变式教学的几点反思

李勇军

“变式”主要是指对例题进行变通推广，重新认识，恰当合理的变式能营造一种生动活泼、宽松自由的氛围，开阔学生的视野，激发学生的情趣，有助于培养学生的探索精神和创新意识，并能使学生举一反三、事半功倍。本人在教学过程中发现，有些教师对变式的“度”把握不准确，不能因材施教，单纯地为了变式而变式，给学生造成了过重的心理负担，使学生产生了逆反心理，“高投入、低产出”，事倍功半。

1.变式要在原例题的基础上进行，要主体思路不变，不能“拉郎配”，要有利于学生通过变式题目的解答，加深对所学知识的理解和掌握。在新授基本不等式“a，b∈R+， ≥ （当且仅当a=b时取‘=号）”的应用时，给出了如下的例题及变式：

例1：已知x>0，求y=x+ 的最小值。

变式1：x∈R，函数y=x+ 有最小值吗？为什么？

变式2：已知x>0，求y=x+ 的最小值。

变式3：函数y=x+ 的最小值为2吗？

由该例题及三个变式的解答，使学生加深了对基本不等式成立的三个条件“一正、二定、三相等”的理解与掌握，为基本不等式的正确使用打下了较坚实的基础。

2.变式要限制在学生思维水平的“最近活动区”上，变式题目的解决要在学生已有的认知基础之上，并且要结合教学的目的和要求，要有助于学生对本节课内容的掌握。在新授定理“a，bR+， ≥ （当且仅当a=b时取‘=号）”的应用时，把变式3改为：求函数y=x+ 的最小值，则显得有些不妥。因为本节课的重点是让学生熟悉不等式的应用，而解答变式3不但要指出函数的最小值不是2，而且还要借助于函数的单调性求出最小值，这样本堂课就要用不少时间去证明单调性，“干扰”了“不等式应用”这一“主干”知识的传授；但若作为课后思考题让学生去讨论，则将是一种较好的设计。

3.变式要有梯度，循序渐进，切不可搞“一步到位”，否则会使学生产生畏难情绪，影响到问题的解决，降低学习的效率。在新授利用数学归纳法证明几何问题时，（苏教版）课本给出了例题：平面内有n条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，证明交点的个数f（n）= 。在证明的过程中，引导学生注意观察f（k）与f（k+1）的关系有f（k+1）-f（k）=k，从而给出：

变式1：平面内有n条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，求这n条直线共有几个交点。

此变式自然恰当，变证明为探索，使学生在探索f（k）与f（k+1）的关系的过程中得了答案，而且巩固加深了对数学归纳法证明几何问题的一般方法的理解。类似地还可以给出：

变式2：平面内有n条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，该n条直线把平面分成f（n）个区域，则f（n+1）=f（n）+ 。

变式3：平面内有n条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，该n条直线把平面分成f（n）个区域，求f（n）。

上述变式3在变式1与变式2的基础上很容易掌握，但若没有变式1与变式2而直接给出变式3，学生解决起来就非常困难，对树立学生的学习信心是不利的，从而也降低了学习的效率。

4.提倡让学生参与题目的变式。变式并不是教师的“专利”，教师必须转变观念，发扬教学民主，师生双方密切配合，交流互动，只要是学生能够提出问题的，教师绝不包办代替，学生变式有困难的，可在教师的点拨与启发下完成，这样可以调动学生学习的积极性，提高学生参与创新的意识。

如在学习向量的加法与减法时，有这样一个习题：设A，B，C是平面内任意三点，求证： + + = （苏教版必修4P72习题2.2）在引导学生给出解答后，教师提出如下思考：

①你能用文字叙述该题吗

通过讨论，畅所欲言、补充完善，会有：

变式1：如果三个向量首尾连接可以构成三角形，且这三个向量的方向顺序一致（顺时针或逆时针），则这三个向量的代数和为零。

②大家再讨论一下，这个结论是否只对三角形适合。

通过讨论学生首先想到对四边形适合，从而有：

变式2： + + + =

③大家再想一想或动笔画一画满足变式2的这四个向量是否一定可构成四边形。

在教师的启发下不难得到结论：四个向量首尾相连不论是否可形成四边形，只要它们的方向顺序一致，则这四个向量的代数和为零。

④进一步启发，学生自己就可得出n条封闭折线的一个性质：

变式3： + +…… + 1=

最后再让学生思考若把 + + = 改为任意的三个向量则这三个向量 + + = 是否还可以构成三角形这就是P68习题2.2的第7小题，学生很容易得出答案。至此，学生大脑中原有的认知结构被激活，学生的求知欲被唤起，形成了教师乐教、学生乐学的良好局面。

变式教学中习题的变式方式、形式及内容，要根据教材的内容和学生的情况来安排，因材施教是课堂教学永远要坚持的原则，恰当合理的变式，可使学生一题多解和多题一解，有助于学生把知识学活，有助于学生举一反三、触类旁通，有助于学生产生学习的“最佳动机”和激发学生的灵感，它能升华学生的思维，培养学生的创新意识。

（作者单位：江苏淮安市新马高级中学）endprint

“变式”主要是指对例题进行变通推广，重新认识，恰当合理的变式能营造一种生动活泼、宽松自由的氛围，开阔学生的视野，激发学生的情趣，有助于培养学生的探索精神和创新意识，并能使学生举一反三、事半功倍。本人在教学过程中发现，有些教师对变式的“度”把握不准确，不能因材施教，单纯地为了变式而变式，给学生造成了过重的心理负担，使学生产生了逆反心理，“高投入、低产出”，事倍功半。

1.变式要在原例题的基础上进行，要主体思路不变，不能“拉郎配”，要有利于学生通过变式题目的解答，加深对所学知识的理解和掌握。在新授基本不等式“a，b∈R+， ≥ （当且仅当a=b时取‘=号）”的应用时，给出了如下的例题及变式：

例1：已知x>0，求y=x+ 的最小值。

变式1：x∈R，函数y=x+ 有最小值吗？为什么？

变式2：已知x>0，求y=x+ 的最小值。

变式3：函数y=x+ 的最小值为2吗？

由该例题及三个变式的解答，使学生加深了对基本不等式成立的三个条件“一正、二定、三相等”的理解与掌握，为基本不等式的正确使用打下了较坚实的基础。

2.变式要限制在学生思维水平的“最近活动区”上，变式题目的解决要在学生已有的认知基础之上，并且要结合教学的目的和要求，要有助于学生对本节课内容的掌握。在新授定理“a，bR+， ≥ （当且仅当a=b时取‘=号）”的应用时，把变式3改为：求函数y=x+ 的最小值，则显得有些不妥。因为本节课的重点是让学生熟悉不等式的应用，而解答变式3不但要指出函数的最小值不是2，而且还要借助于函数的单调性求出最小值，这样本堂课就要用不少时间去证明单调性，“干扰”了“不等式应用”这一“主干”知识的传授；但若作为课后思考题让学生去讨论，则将是一种较好的设计。

3.变式要有梯度，循序渐进，切不可搞“一步到位”，否则会使学生产生畏难情绪，影响到问题的解决，降低学习的效率。在新授利用数学归纳法证明几何问题时，（苏教版）课本给出了例题：平面内有n条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，证明交点的个数f（n）= 。在证明的过程中，引导学生注意观察f（k）与f（k+1）的关系有f（k+1）-f（k）=k，从而给出：

变式1：平面内有n条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，求这n条直线共有几个交点。

此变式自然恰当，变证明为探索，使学生在探索f（k）与f（k+1）的关系的过程中得了答案，而且巩固加深了对数学归纳法证明几何问题的一般方法的理解。类似地还可以给出：

变式2：平面内有n条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，该n条直线把平面分成f（n）个区域，则f（n+1）=f（n）+ 。

变式3：平面内有n条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，该n条直线把平面分成f（n）个区域，求f（n）。

上述变式3在变式1与变式2的基础上很容易掌握，但若没有变式1与变式2而直接给出变式3，学生解决起来就非常困难，对树立学生的学习信心是不利的，从而也降低了学习的效率。

4.提倡让学生参与题目的变式。变式并不是教师的“专利”，教师必须转变观念，发扬教学民主，师生双方密切配合，交流互动，只要是学生能够提出问题的，教师绝不包办代替，学生变式有困难的，可在教师的点拨与启发下完成，这样可以调动学生学习的积极性，提高学生参与创新的意识。

如在学习向量的加法与减法时，有这样一个习题：设A，B，C是平面内任意三点，求证： + + = （苏教版必修4P72习题2.2）在引导学生给出解答后，教师提出如下思考：

①你能用文字叙述该题吗

通过讨论，畅所欲言、补充完善，会有：

变式1：如果三个向量首尾连接可以构成三角形，且这三个向量的方向顺序一致（顺时针或逆时针），则这三个向量的代数和为零。

②大家再讨论一下，这个结论是否只对三角形适合。

通过讨论学生首先想到对四边形适合，从而有：

变式2： + + + =

③大家再想一想或动笔画一画满足变式2的这四个向量是否一定可构成四边形。

在教师的启发下不难得到结论：四个向量首尾相连不论是否可形成四边形，只要它们的方向顺序一致，则这四个向量的代数和为零。

④进一步启发，学生自己就可得出n条封闭折线的一个性质：

变式3： + +…… + 1=

最后再让学生思考若把 + + = 改为任意的三个向量则这三个向量 + + = 是否还可以构成三角形这就是P68习题2.2的第7小题，学生很容易得出答案。至此，学生大脑中原有的认知结构被激活，学生的求知欲被唤起，形成了教师乐教、学生乐学的良好局面。

变式教学中习题的变式方式、形式及内容，要根据教材的内容和学生的情况来安排，因材施教是课堂教学永远要坚持的原则，恰当合理的变式，可使学生一题多解和多题一解，有助于学生把知识学活，有助于学生举一反三、触类旁通，有助于学生产生学习的“最佳动机”和激发学生的灵感，它能升华学生的思维，培养学生的创新意识。

（作者单位：江苏淮安市新马高级中学）endprint

“变式”主要是指对例题进行变通推广，重新认识，恰当合理的变式能营造一种生动活泼、宽松自由的氛围，开阔学生的视野，激发学生的情趣，有助于培养学生的探索精神和创新意识，并能使学生举一反三、事半功倍。本人在教学过程中发现，有些教师对变式的“度”把握不准确，不能因材施教，单纯地为了变式而变式，给学生造成了过重的心理负担，使学生产生了逆反心理，“高投入、低产出”，事倍功半。

1.变式要在原例题的基础上进行，要主体思路不变，不能“拉郎配”，要有利于学生通过变式题目的解答，加深对所学知识的理解和掌握。在新授基本不等式“a，b∈R+， ≥ （当且仅当a=b时取‘=号）”的应用时，给出了如下的例题及变式：

例1：已知x>0，求y=x+ 的最小值。

变式1：x∈R，函数y=x+ 有最小值吗？为什么？

变式2：已知x>0，求y=x+ 的最小值。

变式3：函数y=x+ 的最小值为2吗？

由该例题及三个变式的解答，使学生加深了对基本不等式成立的三个条件“一正、二定、三相等”的理解与掌握，为基本不等式的正确使用打下了较坚实的基础。

2.变式要限制在学生思维水平的“最近活动区”上，变式题目的解决要在学生已有的认知基础之上，并且要结合教学的目的和要求，要有助于学生对本节课内容的掌握。在新授定理“a，bR+， ≥ （当且仅当a=b时取‘=号）”的应用时，把变式3改为：求函数y=x+ 的最小值，则显得有些不妥。因为本节课的重点是让学生熟悉不等式的应用，而解答变式3不但要指出函数的最小值不是2，而且还要借助于函数的单调性求出最小值，这样本堂课就要用不少时间去证明单调性，“干扰”了“不等式应用”这一“主干”知识的传授；但若作为课后思考题让学生去讨论，则将是一种较好的设计。

3.变式要有梯度，循序渐进，切不可搞“一步到位”，否则会使学生产生畏难情绪，影响到问题的解决，降低学习的效率。在新授利用数学归纳法证明几何问题时，（苏教版）课本给出了例题：平面内有n条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，证明交点的个数f（n）= 。在证明的过程中，引导学生注意观察f（k）与f（k+1）的关系有f（k+1）-f（k）=k，从而给出：

变式1：平面内有n条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，求这n条直线共有几个交点。

此变式自然恰当，变证明为探索，使学生在探索f（k）与f（k+1）的关系的过程中得了答案，而且巩固加深了对数学归纳法证明几何问题的一般方法的理解。类似地还可以给出：

变式2：平面内有n条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，该n条直线把平面分成f（n）个区域，则f（n+1）=f（n）+ 。

变式3：平面内有n条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，该n条直线把平面分成f（n）个区域，求f（n）。

上述变式3在变式1与变式2的基础上很容易掌握，但若没有变式1与变式2而直接给出变式3，学生解决起来就非常困难，对树立学生的学习信心是不利的，从而也降低了学习的效率。

4.提倡让学生参与题目的变式。变式并不是教师的“专利”，教师必须转变观念，发扬教学民主，师生双方密切配合，交流互动，只要是学生能够提出问题的，教师绝不包办代替，学生变式有困难的，可在教师的点拨与启发下完成，这样可以调动学生学习的积极性，提高学生参与创新的意识。

如在学习向量的加法与减法时，有这样一个习题：设A，B，C是平面内任意三点，求证： + + = （苏教版必修4P72习题2.2）在引导学生给出解答后，教师提出如下思考：

①你能用文字叙述该题吗

通过讨论，畅所欲言、补充完善，会有：

变式1：如果三个向量首尾连接可以构成三角形，且这三个向量的方向顺序一致（顺时针或逆时针），则这三个向量的代数和为零。

②大家再讨论一下，这个结论是否只对三角形适合。

通过讨论学生首先想到对四边形适合，从而有：

变式2： + + + =

③大家再想一想或动笔画一画满足变式2的这四个向量是否一定可构成四边形。

在教师的启发下不难得到结论：四个向量首尾相连不论是否可形成四边形，只要它们的方向顺序一致，则这四个向量的代数和为零。

④进一步启发，学生自己就可得出n条封闭折线的一个性质：

变式3： + +…… + 1=

最后再让学生思考若把 + + = 改为任意的三个向量则这三个向量 + + = 是否还可以构成三角形这就是P68习题2.2的第7小题，学生很容易得出答案。至此，学生大脑中原有的认知结构被激活，学生的求知欲被唤起，形成了教师乐教、学生乐学的良好局面。

变式教学中习题的变式方式、形式及内容，要根据教材的内容和学生的情况来安排，因材施教是课堂教学永远要坚持的原则，恰当合理的变式，可使学生一题多解和多题一解，有助于学生把知识学活，有助于学生举一反三、触类旁通，有助于学生产生学习的“最佳动机”和激发学生的灵感，它能升华学生的思维，培养学生的创新意识。

（作者单位：江苏淮安市新马高级中学）endprint