可数余定向极大集的若干性质

占诗源，姜广浩

（淮北师范大学数学科学学院，安徽淮北235000）

1977年，Hutton[1]给出了极小族的概念（以下称为Hutton意义下的极小族），并得到完备格L中的所有元都存在极小族.1984年，王国俊[2]指出这种极小族的存在性不能推出完全分配律；1985年，他继而在文献[3]中引入了一个稍强极小集和对偶极大集的概念，并证明了它的存在性及它和完全分配律的等价性；1986年，他在文献[4]中构造出了更加广泛的φ-极小集概念及其对偶φ-极大集概念.这些结果对进一步研究余定向极大集起到了重要作用.关于完备格上的极小族、极大族和完全分配格的相关理论可参见文献[5-7].本文基于对偶可数连续格对可数余定向极大集进行研究，进而讨论对偶可数连续格的一些内部刻画，获得了对偶可数连续格构成完全分配格的一个充分条件，并探究了完全分配格的若干个内部刻画.

1 预备知识

定义1 设L是一个完备格，D⊂L，如果对于D中的任意一个可数集E⊆D，有d∈D，使得对于任意e∈E，d≤e，则称D是一个可数余定向集，即D关于可数集E是余定向的.记De（L）为L中所有可数余定向子集所构成的集合.

定义2 设L是一个完备格，a、b∈L.如果对于L中任意一个可数余定向集D，inf D≤a，存在m∈D，使得m≤b，则称a对偶可数way-below b，记作a≪eb.

定义3 设L是一个完备格，若对于任意a∈L，a=inf{b∈L│a≪eb}，则称L是一个对偶可数连续格.∀a∈L，记⇑a={x∈L│a≪ex}，上集↑a={x∈L│a≤x}.若∀a∈L，a=inf⇑a，则≪e称为对偶可数逼近的.

定义4设a∈L，F∈De（L），F称为a的可数余定向极大集，如果满足

（1）inf F=a；

（2）当D∈De（L）且inf D≤a时，∀b∈F，存在d∈D，使得d≤b.

如果a有可数余定向极大集，则a一定有最大可数余定向极大集，记为γ（a）.

由定义3和定义4有如下命题.

命题1 设L是一个对偶可数连续格，则∀a∈L，⇑a是a的最大可数余定向极大集.

注1 可数余定向极大集不一定是可数余定向集.如：任意一个可数极大族都是可数余定向极大集，而不一定均是可数余定向集.

定义5[8]完备格（L，≤，∨，∧）（简记为L）称作完全分配格，是指L满足如下2个条件：

定义8[9]设L是一个完备格，a∈L.如果a=x∧y，得到a=x或a=y，则称a为既约元.如果x∧y≤a，得到x≤a或y≤a，则称a为素元.如果a=x∨y，得到a=x或a=y，则称a为并既约元.如果a≤x∨y，得到a≤x或a≤y，则称a为余素元.用IRRL、PRIMEL、M、N分别表示L的所有既约元、素元、并既约元、余素元所组成的集合.

2 主要结论

定理1 设L是一个完备格，则下面的条件是等价的：

（1）L是一个对偶可数连续格；

（2）L是一个可数余定向分配格；

（3）∀a∈L，a有可数余定向极大集；

（4）在Hutton意义下，∀a∈L，a有可数余定向极大集，并且L满足第二可数余定向无限分配律.

证明 由定义3和定义7可知（1）⇔（2）.由定义3和定义 4可知（1）⇔（3）.而（3）⇒（4）是显然的，下面只需要证明（4）⇒（3）.

在Hutton意义下，∀a∈L，a有可数余定向极大集 γ（a），那么有 inf γ（a）=a.另外设 P={pi│i∈I}∈De（L），并且inf P≤a.令Q={a∨pi│i∈I}∈De（L），而所以∀x∈γ（a），存在y∈Q，使得y≤x.此时就存在z∈P，使得y=a∨z，则有z≤x.那么γ（a）就是a的一个可数余定向极大集.即条件（3）成立.

定理2 设L是一个对偶可数连续格，映射f：L→De（L），a→γ（a），则有

（1）∀a∈L，γ（a）是一个上集；

（2）∀a∈L，γ（a）是一个可数余定向集；

（3）∀a、b∈L并且a≤b，有f（b）⊆f（a）；

（4）∀a∈L，{ai│i∈I}∈De（L），有

证明 （1）设 m∈γ（a），则存在 n∈↑γ（a），使得n≤m并且inf（↑γ（a））=a.∀D∈De（L），inf D≤a，由γ（a）的定义可知，存在q∈D，使得 q≤n，则有q≤n≤m，所以↑γ（a）是a的一个可数余定向极大集.因为γ（a）是a的最大可数余定向极大集，故γ（a）⊆↑γ（a）.即有 m∈↑γ（a），所以 γ（a）是一个上集.

（2）由定义4易得.

（3）∀a，b∈L，并且a≤b，设T=f（a）∪f（b），那么有

inf T=inf f（a）∧inf f（b）=a∧b=a

∀D∈De（L），inf D≤a，∀x∈T，如果x∈f（a），那么存在y∈D，使得y≤x；如果x∈f（b），inf D≤a≤b，那么存在z∈D，使得z≤x.综上可知，T是a的一个可数余定向极大集，则有T⊆f（a）.即有f（a）∪f（b），所以有f（b）⊆f（a）.

命题2 设L是一个对偶可数连续格，则∀a∈L，a=inf（↑a∩IRRL）.

证明 由定义8直接可得.

定理3 设L是一个可数连续格，且是一个对偶可数连续格，A⊆L且a∈L.如果A是a的可数余定向极大集，则↑A∩IRRL也是a的可数余定向极大集.

证明 （1）证明a=inf（↑A∩IRRL）.由于a=inf A=inf↑A≤inf（↑A∩IRRL），因此只需要证明inf（↑A∩IRRL）≤a.由命题2可知∀x∈↑A，有x=inf（↑x∩IRRL）.又↑x⊆↑A，因此inf（↑A∩IRRL）≤x.故有

inf（↑A∩IRRL）≤inf↑A=a

综上有 a=inf（↑A∩IRRL）.

（2）设U是一个可数余定向集，并且inf U≤a.由于∀x∈↑A∩IRRL，存在y≤A，使得y≤x，因此由A是a的可数余定向极大集，可知存在z∈U，使得z≤y≤x.

综合（1）和（2）可知↑A∩IRRL是 a的可数余定向极大集.

定理4 设L是一个可数连续格，且是一个对偶可数连续格，则∀a∈L，⇑a∩IRRL是a的一个可数余定向极大集.

证明 由于∀a∈L，⇑a是a的一个可数余定向极大集，并且还是一个上集，因此由定理3可得∀a∈L，⇑a∩IRRL是a的可数余定向极大集.

注2 一般情况下，定理4中的IRRL不能用PRIMEI替代.如：若L是一个由五边形构成的完备格，那么L就是一个可数连续格且是一个对偶可数连续格，假设 b＜a且 a、b∉{0，1}，则⇑b∩PRIMEI={a，1}，这显然不是b的可数余定向极大集.

定理5 设L是一个对偶可数连续格，映射f：L→De（L），a→γ（a），则

∀a、b∈L，f（a∧b）=f（a）∪f（b）⇔L为一个链

证明 “⇐”如果L为一个链，那么∀a、b∈L，{a，b}是可数余定向集，所以由定理2可知，f（a∧b）=f（a）∪f（b）.

“⇒”设∀a、b∈L，均有f（a∧b）=f（a）∪f（b）.下面证明a≤b或者b≤a.对于∀a、b∈L，假设a与b是不可比的，那么f（a）与f（b）一定是互不包含的.即存在m、n，使得m∈f（a）但m∉f（a）且n∈f（b）但n∉f（a）.因为f（a∧b）是一个可数余定向集，所以m∧n∈f（a∧b）=f（a）∪f（b），那么有m∧n∈f（a），或者m∧n∈f（b），矛盾.所以a与b是可比的.故L为一个链.

推论 设L是一个对偶可数连续格，映射f:L→De（L），a→γ（a），如果∀a、b∈L，f（a∧b）=f（a）∪f（b）总成立，那么L是完全分配格.

定理6 设L是一个完备格，则下面的条件是等价的：

（1）L是一个完全分配格；

（2）∀a∈L，⇑a∩IRRL是a的一个可数余定向极大集，并且L是可分配的；

（3）∀a∈L，⇑a∩PRIMEL是a的一个可数余定向极大集；

（4）∀a∈L，⇑a∩PRIMEL是a的可数极大族；

（5）∀a∈L，⇑a∩IRRL是a的可数极大族.

证明 由定理 4可得（1）⇒（2）.（2）⇒（3）是显然的.由文献[3]的定理 2.4可类似证得（4）⇔（1）和（5）⇔（1），从而可得（4）⇔（5）.所以现只需证明（3）⇒（4）.

若（3）成立，则有 a=inf（⇑a∩PRIMEL）.令 S⊆L且inf S≤a.若T是由S的所有有限子集组成的集合，且F={inf B│B∈T}，那么S⊆F且inf S=inf F≤a，则F是一个可数余定向集.由（3）可得，∀x∈⇑a∩PRIMEL，存在 y∈F，使得 y≤x.因此存在 y1，y2，…，yn-1，yn∈S，使得所以由 x∈PRIMEL 可知，存在yi，使得yi≤x.综上知⇑a∩PRIMEL是a的可数极大族.

[1] HUTTON B.Uniformities on fuzzy topological spaces[J].J Math Anal Appl，1977，94（58）：559-571.

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