ABAQUS混凝土塑性损伤模型概述

孙庆昭

（中机中联工程有限公司，重庆400039）

ABAQUS混凝土塑性损伤模型概述

孙庆昭

（中机中联工程有限公司，重庆400039）

该文对大型非线性有限元分析软件ABAQUS中的混凝土塑性损伤模型进行了详细的介绍。着重讨论了混凝土塑性损伤模型的基本理论和损伤因子基于《混凝土结构设计规范》（GB50010-2010）[4]附录C应力-应变曲线的计算方法。同时也对ABAQUS中塑性损伤材料模型的滞回规则、屈服准则和流动法则作了简要介绍。

塑性损伤；ABAQUS；损伤因子；滞回规则；屈服准则；流动法则；混凝土

0 引言

钢筋混凝土结构在土木工程中的应用非常广泛。对于常规的建筑结构，多止步于弹性阶段的结构设计，并没有过多地考察其非线性特性。但是随着建筑结构设计要求的提高、经济投资的加大，越来越多的超限结构需要进行弹性设计以外的弹塑性时程分析验算，以获得结构体系在地震往复作用下的反应。近年来，随着有限元理论和电子计算机的飞速发展，大大促进了钢筋混凝土结构的非线性分析。ABAQUS作为具有强大非线性计算能力的通用有限元分析软件在土木工程结构计算中得到了广泛应用。

在ABAQUS中，为混凝土材料定义了一种材料模型——塑性损伤模型，它可以模拟混凝土材料的拉裂和压碎等力学现象。ABAQUS中的塑性损伤模型是在Lubliner[1]和Lee and Fenves[2]模型的基础上建立的。该模型使用各向同性损伤弹性结合各向同性拉伸和压缩塑性的模式来表示混凝土的非弹性行为，是一个基于塑性的连续介质损伤模型。同时，它基于各向相同破坏的假设，可用于单向加载、循环加载及动态加载等情况，同时考虑了由于拉压塑性应变导致的弹性刚度的退化以及循环荷载作用下的刚度恢复，具有较好的收敛性[3]。

1 ABAQUS塑性损伤模型理论

ABAQUS要求用户填入的是混凝土单轴的拉伸和压缩应力-应变曲线上的一些特征点数据，它可以直接被调用而用于ABAQUS中的一维梁单元，对于二维壳单元和三维实体单元，程序会自动运用广义胡克定律（弹性）和塑性位势理论（弹塑性）确定二维和三维应力状态下的空间应力-应变关系。

混凝土材料单轴拉伸和压缩应力-应变曲线（如图1）显示：应力-应变曲线存在下降段，应力超过弹性范围以后卸载时存在刚度退化现象，这与混凝土材料内部存在微小裂缝（损伤）有关。

图1 混凝土单轴拉伸和压缩应力-应变曲线（上图：拉伸；下图：压缩）

混凝土塑性损伤模型的受拉应力-应变数据在ABAQUS中以的形式输入。其中称为开裂应变，其被定义为总应变减去材料无损伤的弹性应变，

当拉应力超过弹性极限σt0后，将按(1-dt)E0的退化刚度卸载，dt称为受拉损伤因子，它是受拉等效塑性应变的非减函数，其取值范围在0（无损伤）到1（完全损伤）之间。受拉损伤数据以的形式输入到程序中，程序自动按下式将开裂应变转化为等效塑性应变

混凝土塑性损伤模型的受压应力-应变数据在ABAQUS中以的形式输入。其中称为受压非弹性应变，其被定义为总应变减去材料无损伤的弹性应变

当压应力超过弹性极限σco后，将按(1-dc)E0的退化刚度卸载，dc称为受压损伤因子，它是受压等效塑性应变的非减函数，其取值范围在0（无损伤）到1（完全损伤）之间。受压损伤数据以的形式输入到程序中，程序自动按下式将开裂应变转化为等效塑性应变

2 损伤因子的取值

ABAQUS需要用户输入的材料信息包括混凝土材料的单轴的受压、受拉应力-应变关系曲线以及受压、受拉时的损伤因子-非弹性应变曲线（仅输入曲线上的一组离散点，程序会自动根据所输入的离散点进行拟合，因此离散点的选择至关重要）。材料本构曲线和损伤因子曲线一般通过实验得到，当缺少实验数据时，可以结合《混凝土结构设计规范》（GB50010-2010）[4]附录C提供的混凝土应力-应变曲线利用能量等价原理计算得到所需参数。

规范[4]给出的混凝土单轴应力-应变曲线如图2所示，其中ft,r、fc,r分别为混凝土单轴抗拉、抗压强度代表值；εt,r、εc,r分别为与单轴抗拉强度代表值和单轴抗压强度代表值对应的混凝土峰值应变。

图2 混凝土单轴应力-应变曲线

混凝土单轴受拉的应力应变曲线公式如下：

当x≤1时，

当x＞1时，

αt为混凝土单轴受拉应力-应变曲线下降段的参数值，按规范[4]表C.2.3取用。

当x≤1时，

当x＞1时，

Sidiroff的能量等价原理认为，应力作用在受损材料产生的弹性余能与作用在无损材料产生的弹性余能在形式上是相同的[5]，只要将应力改为等效应力，或将弹性模量改为损伤时的等效弹性模量即可。

无损伤材料弹性余能：

等效有损伤材料弹性余能：

将式（12）归一化得：

将式（8）、式（9）分别与式（13）对应，即可解出：

当x≤1时，

当x＞1时，

同理，可得单轴受压损伤因子计算公式如下：当x≤1时，

当x＞1时，

3 滞回规则

ABAQUS中混凝土塑性损伤模型的滞回准则由损伤因子d和刚度恢复系数ω共同决定。刚度恢复系数ω分为受拉刚度恢复系数ωt和受压刚度恢复系数ωc，分别表示混凝土应力-应变曲线从受压区过渡到受拉区和从受拉区过渡到受压区时，弹性模量的变化程度。ωc=1表示混凝土从受拉区进入受压区时弹性模量可完全恢复至上一次受压卸载时的弹性模量，ωc=0表示混凝土弹性模量不能恢复，如图3所示。ωt=1表示混凝土从受压区进入受拉区时弹性模量可完全恢复至上一次受拉卸载时的弹性模量，ωt=0表示混凝土弹性模量不能恢复[6]。

图3 受压刚度恢复因子ωc影响示意图

很多准脆性材料（混凝土）的试验表明，当从拉应力变到压应力时，由于裂纹闭合，受压刚度将会恢复。但是另一方面，当受压的微裂纹压碎时，由受压变为受拉时的受拉刚度将不会恢复。鉴于此，ABAQUS默认条件下，假定ωt=0及ωc=1，即只有受压刚度恢复而没有受拉刚度恢复[3]。图4为默认条件下的一个应力循环的曲线图。

图4 默认条件下（ωt=0及ωc=1）单轴应力循环曲线图（拉-压-拉）

4 屈服准则

在复杂应力状态下，物体内某一点开始产生塑性变形时，应力必须满足一定的条件，它就是复杂应力状态下的屈服准则。一般来说，它应是6个应力分量的函数，可表示为：式中，C为与材料有关的常数，F为屈服函数[7]。

ABAQUS中混凝土塑性损伤模型采用的屈服准则是基于Lubliner等人（1989）[1]建议的屈服函数，它综合了Lee and Fenves（1998）[2]的修正以考虑拉压不同时强度的不同演化规律。用有效应力表达时的屈服函数为：

5 流动法则

材料在初始弹性范围内，应力与应变之间存在着一一对应的关系，即广义胡克定律。进入塑性状态以后，一般来说，不再存在着应力与应变之间的一一对应关系，只能建立应力增量与应变增量之间的关系。这种用增量形式表示的材料本构关系，称为增量理论或流动法则[7]。流动法则是关于塑性应变增量方向的假定准则，经典塑性位势理论假定塑性应变增量方向满足正交流动规则，即塑性应变增量ε&pl的方向与塑性势函数的梯度方向或塑性势面的外法线方向一致。其数学表达式为：

式中λ&是一个非负的标量因子，表示塑性应变增量的大小；Q为塑性势函数。

如果假定塑性势函数等于加载函数或屈服函数，即Q=F，这样塑性势函数与加载函数或屈服函数相关联，称为相关联的流动法则；如果Q≠F，则ε&pl的方向与加载面或屈服面不正交，但仍与塑性势面正交，这时称为不相关联的流动法则，这样塑性势函数的选取就非唯一。

ABAQUS中混凝土塑性损伤模型采用的是非关联流动法则，其塑性势的数学表达式取为Drucker-Prager双曲面函数的形式：

式中ψ为膨胀角，σt0是单轴抗拉强度，∈是势函数偏心率。

6 结语

本文详细介绍了ABAQUS混凝土塑性损伤模型的基本理论，基于能量等效原理推导了与现行《混凝土结构设计规范》（GB50010-2010）[4]附录C提供的混凝土受压和受拉应力-应变关系曲线对应的损伤因子计算公式。并对复杂应力状态下的弹塑性有限元分析中较难理解的滞回规则、屈服准则以及流动法则进行了简单阐述，有助于工程界对ABAQUS软件和弹塑性有限元分析理论的理解与掌握。

[1]Lubliner J，Oliver J，Oller S，et al.A Plastic-damage model for concrete[J].International Journal of Solids and Structures，1989，25（3）:299-326.

[2]Lee J，Fenves G L.Plastic-damage model for cyclic loading of concrete structures[J].Journal of Engineering Mechanics，1998，124（8）:892-900.

[3]ABAQUS analysis user’s manual v6.10[M].ABAQUS Inc，2010.

[4]中华人民共和国国家标准.GB50010-2010?混凝土结构设计规范[S].北京:中国建筑工业出版社,2010.

[5]李兆霞.损伤力学及其应用[M].北京:科学出版社，2002.

[6]聂建国，王宇航.ABAQUS中混凝土本构模型用于模拟结构静力行为的比较研究[J].工程力学，2013，30（4）:59-67，82.

[7]朱伯芳.有限单元法原理与应用[M].北京:中国水利水电出版社，2009.

责任编辑：孙苏

An Overview of Plastic Damage Model of ABAQUS Concrete

Concrete plastic damage model in nonlinear finite element analysis software ABAQUS is introduced in detail.The basic theories of concrete plastic damage model and the calculation methods of the damage factors based on stress-strain curve in appendix C of Code for Concrete Structures Design（GB50010-2010）[4]are discussed in particular.Also,the hysteresis rules，yield criterion and flow rule for plastic damage material model in ABAQUS are introduced for reference.

plastic damage;ABAQUS;damage factor;hysteresis rules;yield criterion;flow rule;concrete

TU313

A

1671-9107（2014）11-0070-03

10.3969／j.issn.1671-9107.2014.11.070

2014-10-23

孙庆昭（1989-），男，河南虞城人，本科，主要从事建筑设计工作。