连续箱梁剪力滞系数的固定端法求解

2014-02-28向中富蒋俊秋黄海东

重庆交通大学学报(自然科学版) 2014年5期

向中富,蒋俊秋，黄海东

(重庆交通大学土木建筑学院，重庆 400074)

剪力滞效应是剪力流在横向传递过程中的滞后现象，而剪力滞系数则是梁截面实际发生的应力值与初等梁理论算出的应力值之比。近年来，随着对剪力滞效应深入研究，在薄壁箱梁剪力滞效应分析方面取得了一些有价值的成果，发表了不少论文、论著[1-8]。其中大多数采用能量变分法、比拟杆法、有限条法、板壳有限元法。在能量变分法中，通常采用解肢法与叠加原理法求解连续箱梁剪力滞系数。

解肢法最大的优点是将超静定的连续梁在反弯点处解肢形成一小段一小段的简支梁，各连续梁之间互不影响。在多跨连续梁剪力滞计算中，解肢法这种方法非常方便，但解肢法的缺点在于将超静定的连续梁在反弯点处解肢为简支梁，经计算，在反弯点处梁的剪切转角的最大差值〔即u(x)〕不连续，不满足梁的变形连续性。因此，解肢法具有一定的近似性。

叠加原理法的优点就是u(x)连续，即满足梁的变形连续性能够真实有效地反映梁的真实变形以及应力分布，但需要计算每一个力作用点的剪力滞系数依次在其基本体系上进行叠加。当连续梁跨数变多，受力情况变复杂时，计算就会变得非常繁琐，并且不易形成公式，不便于计算。

笔者将解肢法的思想与叠加法的思想进行融合，寻找一种简便同时也满足精度要求的连续箱梁剪力滞效应求解方法。

1 基本假设

宽箱梁在挠曲时，上下翼板因为剪切变形的影响，已经不符合初等梁理论中的变形保持平截面的假定，用一个广义位移即梁的挠度ω(x)来描述箱梁的挠曲变形已经不够[1-2]。

在应用最小势能原理分析箱梁挠曲时，必须引入两个广义位移概念：

(1)

式中：u(x,y)为梁的纵向位移；u(x)为剪切转角的最大差值，它并非位移变量；b为箱室净宽1/2；hi为截面形心到上板或下板距离。

根据最小势能原理，对梁的应变能式子进行变分，得到：

式中：IS=Isu+Isb；I=Iw+IS；Isu，Isb，Iw分别为上板下板、腹板对截面形心惯性矩；E，G分别为杨氏模量、剪切模量；Q(x)为x坐标处的剪力值。

2 连续箱梁剪力滞系数的固端法求解

现以1座两跨连续箱梁受均布荷载(图1)为例进行剪力滞系数求解公式推导。

图1 两跨连续梁受均布荷载Fig.1 Two span continuous beams under uniform load

2.1 固定端法求解

图2 两跨连续梁受均布荷载的弯矩、剪力图Fig.2 Bending moment and shear of two span continuousbeam under uniform load

将图1结构在B支座处截断形成固定端，AB段简化为图3所示结构。

图3 两跨连续梁肢解成的结构Fig.3 The structure dismembered by two span continuous beam

在0≤x≤l时：

由边界条件u|x=l=0，u′|x=0=0，可得：

即：

(2)

同理在BC段，可以简化成如图4所示结构。

图4 两跨连续梁肢解成的结构Fig.4 The structure dismembered by two span continuous beam

在l

解方程得：

由边界条件u|x=l=0，u′|x=(a+1)l=0，可得：

即：

(3)

2.2 解肢法与叠加法求解

2.2.1 解肢法求解

经解肢法计算得到该连续梁桥剪力滞系数。

(4)

(5)

(6)

x+l)2

(7)

2.2.2 叠加法求解

由叠加原理法的公式：

得图1结构的剪力滞系数。

1)当0≤x≤l：

(8)

2)当l

(9)

2.3 3种算法对比

通过对比3种方法所求解析式的复杂程度，可以发现固定端法求得的解析式相比之下更为简便，便于计算。

令a=2,IS/I=0.767，n=3.044，k=0.751，l=20，将这些参数带入式(2)～式(9)，即可分别得到固定端法、解肢法、叠加原理法求得的剪力滞系数公式，得出这3种方法所计算得到的剪力滞系数沿连续梁跨径方向的变化曲线，如图5。

图5 剪力滞沿跨径方向变化曲线Fig.5 Curve of shear lag changing along the span direction

从图5可以看出，固定端法求得的曲线与叠加法和解肢法的曲线是吻合的，从而进一步说明了固定端法计算剪力滞系数的结果是可靠的。

3 多跨连续梁剪力滞效应分析

随着连续箱梁跨数的增加，受力的复杂，若仍采用解肢法与叠加原理法求解多跨连续箱梁就会变得非常复杂，甚至得不到最后的解析式，不利于编程和进行桥梁电算。

下面采用笔者提出的固端法进行多跨连续箱梁的剪力滞分析，并推到实用解析计算式，其中均以均布荷载为例。

3.1 两等跨连续梁剪力滞效应分析

将a=1带入式(1)、式(2)即可得到两等跨连续箱梁剪力滞系数。

1)当0≤x≤l：

(10)

2)当l

(11)

3.2 三等跨连续梁剪力滞效应分析

对三等跨连续梁，每跨长l,采用固定端法。

1)当0≤x≤l：

(12)

2)当l

(13)

3)当2l≤x≤3l：

(14)

3.3 四等跨连续梁剪力滞效应分析

对于四等跨连续梁，每跨长为l,采用固定端法。

1)当0≤x≤l：

(15)

2)当l

(16)

3)当2l

(17)

4)当3l≤x≤4l：

(18)

3.4 n等跨连续梁剪力滞效应分析(n≥5)

对于n等跨连续梁(n≥5)，每跨长为l,采用固定端法。

1)当0≤x≤l：

(19)

2)当l

(20)

3)当il

(21)

4)当(n-2)l≤x<(n-1)l：

(22)

5)当(n-1)l≤x≤nl：

(23)

3.5 多跨连续梁剪力滞分析

当连续梁桥跨径增大、跨数增多后，通过解肢法与叠加法来进行剪力滞系数的求解将会非常繁琐，解析式也会变得非常复杂，此时，通过固定端法求解多跨连续梁剪力滞系数能够简化计算并且得到满足精度要求的结果。

现以一座六等跨连续箱梁(图6)为例采用固定端法进行计算，并运用有限元模型对其结果进行验证。

图6 六等跨连续梁受均布荷载Fig.6 Six span continuous beam under uniform load

对于图6中的六等跨连续梁结构，取l=20 m，该连续梁桥全长120 m，混凝土为C50混凝土，只考虑箱梁受到恒载自重的作用，不考虑横隔板以及钢筋、预应力对剪力滞的影响。箱梁横截面为图7中截面(IS/I=0.767，n=3.044，k=0.751，l=20)。

图7 矩形箱梁截面尺寸(单位：m)

模型采用有限元分析软件Midas FEA进行模拟，混凝土采用3D实体单元，不考虑横隔板以及钢筋、预应力对剪力滞的影响。本次试验经过多次试算和调整，划分单位尺寸为0.25 m，如图8，计算结果如图9。

图8 建模图形Fig.8 Modeling

图9 计算结果Fig.9 Calculation result

有限元模型结果与文中式(19)～式(23)计算所得的剪力滞系数进行比较，可得表1。

表1 剪力滞系数比较

4 结语

多跨连续梁桥剪力滞系数计算中，解肢法、叠加原理法计算繁琐，当跨数增多后往往很难得到其剪力滞系数的解析式。笔者通过固定端法，推导总结得出了n等跨连续梁剪力滞系数运算相对简便的计算公式，且结果与有限元模型能很好地吻合。从而解决了解肢法、叠加原理法计算多跨连续梁剪力滞系数计算繁琐的问题。由此可得，这种实用计算方法是满足精度要求的，如此简化，便于对连续梁剪力滞系数进行求解、便于编程进行桥梁电算。

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