概率论与数理统计案例教学与数学实验初探

黄晓梅

(江西师范大学 数学与信息科学学院，江西 南昌330022)

0 前言

概率论与数理统计是研究随机现象及其统计规律性的一门学科，由于其广泛地渗透到计算机、生物、医学、工业工程、金融以及自然科学等各领域，是应用性和实践性很强的一门学科。因此，该门课程的教学在培养学生学数学，特别是用数学的能力上具有得天独厚的优势。

传统上该课程的教学侧重于抽象的理论介绍，强调理论的系统性和繁琐的计算，教材上的例子多介绍较为抽象的应用，对数学知识的应用前景泛泛而谈，这样导致学生学习停留在纸上谈兵，不知道学了有什么用处，从而逐渐失去学习的兴趣。 案例教学方法的引入则有利于弥补上述不足。 案例教学是指以基于实际问题背景的、与理论知识紧密结合的案例作为内容载体，通过教师展示案例、组织学生讨论案例，教师归纳提炼，学生最后演绎并策划出解决问题的方案及提出新的问题等教学程序来实现教学目的的一种教学方式。 通过案例教学，能够突出相关概念的联系， 加强学生对基本概念和基本知识的理解，更重要的是，这种方式有利于使学生深刻领会学习该门课程的真正目的和用途，有利于激发学生的学习兴趣，并培养学生综合运用概率统计思想与方法分析并解决实际问题的能力。 另一方面，数学实验是一种信息技术日渐普及的背景下出现的现代数学教学模式,它是以计算机为仪器,以软件为载体,强调的是以学生动手为主,利用数学知识分析解决一些实际问题。它的引入，有利于提高学生数学学习的趣味性、体现数学教育的时代性， 有利于学生学会使用计算机解决实际问题。本文给出一个引入了数学实验的教学案例，通过该案例能够加深学生对随机变量的期望和方差概念的理解， 了解其在实际生活中的使用，同时通过上机操作了解MATLAB 数学软件在解决实际问题中的应用。

1 问题的提出

以前，SONY 牌彩电有两个产地：日本与美国。 两地的工厂是按同一设计方案和相同的生产线生产同一牌号SONY 电视机，连使用说明书和检验合格的标准都是相同的。 譬如彩电的彩色浓度Y 的目标值为m，标准差(允许的波动)为5，当Y 在范围[m-5,m+5]内该彩电的彩色浓度为合格，否则判为不合格。

两地产的SONY 牌彩电在美国市场上都能买到，到20 世纪70 年代后期，美国消费者购买日本产的SONY 彩电的热情高于购买美国产的SONY 彩电。 这是什么原因呢？ 1979 年4 月17 日日本《朝日新闻》刊登了这一问题的调查报告，报告指出：日产的彩色浓度服从正态分布N(m,(5/3)2)，而美产的彩色浓度服从均匀分布U(m-5,m+5).这两个不同的分布表示着两个不同的总体。这两个总体的均值相同，都为m，但方差不同。 试计算各自的方差，并做出相应的解释。

2 问题的分析

方差是反映随机变量取值的集中程度和波动剧烈程度的数字特征。可以通过求随机变量的方差，相应进行比较，判断两组或多组数据的稳定情况。 随机变量的方差在质量控制方面有着重要的应用。 方差越小，质量越稳定。

设日产电视机的彩色浓度为Y1, 美产电视机的彩色浓度为Y2，由上述调查报告可知 Y1~N（m,（5/3）2），Y2～U（m-5，m+5）,其概率密度曲线见图1，其表达式如下：

他们的方差及标准差如下：

可见，日产电视机彩色浓度方差小于美产的彩色浓度的方差。

如果规定彩色浓度在 （m-σ （Y1），m+σ （Y1）） 内为Ⅰ等品，在内 为 Ⅱ 等 品 ， 在内为Ⅲ等品，在内为Ⅳ等品。 则日产各等级彩电的概率如下：

日产Ⅰ等品概率：P11=2Ø（1）-1=0.6826，

日产Ⅱ等品概率：P12=2Ø（2）-Ø（1）=0.2718，

日产Ⅲ等品概率：P13=2Ø（3）-Ø（2）=0.043，日产Ⅳ等品概率：P14=1-0.6826-0.2718-0.043=0.0026。

美产各等级彩电的概率如下：

美产Ⅰ等品概率：P21=2σ（Y1）/10=1/3，

美产Ⅱ等品概率：P22=1/3，

美产Ⅲ等品的概率：P23=2σ（Y1）/10=1/3，

美产Ⅳ等品的概率：P24=0。

美产与日产各等级彩电的比率见表1

表1 各等级彩电的概率

从上述计算结果可见， 生产出日产SONYⅠ等品概率是美产SONY 的两倍左右，这就是美国消费者乐于购买日产SONY 的主要原因。

为什么两个工厂按同一个设计方案、 相同设备生产同一种电视机，其彩色浓度会有不同的分布呢？关键在于管理者，美国生产厂的管理者按彩色浓度合格范围U(m-5,m+5)要求操作。 在他看来，只要彩色浓度落在此范围内，不论它在区间的什么位置都认为合格，因而造成彩色浓度落在这个区间内任一相同长度小区间内的机会是相同的，从而形成均匀分布；但日产SONY 的管理者认为彩色浓度的最佳位置在m 上，它要求操作者把彩色浓度尽量向m 靠近，这样，彩色浓度在m周围的机会就多， 而远离m 的机会就少， 最后导致服从正态分布N（m，（5/3）2）。可见正是管理上对彩色浓度要求的严格程度的不同，导致在相同生产条件下生产出的Ⅰ等品概率不同。

3 MATLAB 实验

上述结果可以通过 MATLAB 计算、画图观察。 假设 Y1~N（0，（5/3）2），Y2~U（-5，+5）。

syms y1 y2

vary1=(5/3)^2;sigy1=5/3;

vary2=10^2/12;sigy2=sqrt(vary2);

normspec([-sigy1,sigy1],0,sigy1);hold on

plot([-5：0.05：5],1/10,'r')

作出的图形为图1。 图中蓝线表示日产彩电彩色浓度的概率密度曲线，红线表示美产的概率密度曲线。 其中蓝色阴影部分表示了日产彩电Ⅰ等品的概率为0.6829，而红线以下的阴影部分则表示美产Ⅰ等品的概率，可以看出，在Ⅰ等品概率上日产SONY 是美产SONY 的两倍左右。

图1 色彩浓度概率密度曲线图

4 思考及总结

本文通过一个实际的例子初步探索了概率论与数理统计课程中综合运用案例教学与数学实验的教学方法。 通过该例子的运用，加深了学生对数学期望和方差概念的理解，了解了这些概念在实际生活中的应用，强化了常见概率分布类型的概率计算能力，同时初步了解了MATLAB 软件在模拟仿真中的应用。案例教学与数学实验方法的综合运用，既激发了学生的学习兴趣，使其在理论联系实际的过程中体会到数学工具的价值和作用，同时又培养了学生使用计算机解决实际问题的能力。 由此可见，案例教学与数学实验的教学方法对概率论与数理统计课程来说是一种有益且必要的补充。如何将理论与实际联系起来，寻找并设计出适合课堂教学的好的案例，需要教师在日常教学生活中不断探索，不断积累，推陈出新。

［1］李兴东，张正成.《概率论与数理统计》课程中加强案例教学的探讨[J].数学教学研究，2012（4）：54-57.

［2］郭科.数学实验概率论与数理统计分册[M].北京：高等教育出版社，2009.