Bessel函数在物理学中的应用

2014-02-20刘冬冬

中学课程辅导·教学研究 2014年1期

关键词：热传导

刘冬冬

摘要：本文首先介绍了贝塞尔函数的来源，然后介绍了其在物理学中的应用。贝塞尔函数在物理学中的应用是很广泛的，笔者主要以贝塞尔函数在热传导问题、量子力学和电动力学中的应用为例来说明其应用。

关键词：贝塞尔函数；热传导；球方势阱；圆柱形导体；圆柱形波导

中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2014）01-0119

一、引言

贝塞尔函数的几个正整数阶特例早在18世纪中叶就由瑞士数学家丹尼尔·伯努利在研究悬链振动时提出，丹尼尔的叔叔雅各布·伯努利，欧拉、拉格朗日等数学大师对贝塞尔函数的研究做出贡献。1817年，德国数学家贝塞尔在研究开普勒提出的三体引力系统的运动问题时，第一次系统地提出了贝塞尔函数的总体理论框架，后人以他的名字来命名了这种函数，现在贝塞尔函数广泛地应用于物理学中。贝塞尔方程是在柱坐标或球坐标下使用分离变量法求解拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程时得到的（在圆柱域问题中得到的是整阶形式 α=n；在球形域问题中得到的是半奇数阶形式 α=n+1/2），因此贝塞尔函数在波动问题以及各种涉及有势场的问题中占有非常重要的地位，最典型的问题有：

在圆柱形波导中的电磁波传播问题；圆柱体中的热传导问题；圆形（或环形）薄膜的振动模态分析问题。在其他一些领域，贝塞尔函数也相当有用。譬如在信号处理中的调频合成（FM synthesis）或凯泽窗（Kaiser window）的定义中，都要用到贝塞尔函数。

二、贝塞尔方程和贝塞尔函数

1. 贝塞尔方程的来源

贝塞尔方程是在柱坐标或球坐标下使用分离变量法求解拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程时得到的。柱坐标系中拉普拉斯算符的表达式为△=■■（ρ■）+■■+■，令U（ρ，φ，Z）=R（ρ）φ（φ）Z（z），通过对拉普拉斯方程 2 U=0分离变量得到关于变量ρ的方程：

ρ2R″（ρ）+ρR′（ρ）+[（λ-μ）ρ2-n2]R（ρ）=0 （1）或

ρ2R″（ρ）+ρR′（ρ）+[（-μ）ρ2-n2]R（ρ）=0 （2）

其中n=0，1，2……，若（λ-μ）或（-μ）≥0则k2=（λ-μ）或（-μ）此时上述二方程均变为：

ρ2R″（ρ）+ρR′（ρ）+[k2ρ2-n2]R（ρ）=0 （3）

称为n阶贝塞尔方程，令x=kρ，y（x）=R（ρ）则n阶贝塞尔方程又可表示为：

x2y″（x）+xy′（x）+（x2-n2）=0 （4）

（3）和（4）是整数阶贝塞尔方程，若将之进行推广即将n推广为实数υ则得到任意阶的贝塞尔方程：

x2y″（x）+xy′（x）+（x2-υ2）=0 （5）

2. 贝塞尔方程的通解

（1）υ和-υ阶的Bessel函数——第一类柱函数，

Jυ（x）=■■（■）2k+υ，Jυ（x）=■■（■）2k-υ均为Bessel方程的特解，当υ≠n（n=0，±1，±2……）时Bessel方程的通解是yc=CυJυ（x）+D-υ（x），当υ=n时J-n（x）=（-1）nJn（x）。

（2）第二类柱函数——Neumann函数

定义Nυ（x）=■为第二类柱函数，此时Bessel方程的通解表示为：yc=AυJυ（x）+BυNυ（x）。

（3）第三类柱函数——Hankel函数

定义Hυ（1）（x）=Jυ（x）+iNυ（x），Hυ（2）=Jυ（x）-iNυ（x）为第三类柱函数，于是贝塞尔函数的通解又可表示为：y（x）=C1Hυ（1）（x）+C2Hυ（2）（x）。

3. 球贝塞尔方程的来源

利用球坐标系拉普拉斯算符的表达式，可得球坐标系亥姆霍兹方程的表达式：

■■（r2■）+■■（sinθ■）+■■+k2υ=0 （6）

把变数r跟变数θ，φ分离开来，以υ（r，θ，φ）=R（r）Y（θ，φ）代入式（6），用■遍乘各项并适当移项得：

■■（r2■）+k2r2=■■（sinθ■）-■■ （7）

左边是r的函数，右边是θ，φ的函数，两边相等是不可能的，除非两边实际上是同一个常数，通常把这个常数记作l（l+1）。这就分解为两个方程：

■■（sinθ■）+■■+l（l+1）R=0 （8）■（r2■）+[k2r2-l（l+1）]R=0 （9）

其中式（9）亦即：

r2■+2r■+[k2r2-l（l+1）]R=0 （10）

这叫做l阶球贝塞尔方程。这是因为对于k>0，可以把自变数r和函数R（r）分别换作x和x=krR（r）=■ ，则方程（10）式成为：

x2■+x■+[x2-（l+■）2]y=0 （11）

这正是l+■阶的贝塞尔方程。

4. 球贝塞尔方程的解

若k=0，则方程（10）退化为：

r2■+2r■-l（l+1）R=0 （12）

其线性独立的两解是rl和■。k≠0时（l+■）阶贝塞尔方程有如下几种解J （x），J （x），N （x），H（1）（x），H（2）（x），其中任取两个就组成（l+■）阶贝塞尔方程的线性独立解。这样球贝塞尔方程的线性独立解也就是下列五中之中任取的两种：jl（x）=■J （x），j-l（x）=■J （x），n1（x）=■N（1）， hl= ■H（1）（x），h（2）（x）=■H（2）（x）。

三、贝塞尔函数在量子力学中的应用分析

1. 球方势阱

许多事实，譬如原子核的质量与质量数A成正比，原子核的结合能也近似地与核子数成正比等说明核子之间的力是短程的强作用力，它的作用距离只有10-13厘米的数量级，这样短程作用力的势能可以简单地用一球方势阱替代，我们讨论球方势阱中的束缚态，势能形式为：

V（r）=-ν0，r≤a0，r>a 其中ν0为常数，

在束缚态情形（-ν0

■+■■+[■（E+ν0）-■]R=0，r≤a ■+■■+[■E-■]R=0，r>a （13）

考虑到-ν0

令ρ=kr=r■，r≤a ar=r■，r>a则式（13）可化为：

■+■■+[1-■]R=0，r≤a ■+■■+[-1-■]R=0，r>a （14）

式（14）球贝塞尔方程和虚宗量球贝塞尔方程，他们的通解是：

R=Ajl（ρ）+Bnl（ρ），r≤a R=Chl（1）（iρ）+Dhl（2）（iρ），r>a，其中jl和nl分别是l阶球贝塞尔函数和球诺伊曼函数，hl（1）和hl（2）是l阶第一类和第二类球汉克尔函数。

2. 无限深球方势阱中运动的粒子

考虑在半径为a的球形匣子中运动的粒子，这相当于粒子在一个无限深方势阱中运动，即V（r）=0（ra），对于角动量l≠0的量子态径向波函数Rl（r）满足下列微分方程：

Rln+■R′l+[k2-■]Rl=0（r

而在边界上要求Rl（r） r=a=0引入无量纲变数ρ=kr则式（15）化为：■+■■+[1-■]R1=0 （16）

这就是球贝塞尔方程。令R1=■，经过计算可求出U1满足下列方程：Ul″+■Ul′+[1-■]Ul=0 （17）

这正是半奇数（l+■）阶贝塞尔方程（l=0，1，2……），它的两个线性无关解可表示为J （ρ），J （ρ）。所以径向波函数的两个解是：Rl∝■J ，■J 通常用球贝塞尔函数及球诺伊曼函数表示：jl（ρ）=■J （ρ），nl=（-1）l+1■J （ρ）。

3. 有限深球方势阱中运动的粒子

考虑在半径为a的球形有限深球方势阱中运动，有限深球方势阱形式如下：V（r）=0，ra，考虑E<ν0（束缚态）情况，

令k=■k′=■，则径向方程为：

Rl″+■Rl′+[k2-■]Rl=0（ra）（18）

它是球贝塞尔方程，其解为球贝塞尔函数（取jl，nl，hl，hl，当中任意两个线性叠加）。但在ra区域能保证处r→∞束缚态边界条件的波函数只能取虚宗量汉克尔函数hl（ik′r），Rl（r）=Bk′lhl（ik′r）（r>a）

四、贝塞尔函数在电动力学中的应用分析

贝塞尔函数在电动力学中有广泛的应用，例如：应用于均匀外场中的导体柱求空间电势分布、圆柱形导体中的趋肤效应、圆柱形波导中波膜的分析、圆柱形谐振腔中的应用等.若介质各向同性、分布均匀且内部没有自由电荷或电流，则恒场满足拉普拉斯方程的求解问题，按不同的边界形状，可选取适当的坐标系，用分离变量法求出拉普拉斯方程的通解，再由边界条件确定通解中的待定系数。在柱坐标系中，拉普拉斯方程为：[■■（ρ■）+■■+■]φ=0，其通解为φ=■eiυφ{[aksinh（kz）+bkcosh（kz）][cυkJυ（kρ）+dυkNυ（kρ）]+[a′ksinh（kz）+b′kcosh（kz）][c′υkIυ（kρ）+dυkKυ（kρ）]}或Jυ、Nυ式中、分别是第一、二类υ阶贝塞尔函数，Iυ、Kυ则是第一、二类υ阶变形贝塞尔函数。

注意：（a）若φ与z无关则φ=a0+b0lnρ+■（aυ ρυ+bυρ-υ）[cυcos（υφ）+cυsin（υφ）]或φ=a0+b0lnρ+■（aυ ρυ+bυ ρ-υ）exp（iυφ）；

（b）如果φ的取值不受限制，则υ为正整数，否则υ为正实数。

1. 均匀外场中的圆柱形导体

在均匀外场E=E0ex中有一半径为R，线电荷密度为λ的无限长圆柱形导体，柱轴与外场垂直，求空间电势分布。

解：柱内电场为零，在柱坐标系中柱外电势满足方程：

2φ=0，ρ

（上接第120页）

2. 圆柱形波导

设波导管是由围绕Z轴的理想导体柱面构成，则波导中电磁波的纵场振幅满足柱坐标系中的亥姆霍兹方程：

[■+■■+■■]Y（ρ，φ）=0 （19）

及边界条件Y ρ=0 =有限Y ρ=a =0当Y=E0z■ ρ=a =0当Y=H0z （20）

令Y（ρ，φ）=R（ρ）φ（φ），则原方程分离为两个方程：