浅谈初中数学的例题教学

张育丽

近年来，数学教研的工作重点已转到“优化课堂教学”上来。注重例题的教学，优化教材例题教学，充分发挥例题的桥梁作用，这是每位数学教师需要深入研讨的重要课题。在解题中，不断改变解题方向，从不同角度，不同的侧面去探讨问题的解法，寻求最佳方法，将复杂问题转化为简单问题，将抽象化为具体，化难为易，化整为零，从而提高学生的解题能力和探究推理能力，使教学达到“事半功倍”的效果。

一、透视例题的意图，化陌生为熟悉

教材中的每个例题的编排都有其意图，都能够比较具体地反映教学的有关内容，及学生应掌握的程度。由于它们被安排在不同的教学环节上，其目的也就有所侧重。因此，教师必须根据教学的实际和需要，深入钻研例题，领会和认识例题的意图，突出重点，兼顾其他，有意识地引导学生对例题的意图进行透视，给学生创设自我学习的情境，逐步地培养学生的学习能力和习惯。

例1：当（1）x=5，y=3；（2）x=5，y=-3时，求：代数式|x|+|y|-2|x||y|的值。

我引导学生透视例题意图，如下：

①复习代数式的值的概念。②进一步熟练求代数式的值的方法和步骤。③复习巩固绝对值的概念。④掌握有关绝对值运算的方法。⑤此例两个小题答案表明特殊情形下，同一字母取不同的数值时，同一代数式的值可能相同的事实。⑥找出本例特殊的原因。在学生明确了例题意图后，教师便可启发学生进行自我完善学习，使学生的学习效果符合例题意图要求，经常进行如此训练，不仅大大提高了例题教学效果，而且有助于培养学生的自学能力和良好的学习品质。

所以，例题教学要保证学生能听得懂，接受得了。要做到这一点，教师备课时必须做到“吃透两头”：一头是“吃透例题”，即对例题的内容、知识范围、与前后知识的联系、技能水平、难易程度等要一清二楚；另一头是“吃透学生”，即对学生的知识水平、能力水平、经验水平、年龄特征等要心中有数。对于一些难度较大，估计学生一下接受有困难的例题，要降低难度，搭好台阶，使学生感到只要自己“跳一跳”就能达到。

二、发掘课本习题的潜在功能，化复杂为简单

教材中的例题，习题大多数都是经过专家严格筛选而配置的，具有典型性和探索性，所蕴含的内容也相当丰富，所以教师应引导学生研究、发掘例题、习题的潜在功能，并将其视为教学的主要内容之一，它有利于培养学生能力，开发学生智力，使学生灵活运用已学知识解决问题。

例2：解关于x的方程：x+■=c+■（c≠0）

它的根是x1=c，x2=■，这个方程的两个根互为倒数且恰是方程右边互为倒数的常数，引导学生观察，掌握这些特点，就可以灵活运用这个结论简捷地解决课外的许多习题。

例3：（竞赛题）解方程■+■=■

解法一：用换元法，y=■则方程变为y+■=■，先求出y，再求x。

解法二：利用例3结论，将方程变为■+■=2+■，从而得：■=2，■=■即可求出原方程的根。

像这样引导学生研究一些例题，发掘其功能，利用它解决问题，不仅能收到事半功倍，以少胜多的效果，而且还能化难为易，激发学生学习兴趣。

由于教材正文中有的引例的计算不简便，不利于整个解题过程的操作与展示，笔者把课后的练习题设置为例题。

例4：某饮料厂1月份生产饮料的产量为500吨，3月份上升到720吨，求这个饮料厂2月份和3月份产量的平均增长率。

分析：设平均增长率为x，1月份产量为500吨，2月份产量为500（1+x）吨，3月份产量为500（1+x）（1+x）即500（1+x）2吨，列方程500（1+x）2=720

解题之后，延伸分析：如果1月份产量为a吨，3月份产量为b吨，则2月份产量为a（1+x）吨，3月份产量为a（1+x）（1+x）即a（1+x）2吨，列方程a（1+x）2 =b

总结平均增长率问题规律：a（1+x）n=b其中a为增长的初始数据，n为增长的次数，b为增长后的最终数据，如果是降低百分率问题，只需将加号变为减号即可。有了这个公式，学生再遇到此类问题就可“迎刃而解”。

三、通过例题引申，化封闭为开放

在例题的教学中，不失时机地进行适当的引申，可以激发学生的求知欲，养成深入研究问题的习惯。

九年级上册第97页——思考探索

例5：如图1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A沿着边AB向点B以1cm/s的速度移动，同时，点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，问：几秒后△PBQ的面积等于8cm2？

■

图1

解答：设x秒后△PBQ的面积等于8cm2，则AP=x，BQ=2x；

∴PB=AB-AP=6-x ∴S△PBQ=■PB·BQ=■·（6-x）·2x=x（6-x）即x（6-x）=8，x2-6x+8=0，（x-4）（x-2）=0

∴x1=4 x2=2

∴4秒或2秒后△PBQ的面积等于8cm2

引申新题：如图2，在直角坐标系中，四边形OBCD是矩形，C（6，12），点P从点O沿着x轴向点B以1cm/s的速度移动，同时，点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动。

求：（1）点B、D的坐标。

（2）几秒后，△PDQ是直角三角形？

（3）几秒后，△PDQ是等腰三角形？

（4）几秒后，△PDQ的面积最大，并求出Q的坐标和△PDQ的面积。

通过这一系列的问题引申，吸引学生积极地去思考，借以巩固知识，培养学生分析能力和学生讨论问题的的严谨性，提高学生数形结合思想的利用能力，使学生真正学会通过二次函数来求最值问题。endprint

四、变换例题结构，化零为整

针对课本上重要知识和学生掌握知识与技能的薄弱环节，就地取材，例题的教学宜求“变”、求“活”。利用交换题目的结构，通过变式练习，引导学生多角度、多方向、多层次地思考，扩大例题的辐射面，加深对基础知识的理解、掌握和变通，培养学生的发散思维能力。

例6：已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点是B，OC∥AD，求证：DC是⊙O的切线。

在讲解例题时，我们要对其进行深度的挖掘，注重例题的变化，加大知识的扩展与延伸。在上课的过程中，我对原题的题设和结论进行交换，改编为：

题1：已知AB是⊙O的直径，DC是⊙O的切线，切点是D，OC∥AD，求证：BC是⊙O的切线。

题2：已知，AD是⊙O的弦，DC是⊙O的切线，切点是D，OC∥AD，过C作⊙O的切线BC，切点是B，求证：AB是⊙O的直径。

对例题的变式，我们可通过改变条件和结论，图形变式，类比和拓展等多种途径，引导学生进行多角度的探讨，把一个题变成一类题，从而促成知识的迁移和延伸，达到使学生解一题，会一类的目的。

例7：（原例题）已知等腰三角形的腰长是4，底长为6，求周长。我们可以将此例题进行一题多变。

变式1：已知等腰三角形一腰长为4，周长为14，求底边长。（这是考查逆向思维能力）

变式2：已等腰三角形一边长为4；另一边长为6，求周长。（前两题相比，需要改变思维策略，进行分类讨论）

变式3：已知等腰三角形的一边长为3，另一边长为6，求周长。（显然“3”只能为“底”，否则与三角形两边之和大于第三边相矛盾，这有利于培养学生思维严密性）

变式4：已知等腰三角形的腰长为x，求底边长y的取值范围。

变式5：已知等腰三角形的腰长为x，底边长为y，周长是14。请先写出二者的函数关系式，再在平面直角坐标内画出二者的图象。（与前面相比，要求又提高了，特别是对条件0

通过例题的层层变式，学生对三边关系定理的认识又深了一步，有利于培养学生从特殊到一般、从具体到抽象地分析问题和解决问题的能力；通过例题解法多变的教学则有利于帮助学生形成发散思维，而又打破思维定势；有利于培养思维的变通性和灵活性。

波利亚说：“中学数学教学的首要任务是习题教学。教师要充分发挥例题教学的示范和引领作用，使之成为促进学生发展的有效途径。”通过例题教学不仅能培养学生数学学习能力和思维能力，而且能以点带面，提升学生的感性认识，帮助学生领悟数学思想方法，探寻并掌握学习的“捷径”，大大提高教与学的效率。

[参 考 文 献]

[1]（美）乔治·波利亚著，刘景麟等译.数学的发现[M].北京：科学出版社，2009.

[2]王丽君.挖掘课本习题价值的实践[J].北京：中小学数学，2013（5）.

（责任编辑：张华伟）

四、变换例题结构，化零为整

针对课本上重要知识和学生掌握知识与技能的薄弱环节，就地取材，例题的教学宜求“变”、求“活”。利用交换题目的结构，通过变式练习，引导学生多角度、多方向、多层次地思考，扩大例题的辐射面，加深对基础知识的理解、掌握和变通，培养学生的发散思维能力。

例6：已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点是B，OC∥AD，求证：DC是⊙O的切线。

在讲解例题时，我们要对其进行深度的挖掘，注重例题的变化，加大知识的扩展与延伸。在上课的过程中，我对原题的题设和结论进行交换，改编为：

题1：已知AB是⊙O的直径，DC是⊙O的切线，切点是D，OC∥AD，求证：BC是⊙O的切线。

题2：已知，AD是⊙O的弦，DC是⊙O的切线，切点是D，OC∥AD，过C作⊙O的切线BC，切点是B，求证：AB是⊙O的直径。

对例题的变式，我们可通过改变条件和结论，图形变式，类比和拓展等多种途径，引导学生进行多角度的探讨，把一个题变成一类题，从而促成知识的迁移和延伸，达到使学生解一题，会一类的目的。

例7：（原例题）已知等腰三角形的腰长是4，底长为6，求周长。我们可以将此例题进行一题多变。

变式1：已知等腰三角形一腰长为4，周长为14，求底边长。（这是考查逆向思维能力）

变式2：已等腰三角形一边长为4；另一边长为6，求周长。（前两题相比，需要改变思维策略，进行分类讨论）

变式3：已知等腰三角形的一边长为3，另一边长为6，求周长。（显然“3”只能为“底”，否则与三角形两边之和大于第三边相矛盾，这有利于培养学生思维严密性）

变式4：已知等腰三角形的腰长为x，求底边长y的取值范围。

变式5：已知等腰三角形的腰长为x，底边长为y，周长是14。请先写出二者的函数关系式，再在平面直角坐标内画出二者的图象。（与前面相比，要求又提高了，特别是对条件0

通过例题的层层变式，学生对三边关系定理的认识又深了一步，有利于培养学生从特殊到一般、从具体到抽象地分析问题和解决问题的能力；通过例题解法多变的教学则有利于帮助学生形成发散思维，而又打破思维定势；有利于培养思维的变通性和灵活性。

波利亚说：“中学数学教学的首要任务是习题教学。教师要充分发挥例题教学的示范和引领作用，使之成为促进学生发展的有效途径。”通过例题教学不仅能培养学生数学学习能力和思维能力，而且能以点带面，提升学生的感性认识，帮助学生领悟数学思想方法，探寻并掌握学习的“捷径”，大大提高教与学的效率。

[参 考 文 献]

[1]（美）乔治·波利亚著，刘景麟等译.数学的发现[M].北京：科学出版社，2009.

[2]王丽君.挖掘课本习题价值的实践[J].北京：中小学数学，2013（5）.

（责任编辑：张华伟）

四、变换例题结构，化零为整

针对课本上重要知识和学生掌握知识与技能的薄弱环节，就地取材，例题的教学宜求“变”、求“活”。利用交换题目的结构，通过变式练习，引导学生多角度、多方向、多层次地思考，扩大例题的辐射面，加深对基础知识的理解、掌握和变通，培养学生的发散思维能力。

例6：已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点是B，OC∥AD，求证：DC是⊙O的切线。

在讲解例题时，我们要对其进行深度的挖掘，注重例题的变化，加大知识的扩展与延伸。在上课的过程中，我对原题的题设和结论进行交换，改编为：

题1：已知AB是⊙O的直径，DC是⊙O的切线，切点是D，OC∥AD，求证：BC是⊙O的切线。

题2：已知，AD是⊙O的弦，DC是⊙O的切线，切点是D，OC∥AD，过C作⊙O的切线BC，切点是B，求证：AB是⊙O的直径。

对例题的变式，我们可通过改变条件和结论，图形变式，类比和拓展等多种途径，引导学生进行多角度的探讨，把一个题变成一类题，从而促成知识的迁移和延伸，达到使学生解一题，会一类的目的。

例7：（原例题）已知等腰三角形的腰长是4，底长为6，求周长。我们可以将此例题进行一题多变。

变式1：已知等腰三角形一腰长为4，周长为14，求底边长。（这是考查逆向思维能力）

变式2：已等腰三角形一边长为4；另一边长为6，求周长。（前两题相比，需要改变思维策略，进行分类讨论）

变式3：已知等腰三角形的一边长为3，另一边长为6，求周长。（显然“3”只能为“底”，否则与三角形两边之和大于第三边相矛盾，这有利于培养学生思维严密性）

变式4：已知等腰三角形的腰长为x，求底边长y的取值范围。

变式5：已知等腰三角形的腰长为x，底边长为y，周长是14。请先写出二者的函数关系式，再在平面直角坐标内画出二者的图象。（与前面相比，要求又提高了，特别是对条件0

通过例题的层层变式，学生对三边关系定理的认识又深了一步，有利于培养学生从特殊到一般、从具体到抽象地分析问题和解决问题的能力；通过例题解法多变的教学则有利于帮助学生形成发散思维，而又打破思维定势；有利于培养思维的变通性和灵活性。

波利亚说：“中学数学教学的首要任务是习题教学。教师要充分发挥例题教学的示范和引领作用，使之成为促进学生发展的有效途径。”通过例题教学不仅能培养学生数学学习能力和思维能力，而且能以点带面，提升学生的感性认识，帮助学生领悟数学思想方法，探寻并掌握学习的“捷径”，大大提高教与学的效率。

[参 考 文 献]

[1]（美）乔治·波利亚著，刘景麟等译.数学的发现[M].北京：科学出版社，2009.

[2]王丽君.挖掘课本习题价值的实践[J].北京：中小学数学，2013（5）.

（责任编辑：张华伟）