无限维模李超代数Ω的超导子代数

李 明，徐晓宁

（辽宁大学数学学院，辽宁 沈阳110036）

1997年，张永正教授构造了四族有限维Cartan型单模李超代数W，S，H，K（相应于特征零的情形）［1］.2004年，刘文德教授发现了一族新的有限维Cartan型单模李超代数HO（见文献［2］）.文献［3］研究了有限维Cartan型单模李超代数KO.2009年，张永正教授利用截头多项式代数与Grassmann超代数做张量积，得到了一族新的有限维单模李超代数Ω，即Ω－型模李超代数.并且给出了其超导子代数，证明了它与已知的Cartan型模李超代数都不同构［4］.文献［5－6］讨论了Ω－型模李超代数的滤过不变性、结合型及限制性.

确定李（超）代数的导子（超）代数是李（超）代数研究中重要而有趣的课题.文献［7－8］研究了Cartan型模李代数的导子代数，文献［2－3，9－12］确定了上述6类有限维模李超代数及无限维模李超代数K 的超导子代数.本文将确定无限维模李超代数Ω 的超导子代数.

1 预备知识与约定

本文如不特别说明，总设基域F是特征数p＞3的域，并且F不等于它的素域Π.设E＝｛z1，…，zm｝是F中有限子集，且E 在Π 上是线性无关的.设由E 生成的F的加法子群H 中不包含1.任取η∈H，设其中0≤ηi＜p，定义yη＝yη11…yη1m.设是整数模2的剩余类环，N 与N0分别是自然数集与非负整数集.取n∈N，r＝2n＋2.令μ1，…，μr－1∈F，且满足：μ1＝0，μj＋μn＋j＝1，j＝2，…，n＋1.置M＝｛1，…，r－1｝.我们定义截头多项式代数

使得

对任意i∈M，设ki∈N0，则ki可唯一地表示为p－adic的形式其中0≤εv（ki）＜p.定义设Q＝｛（k1，…，kr－1）｜ki∈N0，i∈M｝.若k＝（k1，…，kr－1）∈Q，则令xk＝xk11…xkr－1r－1.对ki，k′i∈N0，易见

令Λ（q）是具有q个变元ξr＋1，…，ξr＋q的Grassmann超代数，其中q∈N，q＞1.置Ω∶＝A⊗Λ（q）.定义

设L 是李超代数，h（L）表示Z2－齐次元素的集合.若｜x｜出现在本文的某个表达式中，则约定x 是Z2－齐次元素，｜x｜表示x 的Z2－次数.设s＝r＋q，T＝｛r＋1，…，s｝，R＝M∪T.若i∈M，则定义Z2.若i∈T，则定义令

设ei＝（δi1，…，δir－1），i∈M.定义Dj∈End（Ω），使得则Dj是Ω 的奇导子.定义Di∈End（Ω），使得Di（xkyηξu）＝k＊ixk－eiyηξu，i∈M，其中k＊i为ε0（ki），ε1（ki），…，εv（ki）的第一个非零元素，则Di是Ω 的偶导子.设M1＝｛2，3，…，r－1｝，令

这里I是Ω 的恒等变换.在Ω 中定义双线［，］运算，使得对任意f∈h（Ω），ɡ∈Ω，我们有

容易证明，当2n＋4－q≢0（mod p）时，η＋2－1q－n－2≠0，η∈H.令xi＝x1i＝xi0，∀i∈M.对j∈Z，令

2 主要结果

定理2.1 Ω 是无限维单模李超代数.

证明 根据Ω 的定义，显然Ω 是无限维李超代数.设Y 是李超代数Ω 的任意非零理想，并设0≠f∈Y.置f＝xt1f0＋xt－11f1＋…＋ft，其中f0≠0，D1（fj）＝0，j＝0，1，…，t.利用公式（1），我们得到

因此f0∈Y.令f0＝xliɡ0＋xl－1iɡ1＋…＋ɡl，其中i∈M1，ɡ0≠0且Di（ɡj）＝0，j＝0，1，…，l.因为

因此ɡ0∈Y.我们可以假设ɡ0∈Y，这里Di（ɡ0）＝0，∀i∈M.如果Di（ɡ0）≠0，其中i∈T，我们可以假定ɡ0＝ξih0＋h1，其中i∈T，h0≠0，Di（h0）＝Di（h1）＝0.那么h0＝－［ξi，ɡ0］∈Y.这样我们可以假定Di（h0）＝0，∀i∈R.因此如果h0至少包含两个非零项，那么我们可以假设

其中aη≠0，aμ≠0.令

显然h′0是Y 中的元素且比h0少一项.类似的方法一直进行下去，可以得到aλyλ∈Y，aλ≠0.那么yλ∈Y.因为1∉H，所以1－λ≠0.故1＝（1－λ）－1［x1y－λ，yλ］∈Y.于是，对任意的xkyλξu∈Ω，我们有

故Y＝Ω.

定理2.2 设S＝｛xkii｜i∈M，ki∈N0｝∪｛yη｜η∈H｝∪｛ξj｜j∈T｝，那么Ω 是由S 生成的.

证明 设Y 是由S 生成的子代数.

（1）2［xk11＋1，ξj］＝（k1＋1）＊xk11ξj∈Y，其中k1∈N0，j∈T.

（2）ξu∈Y.我们关于k进行数学归纳法.得证ξj1ξj2…ξjk∈Y，其中j1，…，jk∈T.因此ξu∈Y.特别是ξω∈Y.

（3）xk11xti∈Y，i∈M1，t∈N0.相仿于文献［4］定理3.19中6的证明，可知xk11xiξj∈Y，i∈M1，j∈T.若1－μit≢0（mod p），我们有

若1－μit≡0（mod p），则由

可得

（5）xk∈Y，k∈Q.事实上，若1－μit－μi′s≢0（mod p），则

且t，s∈N0.若1－μit－μi′s≡0（mod p），则

这里α＝1（或－1）.故而可得

（6）［xk＋e1，yη］＝（k1＋1）＊（1－η）xkyη∈Y.

若1－2－1q≢0（mod p），则

若1－2－1q≡0（mod p），则由

可得

这里α＝1或－1.

如果u≠ω，那么可设｛ω｝＼｛u｝＝｛j1，…，jt｝.则

其中β＝1或－1.

综合以上证明，可得Ω⊆Y，而Y⊆Ω，因此Y＝Ω.

定义2.1 若i∈T，f∈Ω，Di（f）＝0，则称f 是截头的.

定义一个线性映射，ρi：Ω→Ω，i∈R，使得

直接计算可得下面引理.

引理2.1

（1）如果f∈Ω，那么Diρi（f）＝f，∀i∈M.

（2）如果f∈Ω 是截头的，那么Diρi（f）＝f，∀i∈T.

（3）Diρj＝（－1）~i~jρjDi，其中i，j∈R，i≠j.

引理2.2 设ft1，…，ftk∈Ω，其中t1，…，tk∈R.如果Di（fj）＝（－1）~i~jDj（fi），这里i，j＝t1，…，tk，那么存在f∈Ω，使得Di（f）＝fi，i＝t1，…，tk.

证明 显然2Di（fi）＝0，故fi是截头的，i∈T.对k用数学归纳法.当k＝1，令f＝ρt1（ft1）.利用引理2.1，Dt1（f）＝Dt1ρt1（ft1）＝ft1.假设存在ɡ∈Ω，使得Di（ɡ）＝fi，i＝t1，…，tk－1.设f＝ɡ＋ρtk（ftk－Dtk（ɡ））.利用引理2.1，对i＝t1，…，tk－1，我们有

由引理2.1知

相仿于文献［4］，引理3.5的证明，我们可得下面的引理.

引理2.3 设φ∈h（DerΩ），f∈Ω.如果φ（xi）＝φ［f，xi］＝φ（ξj）＝φ［f，ξj］＝0，∀i∈M1，j∈T，那么φ（f）∈Ω－2.

引理2.4 设t∈Z和φ∈h（DertΩ）.如果φ（Ωj）＝0，j＝－1，0，…，k，其中k≥－1和k＋t≥－2，那么φ＝0.

证明 当j＞k时，设f∈Ωj.假设φ（Ωj－1）＝0，显然［f，xi］，［f，ξj］∈Ωj－1.因此

因为φ（Ω－1）＝0，故φ（xi）＝φ（ξj）＝0.由引理2.3知φ（f）∈Ω－2.于是我们有φ（f）∈Ω－2∩Ωt＋j.但是t＋j＞t＋k≥－2，故Ω－2∩Ωt＋j＝0.所以φ（f）＝0.因此φ（Ωj）＝0，j≥－1成立.

又因为［xi，xi′］＝1（或－1），将φ 作用在等式两边，得到［φ（xi），xi′］＋［xi，φ（xi′）］＝φ（1）（或－φ（1））.因此φ（1）＝0.而［x1yη，1］＝yη，将φ 作用在等式两边，有［φ（x1yη），1］＋［x1yη，φ（1）］＝φ（yη）.于是φ（yη）＝0.

综上所证，可得φ（Ωj）＝0，j≥－2.因此φ＝0.

定义2.2 设Δ＝｛θ：H→F｜θ（λ＋η）＝θ（λ）＋θ（η），∀λ，η∈H｝.对于θ∈Δ，我们定义Ω 中的一个线性变换Dθ，满足Dθ（xkyλξu）＝θ（λ）xkyλξu.很显然Dθ∈Der0Ω.

引理2.5 如果φ∈h（DerΩ），那么存在ɡ∈Ω 和θ∈Δ，使得（φ－adɡ－Dθ）（Ωj）＝0，j＝－2，－1.

相仿于文献［4］引理3.13的证明可得此结论.

定理2.3 DerΩ＝adΩ⊕｛Dθ｜θ∈Δ｝⊕〈Dpvii ｜∀i∈M，vi∈N0〉.

证明 由引理2.4和引理2.5，可得φ＝adf＋Dθ，其中φ∈h（DertΩ），t≥－1，f∈Ω.

类似于文献［4］中引理3.15，2.21，3.22的证明，我们可得到如下结论：

对t≥3，若不存在v∈N，使得t＝pv或2pv，则

如果t＝pv，v∈N，那么

如果t＝2pv，v∈N，那么

于是定理得证.

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