地图符号蕴涵的几种拓扑变换类型

□钟业勋，胡宝清

（1.广西师范学院 1a北部湾环境演变与资源利用省部共建教育部重点实验室，1b 资源与环境科学院，广西 南宁 530001；2.广西测绘地理信息局，广西 南宁 530023）

地图符号蕴涵的几种拓扑变换类型

□钟业勋1，2，胡宝清1

（1.广西师范学院 1a北部湾环境演变与资源利用省部共建教育部重点实验室，1b 资源与环境科学院，广西 南宁 530001；2.广西测绘地理信息局，广西 南宁 530023）

在引入qgf=h后ai的地图符号由拓扑变换被表示为h(ai). 地图投影是从球面S到二维平面Z的拓扑变换，地图符号的位置信息通过地图投影获得. 地图符号在地图平面上有一个基本的表示空间mind，它在制图区域A上的原象h-1(mind)限制了地物的尺度. 为达地图可视化的目的，点线符号必须实行制图夸大. 点线符号属于闭集，而面状符号属于开集，它们具有互补关系，因此，点线符号的夸大必然使面状符号缩小. 地图符号蕴含着投影变换，夸大和缩小变换.

地物；地图符号；拓扑变换；地图投影；定位；夸大；缩小

地图具有信息载负、信息传输和空间认知功能，它是人们认识客观世界的桥梁和中介[1].任何地图的地图符号都可分为点状符号、线状符号和面状符号三大类.地图符号既有空间定位功能，又有表达地物的属性或量值的功能，从而回答了“在哪里”和“是什么”的基本问题.地图符号内不同性质的点集传递着不同的信息，其功能差异关联着不同的拓扑变换类型.由于目前这类文献尚为鲜见，笔者想就这一问题作一探讨尝试.

1 地图符号产生的拓扑学原理

制作地图时先要把地球按一定的比率缩小，这个缩小比率1∶M即是地图的主比例尺，也就是地图上标注的比例尺.由于现实中不存在1∶1的地图，因此比例尺分母恒大于1(地图比例尺小于1)已成地图制图的公理，即不经逻缉论证而确认它正确，作为论证基础的命题.

令f、g、q的复合变换qgf=h，则的地图符号qgf(ai)=h(ai).任何地方的任何事物，无论是物质的(如道路)或非物质的(如宗教信仰)，都是一种地理现象，它们都具有位置.表达地物间的位置关系，是地物最重要的基本性质，通常称为地理序列(geographical ordering)[5].地图符号必须表示最重要最基本的位置信息.而使地图符号获得位置信息的变换，是从球面的地理坐标到平面直角坐标的变换，即地图投影.地图投影变换通过h1和h2实现.地图符号还要表示其性质或某种量值.由于可视化地图符号有其表示阈值，如点大为0.15mm，线划不能小于0.1mm,符号间的间隔不能小于0.2mm等.地图符号无误差定位是不可能的，国内外各种地图的图面精度，地物点的点位中误差允许值为±0.5mm，符号间的间隔不能小于0.2mm，这样，基本空间就是一个半径为0.7mm的圆，这就是表示一个点的阈值mind（二维阈值）.而h-1(mind)就是mind的原象，它是制制图物体大小的下限.这个圆面积在1∶1万图上对应实地为154m2，在1∶10万图上应实地为15394m2.比例尺愈小其对应的面积就愈大.显然，小于下限h-1(mind)的制图物体大量存在[6-8].因此必须使基本空间加以放大，才能满足表达地物属性等特征的要求，从而使夸大变换在地图符号的设计中必然存在.夸大变换记为型h3变换.夸大变换在点线符号中普遍存在，而点线符号的夸大必然导致作为图形显示背景的面状符号面积的减少，所以，面状符号普遍属于缩小变换.缩小变换记为h4型变换.

2 地图投影变换、夸大变换和缩小变换

2.1 地图投影变换h1和h2

ai∈AX的地理坐标是在地球面上用纬度和经度表示的.刺孔球面到二维平面的拓扑变换就是地图投影.由于地轴是无数点的集合，地轴在赤道平面上的投影是唯一的中心点，不满足拓扑变换一一对应的条件.所以“刺孔球面”即去除了两极点的球面[9].

定义 1地图投影 存在三维空间X到二维平面Z的三重拓扑变換f、g、q的复合变换qgf=h，刺孔球面为若若数偶(x,y)与(φ,λ)的关系满足：

则称p'(x,y)∈h(ai)∈z为p(φ,λ)∈ai∈S的地图投影[10].

定义 2地图符号的定位点 存在唯一的pi0(φ,λ)∈ai，若经投影变换得p'i0(x,y)∈h(ai)，则称p'i0(x,y)为地图符号h(ai)的定位点.

定义 3地图符号的定位线 存在唯一的li={φ,λ}∈ai，若经投影变换得h(li)={(x,y)}∈h(ai)，则称h(li)为地图符号h(ai)的定位线.

2.2 地图符号夸大变换h3

定义 4地图符号夸大变换经变换后h(c)∈h(ai)，则称h(ai)为ai的夸大.夸大变换记为h3型变换.

夸大变换实质上是使与ai相邻的非空集通过变换纳入地图符号h(ai)中.h(c)的大小是h(ai)被夸大的度量.

2.3 地图符号缩小变换h4

在点状符号、线状符号和面状符号三大类地图符号中，点状符号和线状符号构成的图形G是判断地图阴阳正反的依据，属于闭集.而面状符号则是图G的平面嵌入，为开集，它是图形G的显示背景[11].闭集和开集互为补集，因此，点线符号的夸大必然导致面状符号的缩小.故面状地图符号生成机制中存在缩小变换.

定义 5地图符号缩小变换则称h(ai)为ai的缩小.缩小变换记为h4型变换.

缩小变换是使ai内的非空点集通过变换在地图符号h(ai)中被排除的变换.

2.4 地图符号构成点集的功能差异

表达地图符号位置信息的点集，如定位点和定位线，具有定位功能.定位功能集记为D.表达地图符号属性或某种量值特征的点集，具有表意功能，表意集记为T[12].

3 点状、线状和面状地图符号

一般说来，点状和线状地图符号具有夸大变换的性质.面状地图符号具有缩小变换的性质.就全图幅而言，夸大与缩小的代数和为零.

3.1 点状地图符号

定义 6点状地图符号 若地图符号h(ai)存在唯一的定位点p'i0(x,y)且满足：

则称h(ai)为点状地图符号.

在点状地图符号中，唯一的定位点的补集全属表意集T，这巨大的空间是点状地图符号种类繁多，构形复杂的物质基础. 三角点、埋石点、庙宇、宝塔、亭子、独立树等均属点状地图符号.

3.2 线状地图符号

定义 7线状地图符号 若定位线h(li)={(x,y)}∈h(ai)且满足：

则称h(ai)为线状地图符号.

线状地图符号的表意集也是定位线的补集，两相比较，表意集也远大于定位线，这也是线状地图符号形式多样，各具特点的原因所在.铁路和各级道路、城墙、境界线、单线河等都属点状地图符号.

3.3 面状地图符号

定义 8面状地图符号 设h(ai)为ai的地图符号，若变换后满足:

则称h(ai)为面状地图符号.

面状地图符号是以点线符号所包围的封闭区域，也即衬托点线符号的负形，即背景.它是二维空间.同时具有定位和表意双重功能.湖泊、林地、耕地等均属面状地图符号[13].

3.4 点状，线状和面状地图符号的产生机制与结构差异

比较构成了所有科学解析的核心(Armer,1973;Bailey,1982;Blalock,1961;Nage,1961) .所有科学本质上都比较的(Klingman,1980), 有的学者认为，没有比较就没有科学思想(Swanson,1971).萨托利指出：“比较就是‘同化’，即在表面差异之外发现更深或更根本的共同点（Sartorial，1970）[14].地图符号之所以划分为点状符号、线状符号和面状符号三大类，比较之后会发现每一类符号都有其根本的共同点：点状地图符号都有唯一的定位点；线状地图符号都有唯一的定位线；在形成机制上，点状和线状符号都从属于夸大变换，夸大的目的在于使点状和线状符号获得表达属性或量值的空间.而面状符号都从属于缩小变换.点状和线状符号的定位和表意功能分工明确.而面状地图符号的所有点同时具有定位和表意双重功能.

3 结语

三维空间X中的制图区域A内的地物在f、g、q三重拓扑映射下的平面像即为它所对应的地图符号.令f、g、q的复合变换的地图符号qgf(ai)=h(ai) .地图符号h(ai)与制图物体ai的一一对应性，是地图具有空间认知功能的数学基础.地图符号的位置是地图符号最基本和最重要的信息.地图投hh1，h2的变换，使地图符号获得重要的定位信息.可视化的阈值使地图符号表示要有基本的空间，而对于点状和线状地物，往往需要加以某种夸大，才能使地物的属性或量值有足够的表示空间，故夸大变换h3是点状和线状符号的形成机制.点状和线状符号的夸大，必然导致其补集面状符号的缩小，缩小变换h4是生成面状符号的主要变换.夸大与缩小的代数和为零.点状和线状符号的定位功能和表意功能分工明确，而面状符号则具有定位和表意双重功能.地图符号的形成机制中，蕴涵四种不同性质的拓扑变换. ■

Abstract：After lead intoqgf=hthe map symbol ofaiwas showedh(ai) by topological transformation. Map projection is the topological transformation from spherical surface to the two-dimensional plane Z, the location information of map symbol was got by map projection transformation. Map symbol have a basic showed spatial on map plane and its inverse imageh-1(mind) on mapping area a limited the measure of geo-object. Because of aim of map visualization must take cartographic exaggeration for the point and line map symbol. The point and line map symbols belonging to closed set and the area map symbols belonging to the open set, they possess of complementary set relation each other, thus, because of the exaggeration of point and line symbol must lead the contract of area symbol. The map projection, exaggeration and contract transformation are implicated by map symbols.

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【责任编辑 谢文海】

Transformation type are Implicated by Map Symbol

ZHONG Ye-xun1,2, HU Bao-qing1

(1. a, key Laboratory of Beibu Gulf Environment change and Resources Use (Guangxi Teachers Edncation University), Ministry of Education ; b, School of Resource and Environment Science, Gnangxi Teachers College, Nanning, 530001；2. Guangxi Regional Geographical Information Bureau of Surveying and Mapping, Nanning, Guangxi 530023)

er：geo-object, map symbol, topological transformation, map projection, location, exaggeration, contract

P283

A

1004-4671（2014）05-0150-04

2014-04-15

广西北部湾重大基础专项（2011GXNSFE018003和2012GXNSFEA053001）；国家自然科学基金项目（41361022）。

钟业勋（1939～），男，广西玉林人，广西师范学院教授，研究方向：地图学理论。