在问题情境中激发思考 在活动操作中解决问题

朱杨一

【教材简介】

“打电话”是人教版教材五年级下册第132～133页的内容，属于“综合与实践”领域，“综合与实践”是积累数学活动经验的重要载体。

教材的主体结构大致分为三部分。第一部分是“创设情境，分析问题”。这部分并没有让学生画图，但有逐一通知和分组法的图示。教材还问了这么一个问题：“是不是分的组越多，用的时间越少”。第二部分“数形结合，优化方法”。教材明确要求学生动手画图，还规定了图例，通过数形结合的方式使解决问题的方法直观化。第三部分是“总结规律，拓展延伸”。通过“你发现什么规律了吗”这个问题，让学生把这节课的基本知识抽象出来，达到一个比较高的层次。

【教材解读】

从教材的编排体系看，学生在前面已经学过了“烙饼问题”和“统筹原理”，后面又有了“找次品”。本课既能用到前面的优化思想、模型思想的经验，又能对“找次品”积累一定的数学活动经验。

本课中蕴含的主要数学思想有化归思想、模型思想、数形结合思想、优化的思想、对应的思想。化归思想本课体现为化难为易；模型思想体现在1、2、4、8、16……n这个等比数列中，此数列的和为2n-1，2n表示得到通知的总人数，1表示老师，2n-1表示减去老师后通知到的学生人数；数形结合思想体现在通过图示的方法表示出题目中的数量关系，是一个抽象到直观的过程；对应思想是指时间和人数两个变量有着重要的对应关系，比如10分钟的时候对应1024人，如果不进行对应，学生就会把等比数列的尾项与数列的和搞混掉。最后优化思想是激发学生深入思考的一种重要思想方法。

本课当围绕这些数学思想进行设计，教师应设计丰富的数学活动，使学生在活动中感悟数学思想。数学思想处在最高位，数学活动是传达数学思想的手段，活动本身不是目的，形成经验才是目的，积累数学活动经验是为让学生将来能够自动自发地运用数学思想方法。最后在数学活动过程中还形成一些知识和技能。

【教学目标】

1.利用学生熟悉的生活情境，通过独立思考、对比、画图、模拟、讲解分析、小组讨论等数学活动，使学生找到打电话的最优方案。

2.渗透化难为易、数形结合、优化、对应的思想，培养学生借助图形解决问题的意识。

3.感受几何倍增的神奇魔力，培养学生的数感。

【教学设计】

（一）课前谈话，做好准备

教师发给每个同学一张纸，请学生把纸对折一下。猜一猜，为什么要对折。

其实很简单，对折后就有2个半张，可以用两次了（合理用纸）。

（设计意图：“猜一猜”使学生进入积极思考的状态，并且没有猜对猜错之分，调动学生举手表达的积极性。另外，可以和结尾相呼应，最终学生会发现打电话和多次对折一张纸，是同一个数学模型。）

（二）创设情境，去情境化

题目：A老师有一个通知要传达给1000名学生，如果用打电话的方式，每1分钟通知1人。

读到这里，你想到了什么？

预设：全部通知到要1000分钟。

补上问题：怎样打电话省时间？

预设：打电话通知学生的同时，请他帮忙再打给别的学生。

（设计意图：在创设情境的过程中又要注意去情境化，去情境化才能帮助学生自觉地建构隐藏在情境后面的数学知识与思想方法。本题通过老师虚假的名字、巨大的学生人数以及又去掉了“紧急”2字的题目，让学生感到这不是一个生活问题，而是一个虚拟的、数学的问题，从而实现了去情境化。如此一来，想到短信群发，请家长帮忙、一个人用10部手机等生活化想法的学生少了。同时，通过1000的人数和“怎样打电话省时”这个问题，把学生的思维聚焦到解决策略上。）

（三）独立思考，初步尝试

1.化难为易。

题目：A老师有一个通知要传达给15名学生，如果用打电话的方式，每1分钟通知1人。请你设计一个打电话的方案，并算清楚花了多少分钟。

把你的想法表示在纸上。（展示学生的3种方案）

2、反馈交流。

学生通过独立思考，用文字、算式或者图示表达了自己的想法，教师选取3种典型性的分组法，投影给全体学生看。在师生的互动分析中，教师边分析边把3种方法画在黑板上。

3.对比优化。

为什么方法2、3比方法1多节约了1分钟？是不是分的组越多，用的时间就越少？为什么分三组和分五组都花了7分钟？帮忙的学生到底在第几分钟才开始帮老师打电话？你觉得还有缩短时间的可能性吗？你觉得怎样打才能最省时间？

4.情景模拟。

教师现场展开让学生模拟用倍增法打电话的过程。

（设计意图：从1000人到15人体现了化归思想，也为学生学习六年级上册的“鸡兔同笼”积累了化归的经验。在反馈交流时，教师允许学生表达形式的多样化，无论是文字还是算式，教师都把它们图示化，动态地画在黑板上。让每个学生都能理清分组法打电话的过程，为下一步对比分析做好准备。另外，通过3种方法的对比，让学生体会到并不是分的组越多越快，抓紧每一分钟“人人参与”才是最快的。最后通过情景模拟的方式丰富了数学活动的类型，再给学生创造一次理解的机会。）

（四）数形结合，再次探究

1.经过刚才的讨论，同学们头脑里一定有了新的认识。请你把新的打电话过程画在纸上。

2.展示学生的成品，课件动态演示画图过程。

提问：接下来要画几个圆圈，每个圆圈上再长出几个圆圈？

3.你怎么知道已经通知到15人了？

预设：数出来，1+2+4+8=15，8×2-1=15。

4.如果再给你一分钟，会出现几打几的情况？

（设计意图：通过讨论，学生对倍增法有了一定的感觉，但是想要获得数学活动经验，必须亲身实践，画图是最好的办法。之后教师再二次用课件呈现画图过程，引导学生发现规律，再通过“你怎么知道已经通知到15人了”一问，使学生从图示过渡到算式，达到更高的层次。）endprint

（五）运用经验，二次挑战

1.题目：如果用上述方法，7分钟最多能通知多少人？通知100人最少需要几分钟？

预设：图示法，1+2+4+8+16+32+64=127，1×2×2

×2×2×2×2×2=128，128-1=127。

2.加法中出现了几个加数，乘法中出现了多少个2，为什么都是7个？7代表什么意思？

为什么128还要减1？通知100人最少需要7分钟，还是6分钟？

（设计意图：培养学生的应用意识，使学生主动运用刚发现的规律解决问题。同时再一次经历从图示到算式的过程，毕竟在100人的前提下，图示不再那么好画了，算式的优势以及必要性突显出来了，什么时候放弃图示转用算式，就看学生的个体差异了。）

（六）总结经验，解决问题

1.学了这节课的内容，你知道怎样打电话最省时间了吗？

预设：根据学生的回答填表。

生活中还有类似打电话的事吗？

第几分钟 1 2 3 4 5 6 7

得到通知的总人数（含老师） 2 4 8 16 32 64 128

预设：折纸、折绳子。

通知1000名学生最少需要多少时间，留到课外思考。

（设计意图：通过学生的总结形成表格，用纯数字的方式再次总结规律，并让学生感受对应思想。同时帮助学生把本课所得经验迁移到别的事物上，又和课前谈话呼应，最后还留给学生继续思考的空间。）

【课后反思】

（一）通过合适的问题情境，帮助学生积累数学活动经验

教学时教师要通过合适的问题情境，帮助学生积累数学活动经验。问题情境的设计除了要有趣味性和挑战性，还要充分调动学生学习数学的积极性，要能激发学生的思考。思考的起点要低，开放程度要大，人人都能参与。只有这样，学生才能积累完整的立体化的数学活动经验。

试教时，笔者把问题情境设置成“通知7名学生最少需要几分钟”。7是一个质数，可以分成2组，用时4分钟；也可以用倍增法，1+2+4=7，用时3分钟。本以为把学生解决问题的策略控制住，不要有太多的策略，就更容易到达数学本质。但恰恰由于解决问题的策略少，缺少了策略之间的对比，使得学生对倍增法的优势感觉不强烈，甚至有的学生虽然用了倍增法，但只是被他碰巧这么做了，头脑里没有形成用倍增法解决问题的活动经验，以至于在解决“通知50名学生最少需要几分钟”的时候，反而不用倍增法了。

后来，笔者把问题情境改成了“通知15名学生最少需要几分钟”。学生想出更多的解决问题的策略，再通过不同策略之间的对比，揭示出快的方法之所以快的根本原因，学生终于在充分展开的过程中，积累了良好的、可以运用的数学活动经验。

（二）通过多样化的活动，帮助学生积累数学活动经验

数学活动经验不像事实性知识那样“看得见、摸得着”，而且表述是唯一的，不同的学生获得经验的时机和质量是不同的，不同的活动适合不同的学生，在前一个活动中获得的经验不清晰、不完整，通过后一活动可能就变得清晰和完整了。因此在教学过程中，教师要设计多样化的数学活动，力求每个学生作为学习的主体都能参与到活动里，使每个学生都能积累丰富的、完整的、立体化的数学活动经验。以本课为例，所涉及的数学活动有独立思考、对比分析、情景模拟、画图、观察、填表格等。有的学生独立思考能力不强，或许他在情景模拟时，突然顿悟；有的学生抽象能力不强，无法列出算式，或许他在填表格时，豁然开朗。并且这些活动也是有层次性的，就算是能力比较强的学生，也能在每个活动中积累不同的数学活动经验。

并且，学生在数学活动中对同一数学对象的认识是有差异的，即使外部条件相同，每一个学生仍然可能具有不同的理解，获得不同的经验。因此教师在教学时应该尊重每个学生有不同的想法。以本课为例，在独立思考时笔者允许学生通过计算、文字、图示等不同形式表达自己的想法，在抽象成算式时允许学生用加法算式或者乘法算式，允许他们用综合算式或者分步算式，也允许学生不形成算式一直用图示法或者数列解决问题。

总之，积累数学活动经验并不是一句口号，更是学生获得智慧的途径。智慧不体现在问题的答案里，而是体现在解决问题的过程中。关注过程，关注每个学生数学活动经验的积累，让每个学生都获得智慧。

（浙江省桐乡市濮院小学 314500）endprint

（五）运用经验，二次挑战

1.题目：如果用上述方法，7分钟最多能通知多少人？通知100人最少需要几分钟？

预设：图示法，1+2+4+8+16+32+64=127，1×2×2

×2×2×2×2×2=128，128-1=127。

2.加法中出现了几个加数，乘法中出现了多少个2，为什么都是7个？7代表什么意思？

为什么128还要减1？通知100人最少需要7分钟，还是6分钟？

（设计意图：培养学生的应用意识，使学生主动运用刚发现的规律解决问题。同时再一次经历从图示到算式的过程，毕竟在100人的前提下，图示不再那么好画了，算式的优势以及必要性突显出来了，什么时候放弃图示转用算式，就看学生的个体差异了。）

（六）总结经验，解决问题

1.学了这节课的内容，你知道怎样打电话最省时间了吗？

预设：根据学生的回答填表。

生活中还有类似打电话的事吗？

第几分钟 1 2 3 4 5 6 7

得到通知的总人数（含老师） 2 4 8 16 32 64 128

预设：折纸、折绳子。

通知1000名学生最少需要多少时间，留到课外思考。

（设计意图：通过学生的总结形成表格，用纯数字的方式再次总结规律，并让学生感受对应思想。同时帮助学生把本课所得经验迁移到别的事物上，又和课前谈话呼应，最后还留给学生继续思考的空间。）

【课后反思】

（一）通过合适的问题情境，帮助学生积累数学活动经验

教学时教师要通过合适的问题情境，帮助学生积累数学活动经验。问题情境的设计除了要有趣味性和挑战性，还要充分调动学生学习数学的积极性，要能激发学生的思考。思考的起点要低，开放程度要大，人人都能参与。只有这样，学生才能积累完整的立体化的数学活动经验。

试教时，笔者把问题情境设置成“通知7名学生最少需要几分钟”。7是一个质数，可以分成2组，用时4分钟；也可以用倍增法，1+2+4=7，用时3分钟。本以为把学生解决问题的策略控制住，不要有太多的策略，就更容易到达数学本质。但恰恰由于解决问题的策略少，缺少了策略之间的对比，使得学生对倍增法的优势感觉不强烈，甚至有的学生虽然用了倍增法，但只是被他碰巧这么做了，头脑里没有形成用倍增法解决问题的活动经验，以至于在解决“通知50名学生最少需要几分钟”的时候，反而不用倍增法了。

后来，笔者把问题情境改成了“通知15名学生最少需要几分钟”。学生想出更多的解决问题的策略，再通过不同策略之间的对比，揭示出快的方法之所以快的根本原因，学生终于在充分展开的过程中，积累了良好的、可以运用的数学活动经验。

（二）通过多样化的活动，帮助学生积累数学活动经验

数学活动经验不像事实性知识那样“看得见、摸得着”，而且表述是唯一的，不同的学生获得经验的时机和质量是不同的，不同的活动适合不同的学生，在前一个活动中获得的经验不清晰、不完整，通过后一活动可能就变得清晰和完整了。因此在教学过程中，教师要设计多样化的数学活动，力求每个学生作为学习的主体都能参与到活动里，使每个学生都能积累丰富的、完整的、立体化的数学活动经验。以本课为例，所涉及的数学活动有独立思考、对比分析、情景模拟、画图、观察、填表格等。有的学生独立思考能力不强，或许他在情景模拟时，突然顿悟；有的学生抽象能力不强，无法列出算式，或许他在填表格时，豁然开朗。并且这些活动也是有层次性的，就算是能力比较强的学生，也能在每个活动中积累不同的数学活动经验。

并且，学生在数学活动中对同一数学对象的认识是有差异的，即使外部条件相同，每一个学生仍然可能具有不同的理解，获得不同的经验。因此教师在教学时应该尊重每个学生有不同的想法。以本课为例，在独立思考时笔者允许学生通过计算、文字、图示等不同形式表达自己的想法，在抽象成算式时允许学生用加法算式或者乘法算式，允许他们用综合算式或者分步算式，也允许学生不形成算式一直用图示法或者数列解决问题。

总之，积累数学活动经验并不是一句口号，更是学生获得智慧的途径。智慧不体现在问题的答案里，而是体现在解决问题的过程中。关注过程，关注每个学生数学活动经验的积累，让每个学生都获得智慧。

（浙江省桐乡市濮院小学 314500）endprint

（五）运用经验，二次挑战

1.题目：如果用上述方法，7分钟最多能通知多少人？通知100人最少需要几分钟？

预设：图示法，1+2+4+8+16+32+64=127，1×2×2

×2×2×2×2×2=128，128-1=127。

2.加法中出现了几个加数，乘法中出现了多少个2，为什么都是7个？7代表什么意思？

为什么128还要减1？通知100人最少需要7分钟，还是6分钟？

（设计意图：培养学生的应用意识，使学生主动运用刚发现的规律解决问题。同时再一次经历从图示到算式的过程，毕竟在100人的前提下，图示不再那么好画了，算式的优势以及必要性突显出来了，什么时候放弃图示转用算式，就看学生的个体差异了。）

（六）总结经验，解决问题

1.学了这节课的内容，你知道怎样打电话最省时间了吗？

预设：根据学生的回答填表。

生活中还有类似打电话的事吗？

第几分钟 1 2 3 4 5 6 7

得到通知的总人数（含老师） 2 4 8 16 32 64 128

预设：折纸、折绳子。

通知1000名学生最少需要多少时间，留到课外思考。

（设计意图：通过学生的总结形成表格，用纯数字的方式再次总结规律，并让学生感受对应思想。同时帮助学生把本课所得经验迁移到别的事物上，又和课前谈话呼应，最后还留给学生继续思考的空间。）

【课后反思】

（一）通过合适的问题情境，帮助学生积累数学活动经验

教学时教师要通过合适的问题情境，帮助学生积累数学活动经验。问题情境的设计除了要有趣味性和挑战性，还要充分调动学生学习数学的积极性，要能激发学生的思考。思考的起点要低，开放程度要大，人人都能参与。只有这样，学生才能积累完整的立体化的数学活动经验。

试教时，笔者把问题情境设置成“通知7名学生最少需要几分钟”。7是一个质数，可以分成2组，用时4分钟；也可以用倍增法，1+2+4=7，用时3分钟。本以为把学生解决问题的策略控制住，不要有太多的策略，就更容易到达数学本质。但恰恰由于解决问题的策略少，缺少了策略之间的对比，使得学生对倍增法的优势感觉不强烈，甚至有的学生虽然用了倍增法，但只是被他碰巧这么做了，头脑里没有形成用倍增法解决问题的活动经验，以至于在解决“通知50名学生最少需要几分钟”的时候，反而不用倍增法了。

后来，笔者把问题情境改成了“通知15名学生最少需要几分钟”。学生想出更多的解决问题的策略，再通过不同策略之间的对比，揭示出快的方法之所以快的根本原因，学生终于在充分展开的过程中，积累了良好的、可以运用的数学活动经验。

（二）通过多样化的活动，帮助学生积累数学活动经验

数学活动经验不像事实性知识那样“看得见、摸得着”，而且表述是唯一的，不同的学生获得经验的时机和质量是不同的，不同的活动适合不同的学生，在前一个活动中获得的经验不清晰、不完整，通过后一活动可能就变得清晰和完整了。因此在教学过程中，教师要设计多样化的数学活动，力求每个学生作为学习的主体都能参与到活动里，使每个学生都能积累丰富的、完整的、立体化的数学活动经验。以本课为例，所涉及的数学活动有独立思考、对比分析、情景模拟、画图、观察、填表格等。有的学生独立思考能力不强，或许他在情景模拟时，突然顿悟；有的学生抽象能力不强，无法列出算式，或许他在填表格时，豁然开朗。并且这些活动也是有层次性的，就算是能力比较强的学生，也能在每个活动中积累不同的数学活动经验。

并且，学生在数学活动中对同一数学对象的认识是有差异的，即使外部条件相同，每一个学生仍然可能具有不同的理解，获得不同的经验。因此教师在教学时应该尊重每个学生有不同的想法。以本课为例，在独立思考时笔者允许学生通过计算、文字、图示等不同形式表达自己的想法，在抽象成算式时允许学生用加法算式或者乘法算式，允许他们用综合算式或者分步算式，也允许学生不形成算式一直用图示法或者数列解决问题。

总之，积累数学活动经验并不是一句口号，更是学生获得智慧的途径。智慧不体现在问题的答案里，而是体现在解决问题的过程中。关注过程，关注每个学生数学活动经验的积累，让每个学生都获得智慧。

（浙江省桐乡市濮院小学 314500）endprint