基于微分方程的桥梁裂缝检测研究

王家伟，杨庭庭，蒋 伟

(1.重庆交通大学 信息科学与工程学院，重庆 400074；2. 重庆交通大学 理学院，重庆 400074 )

0 引 言

近几年，随着中国经济的快速发展，中国的桥梁事业得到了飞速的提升，造桥数量已居世界首位。斜拉桥、悬索桥、拱桥、梁桥、组合桥等各式桥梁随处可见。但国内塌桥事故也呈上升趋势[1]，种种原因中，桥梁裂缝是最常见的桥梁病害之一。桥梁裂缝是一种危及桥梁安全但却较难计测的破损状态。裂缝一旦产生，首先会对桥梁产生一系列的危害，轻则影响行车舒适性和路面美观，严重时危及行车安全，甚至威胁到生命安全；其次，水容易渗入桥梁内部，破坏桥梁的内部结构，降低桥梁的使用性能，加速桥梁整体破坏，缩短使用寿命，造成经济损失。因此，有必要定期检查桥梁裂缝，并做出相应的维护措施，以便在桥梁裂缝出现的早期发现它、修缮它，确保桥梁的正常运营，减少经济损失。

目前对此类病害检测多停留在人工阶段，通常使用近距离检测仪器将裂缝放大后进行检测，这样的检测结果不仅精度低，而且人员安全问题得不到保障，操作费用高[2-4]。鉴于当前国内桥梁检测技术的不足以及数字图像处理技术的优势，笔者采用基于数字图像处理的桥梁裂缝检测自动识技术，利用图像处理技术中的边缘检测方法来进行桥梁裂缝检测，从而确保桥梁安全运营，降低检测成本。

迄今，由偏微分理论可以推导出多种边缘检测方法，其中最为常用的是整数阶微分方法。但整数阶微分在对高频部分增强效果的同时会丢失部分低频信息。分数阶微分作为其改进和推广的方向之一，被广泛应用到医学图像处理、交通违规图像检测和信息科学等多个研究领域，并已成功解决了诸多图像处理问题，如图像去噪、边缘检测和图像增强等。将分数阶偏微分应用到图像去噪中，不仅具有较强的抑制噪声能力，较好地保持图像边缘特征，还能保留更多的图像纹理细节信息[5]。张旭秀，等[6]将分数阶微分引入医学图像边缘检测，从而提高医生的诊断速度和准确性；杨柱中，等[7]提出了基于分数阶微分的图像增强方法，分数阶微分能够增强信号的高频成分，同时对中频信号也有提升的作用，并且甚低频信号也得到了非线性保留，因此将分数阶微分应用于图像增强能够明显突出图像的边缘、纹理更加清晰和图像平滑区域信息得以保留的增强图像。尽管分数阶微分理论已被应用于数字图像处理的多个领域，但它在对信号的中、低频进行较好处理的同时对高频的提升却不及整数阶微分。

针对以上方法的不足，笔者以分数阶微分理论为基础，将分数阶微分和Sobel算子相结合应用于图像处理技术之一的边缘检测中，得到了一种边缘检测模型，并将该边缘检测方法应用到桥梁裂缝检测中。仿真实验表明，笔者的方法能较好地提取桥梁裂缝特征，同时能够抑制噪声的影响。将该方法用于处理纹理细节丰富的图像时，模型能更好地检测纹理细节。与其它边缘检测方法相比，笔者的方法检测效果更好，优于其它检测方法，能够达到桥梁裂缝检测的目的。

2 桥梁裂缝检测模型的建立

2.1 整数和分数阶微分理论的比较和分析

从数字信号处理的角度看，分数阶微分的物理意义可以理解为广义的调幅调相[8]，其振幅随频率呈分数阶幂指数变化。对应的1、2阶和分数阶微分的幅频特性曲线如图1。

图1 信号的幅频特性Fig.1 Amplitude frequency characteristics of signals

图1表明，整数和分数阶微分运算对高频信号都有提升的作用，并且提升的效果随着微分阶数的增加而呈非线性增长，但提升高频信号的同时会削弱信号的低频部分。同时还得出：2阶微分对信号高频的提升和低频的削弱效果明显强于1阶微分。对于分数阶微分而言，分数阶微分虽然可以弥补整数阶微分不能很好的检测出中、低频信号的缺陷，但对高频信号的提升程度却小于1、2阶微分；与此同时，用分数阶微分进行处理时，中频信号得到了一定程度的加强，低频信号却没有像整数阶微分那样被大幅度的衰减，而是得到了非线性保留。因此，分数阶微分与整数阶微分相比，它具有整数阶微分能够提升图像的高频信号的优点，同时也克服了整数阶微分的缺点，即增强了中频信号，非线性的保留了低频信号。因此将分数阶微分用于边缘检测，在较好的提取图像边缘特征的同时，还能检测出图像的纹理细节信息，并且对噪声具有一定的抑制作用。

通过对整数阶和分数阶微分的对比分析，笔者将建立基于分数阶微分的边缘检测模型，并将其用于桥梁裂缝检测。

2.2 桥梁裂缝检测新模型的推导

Sobel 算子进行边缘检测时，沿不同的边缘检测方向，其梯度的幅度是一致的，对应的水平梯度和竖直梯度掩模[9]如下：

假设一幅图像的灰度函数为F(x,y)，取其3×3的像素邻域，如图2。

图2 3×3像素邻域Fig.2 3×3 pixel neighborhood

利用上面所述的Sobel算子的水平梯度和竖直梯度掩膜对该 3 × 3 的像素区域作卷积运算，得到像素点(x，y)处的水平梯度GR(x，y)和竖直梯度GC(x，y)：

GR(x,y)=F(x-1,y+1)+2F(x-1,y)+F(x-1,y-1)-F(x+1+,y+1)-2F(x+1,y)-F(x+1,y-1)

(1)

GC(x,y)=F(x-1,y-1)+2F(x,y-1)+F(x+1,y-1)-F(x-1,y+1)-2F(x,y+1)-F(x+1,y+1)

(2)

对图像进行等间隔采样，取步长Δx=1，进行中心差分得：

(3)

同理可得：

(4)

文献[8]给出了一元信号F(t)分数阶微分的差分近似表达式如式(5)：

(5)

针对数字图像的特点(二元信号)，根据一元信号F(t)分数阶微分的差分近似表达式，由此可得F(x，y)的分数阶偏微分表达式如式(6)：

(6)

根据分数阶微分理论，用v阶 (0

(7)

(8)

为了简化并较好地实现边缘检测，将式(6)的前3项代入式(7)和式(8)中，整理得到优化后新模型的行梯度和列梯度模型，如式(9)、式(10)：

F(x,y-1)]+2v[F(x-1,y+1)+2F(x-1,y)+

F(x-1,y-1)]-(v2-v)[F(x-2,y+1)+

2F(x-2,y)+F(x-2,y-1)]

(9)

F(x+1,y)]+2v[F(x-1,y-1)+2F(x,y-1)+

F(x+1,y-1)]-(v2-v)[F(x-1,y-2)+

2F(x,y-2)+F(x+1,y-2)]

(10)

得到优化后的模型对应的水平梯度和竖直梯度掩模如下：

3 仿真实验和结果分析

3.1 不同微分阶数边缘检测效果对比与分析

以“Abutment cracks图”和“Bridge crack1图”为例，借助工具MATLAB 7.1，进行计算机仿真实验[10]。

从图3可看出，实验效果随微分阶数v的增加而逐渐变好；当v=0.9时，实验效果最好，不仅能较好的检查出边缘，也能检查出纹理细节；当v>0.9时，检测的效果出现了双边缘，如图3(d)。图3 (a)为处理前的原始图像，图3 (b)～图3(f)是本文方法选取不同参数v的实验结果。

图3 本文方法取不同微分阶数检测Abutment cracks图Fig.3 Method with different fractional order tocheck “Abutment cracks” graph

为进一步证明本文方法在选择较好微分阶数v的情况下能很好的达到检测效果，对“Bridge crack1图”选取不同的参数v进行实验。

如图4，当0

图4 本文方法取不同微分阶数检测Bridge crack 1图Fig.4 Method with different fractional order to check “Bridge crack 1” graph

3.2 本文方法与其他边缘检测方法的实验对比

针对不同的图像，将优化后的模型首先进行若干组实验，选取较好的微分阶数v，与现有的边缘检测方法进行对比，如图5。

图5 本文方法与其他方法的对比(Bridge crack 2图)Fig.5 Comparison of the proposed method and othermethods(Bridge crack 2)

从图5的对比可以得出：Roberts算子检测出的边缘不连续；Sobel算子虽然可以提取出图形的边缘特征，但对于某些点而言，不能很好的区分图像的主体和背景信息；Canny算子为了满足较好的检测效果，需要使用较大的滤波尺度，因此一些图像细节容易丢失；文献[8]方法是利用分数阶微分定义的掩模算子作为模板来进行图像边缘检测，虽然可以更好的检测出图像的纹理细节，但是对某些边缘的提升强度不够，容易丢失部分边缘。本文模型不仅能很好的检测出边缘特征，同时对纹理细节的检测效果也很好，优于现有的边缘检测方法，能够较好地达到桥梁裂缝检测的目的。

4 本文模型的客观评价

针对边缘检测的客观评价，常用的客观评价标准有线性连接程度(L)、错检率(N)和漏检率(F)[11]。有效边缘的连接程度L越高，错检率N越小，漏检率F越少，则边缘评价越高。将客观评价的3个指标组合起来，定义新的边缘评价度量Me，Me是由3个指标的加权平均而得到的，如式(11)：

(11)

式中：α，β，γ分别表示不同评价指标对评价度量的影响程度。

以hand图为例，进行实验对比。假设评价指标L，和F对综合评价指标Me的权重分别是α=0.15，β=0.65，γ=0.2，计算结果如表1。

从表1中可得出，本文方法的综合评价指标Me优于其余几个方法，漏检率F=0，能很好的检测到图像的边缘纹理细节。本文模型的3个指标都优于Sobel算子的；与文献[8]方法相比，本文模型错检率N更低，在分数阶微分的基础上有一定的改进，明显优于现有的整数阶微分算法。对应的实验对比如图6。

图6 对hand图客观评价实验对比Fig.6 Experimental comparison of objective evaluationof “hand” graph

5 结 语

笔者将分数阶微分理论与现有的Sobel 算子方法相结合，得到了一种新的边缘检测方法，并进行仿真实验。实验表明：文中方法优于现有的边缘检测方法。将文中方法运用到桥梁裂缝检测中，既能避免人工检测时出现较大的误差，也能节省费用，是一种实用且有效的方法。但是，由于该模型是基于分数阶微分推导而得，而分数阶微分具有对图像边缘提升不够的缺点，因此可以将该思想进一步推广到有理数阶微分，这将是进一步研究的内容。

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