电力系统最优潮流新模型及其内点法实现

聂永辉，肖 白，刘凤兰

（1.东北电力大学教务处，吉林132012；2.东北电力大学电气工程学院，吉林132012；3.吉林市实验中学，吉林132010）

最优潮流OPF（optimal power flow）问题是通过利用电力系统中可调节的控制手段，在满足电力系统安全运行和物理约束条件限制下，使某种预定目标达到最优的系统稳定运行状态。它是典型带有连续变量和离散变量的大规模、非线性、非凸的规划问题[1-2].从20 世纪60年代法国Carpentier提出最优潮流这个概念后，很多方法如线性规划法、二次规划法、简约梯度法、牛顿法和智能方法等[3-4]，被用来解决复杂的优化问题，这些方法在某些方面存在明显的缺陷，或不等式约束的处理问题，或最优解附近收敛性问题，或数值稳定性问题，制约了OPF 的求解范围。

近年来，预测-校正原对偶内点法PCPDIPM（predictor-correctorprimal-dualinteriorpointmethod）被成功地应用于求解各种优化问题，因其具有良好的数值稳定性和快速收敛的特性被认为是解决大规模OPF 问题较有效的方法[5-11]。该算法主要是海森矩阵的形成和矩阵分解，约占了全部计算量的80%～90%，而现有的最优潮流模型是优化变量的高阶函数，导致其海森矩阵不是定常矩阵，随着迭代过程而变化，需要在迭代过程中不断进行更新计算，为此增加了计算机消耗总时间。文献[3]利用多中心柱正内点法的思想，通过关键参数的改进得至更大迭代步长，加速了算法整个收敛过程；文献[5]利用最小度法MD（minimum degree）对修正方程系数矩阵进行节点优化排序，有效地减少了在三角分解过程中注入元产生的个数，以提高优化速度；文献[9]根据电力系统拓扑结构的特点，通过重新排列原对偶变量在高度稀疏的修正方程系数矩阵中的顺序，有效地减少了在三角分解过程中注入元产生的个数，从而降低计算机优化时间。

本文在有载调压变压器支路模型中增加虚拟节点，有载调压变压器支路功率方程用该节点的电压来表达，使其不含有变压器变比这个变量，从而在直角坐标系中建立了最优潮流问题的二次新模型，使得该模型有恒常的海森矩阵，在优化过程中也只需要一次计算，这样缩短了内点法的计算总时间。为了进一步提高优化速度，利用列近似最小度法对内点法牛顿方程的系数矩阵进行节点优化排序，以进一步减少三角分解时注入元的产生。但由于虚拟节点的引入，增加了等式约束和优化变量的个数，从而增加了求解修正方程的时间，但增加的时间比形成修正方程时缩短的时间少，从而提高了计算速度。

1 最优潮流新模型

经典的有载调压变压器LTC（load tag changing tramsformer）支路模型，由理想变压器和导纳支路串联组成，如图1 所示。图中：i 和j 分别为有载调压变压器的标准侧节点和非标准侧节点，t 为LTC变比，yt=gt+jbt为LTC 导纳，=ei+jfi和=ej+jfj为LTC 各侧节点电压=PTij+jQTij和PTji+jQTji为标准侧和非标准侧节点注入功率。

则有载调压变压器支路功率方程为

图1 有载调压变压器等效模型Fig.1 LTC equivalent model

由于LTC 变比的存在，导致有载调压变压器支路功率方程均是电压和变比的高次函数，其对应的海森矩阵不是常数，因此在基于预测-校正原对偶内点的优化计算中，每次迭代都需要计算，增加了整个优化时间。为使式（1）～式（4）变成二次函数，本文在理想变压器和串联导纳之间增加一个虚拟节点，其电压为em+jfm，见图1，S˙Tmj=PTmj+jQTmj是虚拟节点m 流向标准侧节点j 的功率，S˙Tjm=PTjm+ jQTjm是低压侧节点j 流向虚拟节点m 的功率，则有载调压变压器支路功率方程变为

理想变压器是无损的，其两侧电压应满足的关系为

引入以上变压器模型，以各个节点的电压实部与虚部、LTC 变比、发电机有功发电出力、无功发电出力及无功补偿点无功出力为优化变量，在直角坐标下建立了二阶最优潮流优化模型。

1）目标函数

以系统运行成本最小为目标函数的数学模型为

式中：PGi为第i 台发电机的有功发电出力；c0i、c1i、c2i为其耗量特性曲线参数。

2）等式约束

等式约束包括节点功率平衡方程和电压转换方程，节点功率平衡方程为

式中：PLij和QLij分别为常规线路及无载调压变压器支路的有功和无功；Pi和Qi分别为节点的有功注入和无功注入；PTij和QTij分别为有载调压变压器支路的有功功率和无功功率，如果节点i 为非标准侧，则按式（5）和式（6）计算；如果节点i 为标准侧，则按式（7）和式（8）计算；NB为系统原有的节点数，不包括虚拟节点；SLi为与节点i 相连的常规支路集合；STi为与节点i 相连的有载调压变压器支路集合。

（3）不等式约束

不等式约束包括节点电压幅值、发电机有功发电出力和无功发电出力、并联无功补偿出力、LTC 变比的上下限约束和支路传输功率约束，即

式中，[]min、[]max为相应变量的下限和上限。

由于虚拟节点的引入，该最优潮流模型的目标函数、等式约束限制、不等式约束限制均是优化变量的二次函数。因此，各个函数的海森矩阵都是常数矩阵，在内点法的整个优化过程中只计算一次，不需要每次迭代都进行计算，优化计算的总时间大大降低[1-6]。

2 算例仿真

本文是在奔腾双核（2G 内存）和操作系统为WINDOWS XP 的环境下，利用Matlab7 对IEEEl4、IEEE30、IEEE57、IEEE118、IEEE300 等节点系统建立新模型（Mod1）和常规模型（Mod2）进行仿真验证，采用标幺值进行优化计算。表1 介绍了测试系统的基本情况，表中：n 代表系统节点数量，l 为系统支路数量，k 为系统变压器支路数量，g 为系统发电机数量，r 为系统补偿装置数量，m1为等式约束个数，r1为不等式约束的个数，n1为修正方程的阶数。由表1 可以看出，针对同一节点系统，有相同个数的不等式约束限制，但在等式约束限制的个数和修正方程的阶数方面，所提模型比常规模型高。

表1 测试系统介绍Tab.1 Introduction of test systems p.u.

对于PCPDIPM 算法，其主要计算量是系数矩阵的形成和修正方程的求解，约占全部计算量的80%～90%。由于新模型的海森矩阵是常量，这极大地减少了形成系数矩阵所需要的时间。对于第2个问题，本文利用列近似最小度COLAMD（column approximateminimumdegree）算法和近似最小度AMD（approximate minimum degree）算法对内点法修正方程的系数矩阵进行节点优化编号，如表2 所示。不管采用哪种排序方法，LU 分解后矩阵的稀疏度都比分解前的要低。对于新模型，除了IEEE14 和IEEE30 节点系统外，COLAMD 算法比AMD 算法有更高的稀疏度；对于常规模型，除了IEEE118 和IEEE300 节点系统外，AMD 算法比COLAMD 算法有更高的稀疏度；由此，COLAMD 算法更适合高阶修正方程的系统，更有效地减少了其LU 分解所产生的注入元，从而减少了求解修正方程所需要的时间。

表2 LU 分解前后的稀疏度Tab.2 Degree of sparsity before and after LU %

新模型与常规模型在1 次迭代时形成系数矩阵所需要的时间如表3 所示。可以看出，新模型在1 次迭代时形成系数矩阵所需要的时间比常规模型少，这是因为：由于所提模型是二次模型，其目标函数、等式约束和不等式约束相对应的各个海森矩阵是恒常矩阵，在整个迭代过程中只进行1次计算，导致较少的时间形成修正方程系数矩阵；但对传统模型而言，由于交流LTC 支路的影响，其模型是高阶函数，在每一次迭代过程中都需要求解对应的各个海森矩阵，因此需要更多的时间形成修正方程系数矩阵。

表3 第1 次迭代系数矩阵形成时间Tab.3 Time of forming coefficient matrix in first iteration s

新模型与常规模型在1 次迭代时求解修正方程所需要的时间如表4 所示。两种模型的系数矩阵经COLAMD 算法优化后（用Ordering 表示）比优化前（用N-Ordering 表示）大大减少了求解修正方程所需要的时间；经COLAMD 算法优化后，新模型求解修正方程所需要的时间比常规模型有所增加，这是由于虚拟节点的引进增加了牛顿方程的阶数，但COLAMD 算法对新模型更有效。从表3 和表4 可以看出，求解牛顿方程所增加的计算量小于计算系数矩阵所节省的形成时间，从而导致新模型优化的总时间比常规模型大大减少。

表4 第1 次迭代修正方程求解时间Tab.4 Time of solving correction equation in first iteration

用两种模型求解最优潮流问题所需要的总时间、迭代次数和运行成本如表5 所示，总时间包括形成海森矩阵、雅可比矩阵、系数矩阵的时间和求解牛顿方程所需要的时间。通过对5 个节点系统仿真，新模型所需要的总时间比常规模型少，系统规模愈大，节省的时间愈多；两种模型都有相同的迭代次数和优化结果。

为了更好地揭示新模型的收敛特性，表6 列出了IEEE30、IEEE57 和IEEE118 3 个系统在迭代过程中运行成本的变化，仿真结果显示两种模型有相同的收敛特性，对一特定系统，迭代过程的前几次有些不同，但都收敛到相同的结果。

表5 优化总时间、迭代次数和优化结果Tab.5 Time，iterations and optimal results

表6 迭代过程中的燃料费用Tab.6 Fuel cost during the iterative process$/h

3 结语

本文在有载可调变压器支路中引进虚拟节点，在直角坐标系中建立了包含有载可调变压器变比的二阶最优潮流新模型。该模型的海森矩阵在优化过程中是恒常矩阵，只需要计算1 次，这样缩短了内点法的计算机消耗总时间。利用列近似最小度法对修正方程系数矩阵进行节点优化排序，进一步减少三角分解过程中注入元的产生。算例结果表明：新模型的迭代特性与传统模型的基本相同，但优化速度却有较大的提升。

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