可以克服测量对流速分布的敏感性，结合区域权函数理论可提供测量截面处速度分布的详细信息。

利用COMSOL Multiphysics软件建立三维仿真模型，在电极所在的二维测量平面处求解区域权函数w ij。因此测量方程可表示为

式中：V为包含i个区域轴向平均速度的速度矩阵；U为包含j个感应电压的列矩阵；W为i×j维的区域权函数矩阵；A为i维的对角矩阵［8］。

2 区域划分

血液流速在实际测量中难度很大，首先测量对象为人体组织，个体之间存在差异性，肢体中的皮肤、肌肉、毛细血管等微循环系统的复杂分布使得电导率呈现难以预测的分布状态，加之静脉、动脉并不是呈现对称分布［14］，研究表明人体血液平均流量为1.2 L／h，股骨中静脉血液平均流速约为0.1 m／s、动脉血液流速的最大值在0.5～1 m／s范围内，而且动脉、静脉的血液流速方向相反。如此低的流速信号下加之人体系统的特征使得感应电动势的采集和辨识难度更大。

文献［8］和文献［15］的仿真结果显示，多电极电磁测量可以很好地重构流动截面处不同区域内的平均轴向速度值，面积较大的区域速度值对权函数的影响较大，而且在靠近电极处的权函数也较大，区域划分方式对速度重构有较大影响。基于上述研究成果，借鉴多电极成像电磁流量计对区域内平均轴向速度的精确重构，实现对动脉、静脉血管中互为逆向流动的速度信息测量。

本文中多电极电磁流量计采用两种方案分别进行测量，方案1采用16电极均匀分布在管道内壁，仿真时磁场方向为y轴正方向，此时最多可获得15个测量电压值，针对这15个测量值，最多可对应15个区域，因此将测量管道划分为15个区域进行仿真；方案2为2种思路，思路1是采用8电极，其中电极分布在以x轴为对称轴的上下45°范围的左右两侧，各均匀的分布4个电极，仿真时磁场方向为y轴正方向，此时最多可获得7个电压测量值，将测量管道划分为7个区域进行仿真；思路2是基于思路1的仿真结果，电极布置方式同思路一，仿真时磁场方向分别为x轴和y轴正方向，此种情况最多可获得14个电压测量值，将测量管道划分为14个区域进行仿真。由于区域权函数的理论推导是基于对称方阵，因此在以上2种方案中区域划分的数目与测量电压的数目相同。

3 仿真结果

3.1 16电极的仿真方法与结果

多电极电磁流量计利用布置在管道内壁的多对电极获取不同位置的弦端电压，结合区域权函数理论，实现对流量测量截面处不同区域内轴向平均速度分布的测量。

仿真时分别将指定区域赋予500 m／s的均匀速度，其他区域中的速度设置为0，磁感应强度设置为0.156T，在此种流动情况下启动仿真。每个模型中分别求取指定电极处的感应电动势，依照公式（2）计算权函数数值w ij，此后将模拟动脉、静脉的区域分别按照10∶1的比例赋予-10 m／s和1 m／s的期望速度仿真得到感应电势差，按照公式（3）进行速度重构。需要说明的是区域权函数的计算值是一个与电磁流量计有关的数值，与区域中设置的速度大小无关，之所以仿真中设置如此大的速度值是为了获得数值较高且精度较高的感应电动势，提高区域权函数的计算精度。

在多对电极电磁流量计系统中，传感器电极阵列的布置和数量影响到整个流量计系统的测量精度，文献［8］和文献［16］中均采用16电极进行仿真，从理论上讲电极越多，平均流速的测量精度越高，但从实际制作与经济、可靠性来讲，电极数目不可能无限增多，而且电极数目增多时系统实时性降低，从2篇文献的分析结果来看，16电极仿真时划分区域多，空间分辨率高，速度重构的精度高，因此首先采用16电极进行仿真。电极分布如图1所示。测量电压区域对应表见表1。

表1 测量电压区域对应表Tab.1 Corresponding table of the area and electrode pair

图1 电极对组合Fig.1 Electrode pair layout

在文献［8］划分方式的基础上将测量管道划分为15个区域，划分方式见图2、图3。

图2 区域划分方式1Fig.2 Area distribution method 1

图3 区域划分方式2Fig.3 Area distribution method 2

图2区域划分方式1中，流动截面的测量半径为0.03 m，16个电极以22.5°的夹角均匀的分布在测量管道内壁。区域划分方式1是将测量截面划分为15个区域，对称的分布在x轴两侧，仿真模型以主动脉和静脉分布在x轴的假设为前提，因此将x轴所在直径处划分为5个区域；研究显示，在面积较大的区域以及靠近电极处对权函数的影响较大，研究区域划分方式2（如图3所示），该种划分方式是将13个正方形区域以27.69°的间隔角均匀的分布在16个电极附近，在中心区域，划分出2个圆形区域（即区域14和区域15）分别代表主动脉和静脉血管。其中区域1到区域13是半径为0.005 m的正方形，区域14和区域15是半径为0.005 m的圆，圆心分别为（0.01，0）和（-0.01，0）。

按照3.1所示的划分方法在COMSOL中建立期望三维模型，分别设置物理参数、网格划分，将仿真模型中模拟动脉和静脉的区域分别设置-10 m／s和1 m／s的期望速度，启动仿真。仿真提取数据后，按公式（3）进行速度重构。在重构过程中分别选取不同的正则参数λ求取仿真速度。图4和图5为2种划分方式下，选取合适正则参数λ时的仿真速度分布结果。

图4 区域分方式1的不同λ的速度分布图Fig.4 Velocity of prafile of differentλin Area Distribution Method 2

图5 区域划分式2的不同λ的速度分布图Fig.5 Velocity profile of differentλin Area Distribution Method 2

图4 a）和图4 b）中分别为区域划分方式1在不同λ下的速度分布结果。结果显示当λ为0.001时，在模拟主动脉和静脉的区域重构的速度值远远超过期望速度值，尤其是在区域7内，重构的速度接近于-20 m／s，与期望速度值的误差比较大，而在血管外的其他区域仿真速度与期望速度值的相对误差（重构误差）则不是很大；当λ取0.17时，在模拟主动脉和静脉区域的重构结果与期望速度值的吻合程度比较高，重构误差分别为-9.8%和23.9%，在其他区域总体的重构误差也保持在一定的范围内。λ不同取值下的重构误差关系见表2。

图5 a）和图5 b）中分别为区域划分方式2在不同λ下的速度分布结果。结果显示当λ为0.001时，在模拟主动脉和静脉的区域重构的吻合度较高，误差分别为-3.2%和-3.5%，但在其他区域的重构速度值均在期望速度值附近波动；图5 b）中，总体的相对误差很大。通过对表3和图6分析看出，数值的合理选取以及适当的区域划分对速度重构有较大影响。两者达到平衡时才能真实地反映主动脉和静脉的速度关系。此种区域划分方式下不同λ取值的重构误差见表3。

表2λ不同取值下的重构误差Tab.2 Simulation error of the different values ofλ%

表3 区域划分方式2的λ不同取值的重构误差Tab.3 Simulation error of the different values ofλ%

3.2 8电极7区域的仿真方法与结果

基于3.1中16电极的仿真以及重构结果进一步考虑减少电极数目。文献［5］针对工业应用的特点仿真了8电极的电磁流量计，并在消除磁场与电极分布的不均匀、提高低流速测量精度等方面有了很大突破，在此基础上拟用8电极对测量管道进行仿真，在单方向磁场下将测量区域划分为7个。电极时选取方式见表4，电极分布图见图6。

表4 测量电压区域对应表Tab.4 Corresponding table of the area and electrode pair

图6 电极对组合Fig.6 Electrode pair layout

图7 区域划分方式3Fig.7 Area distribution method 3

基于3.1的区域划分方式3将8电极的测量区域划分成如下的7个区域，见图7。

图7区域划分方式3中，仿真模型以主动脉和静脉分布在x轴的假设为前提，将8电极分布在以x轴为对称轴的上下45°范围的左右两侧，各均匀分布4个电极，仿真时磁场方向为y轴正方向，电极的这种布置方式是为了在测量区域内使所有的电极获得较高的感应电动势，提高计算和测量精度。在区域划分方式1的基础上将7个区域集中在以x轴为对称轴的两侧，其中区域4和区域6代表主动脉和静脉血管。

按照与3.1中相同的设置方法进行设置，其中在模拟主动脉和静脉的区域分别设置相应的速度，启动仿真。此种划分方式在适宜λ下的仿真速度分布结果见图8。

图8 区域划分方式3 （λ=0.005）Fig.8 Area distribution method3（λ=0.005）

在图8中，当λ取0.005时在模拟主动脉和静脉区域的重构误差分别为-10.6%和22.3%，重构速度值与期望速度值的吻合度比较高；在其他区域内，总体的重构误差接近于0，但区域5重构的速度值却偏离期望速度值，原因在于区域5介于区域4和6之间，在模拟动脉、静脉的区域内赋予的速度对区域5的影响比较大，出现数值波动。从总体上看，8电极7区域的划分方法理论上也可以重构出主动脉和静脉中方向相反的2个速度，但是对比16电极的重构结果，由于划分区域数目减半，电极数目减半，而磁场方向仍是单方向，使得电极获得的感应电动势误差比较大，速度重构值精度低。

3.3 8电极14区域的仿真

多电极电磁流量计是传统电磁流量计与电磁层析成像技术的有机结合，天津大学测量实验室应用层析成像的检测原理，提出了一种采用可旋转均匀磁场做激励，多对电极检出感应信息的测量方法［17］。基于3.2中8电极单磁场的重构结果以及文献［6］和文献［17］的理论基础，本文拟采用8电极多方向的磁场进行仿真，在区域权函数的理论背景下，可将测量截面划分为14个区域。电极对选取方式见表5，电极分布图见图9。

表5 测量电压区域对应表Tab.5 Corresponding table of the area and electrode pair

图9 电极对组合Fig.9 Electrode pair layout

参考16电极的区域划分方式，在此种方案下将测量截面划分为以下2种方式，见图10和图11。

图10 区域划分方式4Fig.10 Area distribution method 4

图11 区域划分方式5Fig.11 Area distribution method 5

图10和图11采用与3.2中相同的电极布置方式，但仿真是在不同的磁场方向下进行，分别为x轴和y轴正方向，此种情况下的2种区域划分方式是在3.1和3.2仿真结果的基础上而来的。

图12和图13为区域划分方式4和5下选取不同λ的速度分布图。

图12 区域划分方式4的不同λ的速度分布图Fig.12 Velocity profiles of area distribution method 4 under differentλ

图13 区域划分方式5的不同λ的速度分布图Fig.13 Velocity profiles of area distribution method 5 under differentλ

图12为区域划分方式4在不同λ下的速度分布图。结果显示，当λ为0.000 2时总体的重构结果都比较理想，重构误差较小，对于模拟主动脉和静脉的区域而言，重构误差分别为1.1%和-11.2%，其他区域重构误差基本为0。当λ为0.008 7时在模拟主动脉和静脉的区域内，重构误差很大，分别为-30.2%和61.0%，在其他区域尤其是区域6和9重构速度值严重偏离期望速度值，缘于这两个区域的面积较小而且受区域7和区域8的速度影响而造成，图中显示区域9的重构速度值与区域8的期望速度值比较接近，此时也可将该区域的重构值近似地作为区域8的重构速度值。此种区域划分方式下λ不同取值的重构误差如表6所示。

图13为区域划分方式5在不同λ下的速度分布图。结果显示，当λ为0.002时在模拟主动脉和静脉区域的重构误差为3.2%和1.3%，在其他区域重构误差基本为0，但在区域10出现较大的波动；当λ取0.008 7时在模拟主动脉和静脉的区域内重构误差比较小，分别为2.6%和0.98%，但在其他区域内则有程度不同的波动。从图12和图13以及表6和表7中可以看出磁场方向增加，划分区域增多，使得在不同区域划分方式下的重构误差有所减小。此种区域划分方式下λ不同取值的重构误差如表7所示。

表6 区域划分方式4的λ不同取值的重构误差Tab.6 Simulation error of the different values ofλ%

3.4 正则参数的选择

在进行速度重构时，正则参数的选择尤为重要，通常有先验的和后验的2种方法。在众多正则参数的确定方法中，L-曲线法以其不需要任何先验知识且鲁棒性较强而被广泛应用。所谓的L-曲线法是指用对数尺度来描述‖xλ‖和‖b-Axλ‖的曲线对比，通过对比结果确定正则参数，该方法的显著特点是图形中出现一条明显的L曲线［18］。‖xλ‖与‖b-Axλ‖均为正则参数λ的函数，前者代表解的稳定性，后者代表新旧问题的误差程度［19］。研究证明λ∝‖x‖-1，‖Ax-b‖，在曲线的拐点处，解的稳定性与误差偏离程度取得折衷，因此，该点对应的λ值即为最优正则参数。为了适合数值实现，λ可通过极小化泛函

求取。

4 结 论

基于速度分布图分析可知，对于16电极的仿真测量截面处区域划分多，所得的测量电压个数多，从而能很好地对速度进行重构使得精确度高；对于8电极的仿真单方向磁场下划分区域少，获得的测量电压值少，整体上可以很好地对速度重构，但是重构精度比较小；而在多磁场方向下虽然电极对的数目不变，但是划分区域增多，获得的测量电压值多，使得重构精度高。综合以上2种方案的5种划分方式，电极对数目的选取以及磁场方向都对重构结果有影响，电极对数目减少了，但是磁场方向的增加，使得总体的重构效果比较理想。

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