由佩尔方程想起
2014-03-10宋建章
宋建章
由佩尔方程的演变和同余式的定理，用初等数论的一些方法，推导出素数的一些基本定理，拓宽人们对素数的认识。对佩尔方程的解法及数论其他方面的研究有所帮助。
我们知道佩尔方程x2-Dy2=1，D为给定的正数，当D不是一个平方数的情况下，具有无限多解。这里我们仅讨论D为素数且D≡3（mod4）的情况。
即：x2-Dy2=1，D为素数且D≡3（mod4），D=4K0+3
设x2-Dy2=1的基本解为（x0，y0）时
一：若x0为奇数，y0为偶数。有：
x0-1=2y012 或 x0+1=2y012
x0+1=2Dy022 x0-1=2Dy022
y0=2y01y02 y0=2y01y02
得：y012-Dy022=-1（A） 得：y012-Dy022=1（B）
（A） 式不可能。因为二次同余式x2+1=0（modD）有解的充要条件是D≡-1（mod4）而这与D≡3（mod4）相矛盾[1]
（B）式因（x0，y0）是基本解，而解（y01 ，y02）小于基本解这不可能。
说明：x2-Dy2=1，D为素数且D≡3（mod4），D=4K0+3，其基本解（x0，y0），x0为偶数，y0为奇数。
二：若x0为偶数，y0为奇数。有
x0-1=y012 或 x0+1= y012
x0+1=Dy022 x0-1=Dy022
y0=y01y02 y0=y01y02
得：y012-Dy022=-2 （C） 得：y012-Dy022=2（D）
因 x0为偶数，y0为奇数。则y01?，y02 均为奇数，设y01 =2q+1
则：y012 -1=2q（2q+2）=4q（q+1）
因8|4q（q+1），故y012 ≡1（mod8），同理y022 ≡1（mod8）
根据（C）式：1-（4K0 +3）×1=-2（mod8），得K0 为偶数。
根据（D）式：1-（4K0 +3）×1=2（mod8），得K0 为奇数。
故知：佩尔方程x2-Dy2=1，D=4K0+3
当 K0为偶数，不定方程y012-Dy022=-2有解，得同余式 x2=-2（modD）有解。
当K0为奇数，不定方程y012-Dy022=2有解，得同余式 x2=2（modD）有解。
根据同余式x2=-2（modD）有解，将证明以下定理：
三：定理一，设D 是素数，且D=4K0+3，K0为偶数，则D=a2+2b2
举例：179=92+2×72
证明：如果D=3时，则D=3=1+2×12，则D=a2+2b2 有解。
由同余式 x2=-2（modD）有解。因整数0，±1，±2…±（D-1）/2组成模D的完全剩余系。
假定x 是其中之一，因而存在整数x 与t ，其中|x|≦（D-1）/2 使得：x2+2=tD （t>0） <1> 且：t=（x2+2）/D<{（D/2）2+2}/D=D/4+2/D 因2=2×12，由<1>式有整数x，y，t（y=1）得： x2+2y2=tD（1≦t 以下将证明若t>1，可调整x，y的值 ，使之减小到1。 设k>1，是最小整数使：kD=x12 +2y12 <3> 且不可能x≡y1≡0（modk） 由<2>式知：1 用完全剩余系、0，±1，±2…可以假定：|x2|≦k/2，|y2|≦k/2 <5> 由<4>式得：x22+2y22=x12+2y12 ≡0（modk） 由<3>与<4>，存在整数m，使得：x22+2y22=km <6> 该文原载于中国社会科学院文献信息中心主办的《环球市场信息导报》杂志http：//www.ems86.com总第577期2014年第45期-----转载须注名来源 则：m=（x22+2y22）/k≧1 ，由<5>式有： m={（k/2）2+2×（k/2）2}/k=3k/4 即1≦m K2mD=（x12+2y12）（x22+2y22）=（x1x2+2y1y2）2+2（x2y1-x1y2）2 再由（4）：x1x2+2y1y2≡x12 +2y12 ≡0（modk） x2y1-x1y2≡x1y1-x1y1≡0（modk） 于由：mD={（x1x2+2y1y2）/k}2 +2{（x2y1-x1y2）/k}2 得：mD=x23 +2y32 這 与所设k是最小整数矛盾，问题得到证明，即：D可以写成 a2+2b2 即：D=a2+2b2 当K0为奇数，根据 同余式 x2=2（modD）有解，将证明以下定理： 四：定理二，设D 是素数，且D=4K0+3，K0为奇数，则D=a2-2b2 。 补充说明：因 x2-2y2=1有解，故定理二有无限多解。 如：1031=372-2×132=592-2×352=… 证明：如果D=4×1+3=7=32-2×12，则D=a2-2b2有解。 由同余式 x2=2（modD）有解。因整数0，1，2…（D-1）组成模D的完全 剩余系。 假定x 是其中之一，因而存在整数x 与t ，其中x≦（D-1） 使得：x2-2=tD （t>0） <7> 且：t=（x2-2）/D<（D2-2）/D 因2=2×12，由<7>式有整数x，y，t（y=1）得： x2-2y2=tD（1≦t 以下将证明若t>1，可调整x，y的值 ，使之减小到1。 设k>1，是最小整数使：kD=x12 -2y12 >0 <9> 且不可能x≡y1≡0（modk） 由<8>式知：1 用完全剩余系、0，1，2…（k-1）可以假定： x2≦k-1，y2≦k-1，且x22-2y22 >0 <11> 由<10>式得：x22-2y22=x12-2y12 ≡0（modk） 由<9>与<10>，存在整数m，使得：x22-2y22=km <12> 因km=x22-2y22≦（k-1）2-2y22 有： k2mD=（x12-2y12）（x22-2y22）=（x1x2-2y1y2）2-2（x2y1-x1y2）2 再由（10）：x1x2-2y1y2≡x12 -2y12 ≡0（modk） x2y1-x1y2≡x1y1-x1y1≡0（modk） 于由：mD={（x1x2-2y1y2）/k}2 +2{（x2y1-x1y2）/k}2 得：mD=x23 -2y32 这与所设k是最小整数矛盾，问题得到证明，即：D可以写成 a2-2b2 即：D=a2-2b2 五：结论 设D 是素数，且D=4K0+3，K0为偶数，则D=a2+2b2 设D 是素数，且D=4K0+3，K0为奇数，则D=a2-2b2 （作者单位：南通紫琅混凝土有限公司实验室）
