巧设主元另辟蹊径

肖复兴

摘要： 在高中数学学习中，对于一些代数式、函数、等式和不等式的问题中往往不止含有一个变量，如果按照常规方法，一般难以解决.很多学生对这种问题的处理感到陌生，难以有对策或解题过程比较复杂，学生懒于去操作.因此在数学教学中，教师若能适时地引导学生抓住问题的实质，灵活选取主元，把其中一个设为主元，其余各量视为“常量”，常能另辟蹊径，事半功倍.

关键词： 主元 ； 常量 ；动与静

本文通过举例就如何巧设主元，另辟蹊径，谈谈自己的一些粗浅的看法：

一、用于解决一些与高次方程根有关的问题

例1.已知关于x的方x3-ax2-2ax+a2=0程有且只有一个实根，求a实数的取值范围

分析：若以x为主元，则次数较高不易入手，现试以a为主元.

解：原方程可变形为a2-（x2+2x）a+x3-1=0

即[a-（x-1）][a-（x+x+1）]=0 ∴a=x-1或a=x2+x+1

∵方程有且只有一个实根∴a=x2+x+1即x2+x+1-a=0必须无实根

∴△=1-4（1-a）<0即a<〖SX（〗3〖〗4〖SX）〗，即实数a的取值范围a<〖SX（〗3〖〗4〖SX）〗

变式：解关于x的方程2x4-7x3-3ax2+4ax+a2+3x2=0（a≥-〖SX（〗1〖〗8〖SX）〗）

分析：x的最高次数为4，直接入手不易求解，但常量a的最高次数是2，所以可以考虑以a为主元.

解：以a为主元，整理得a2+（4x-3x2）a+（2x4-7x3-3x2）=0

解之得a=x2-3x或a=2x2-x再解关于的方程，

得 ，x1，2=〖SX（〗3±〖KF（〗4a+9〖KF）〗〖〗2〖SX）〗，x3，4=〖SX（〗1±〖KF（〗8a+1〖KF）〗〖〗a〖SX）〗

二、证明不等式、等式方面的应用

例2.已知|a|<1，|b|<1，|c|<1求证：ab+bc+ac>-1

分析：若以a为主元，b，c看成一个常量，则可看成一个一次式，构造函数解题.

证明：令g（a）=（b+c）a+bc+1可以视g（a）为一个以自变量的一次函数

因此，要证ab+bc+ac>-1，只需要证明函数g（a）=（b+c）a+bc+1>0对a∈（-1，1）恒成立即可.

∵g（-1）=（b+c）×（-1）+bc+1=bc+1-b-c（1-b）（1-c）>0

同理可证得g（1）>0，由一次函数的特殊性知：g（a）在（-1，1）上恒有g（a）>0

即|a|<1时，有g（a）=（b+c）a+bc+1>0，则ab+bc+ac>-1命题得证.

例3.已知4sina-2cosβ﹣tanθ=0，cos2β

求证：4sina+tanθ=0

分析：若考虑已知两式中消去cosβ，再化简较为繁琐.

由4=22，故可以构造一个二次方程.

证明：令x=2则4=x2 ∴4sina-2cosβ﹣tanθ=0可以变为x2sina-xcosβ﹣tanθ=0

（下面分类讨论：）

若sina=0，则有cosβ=0，∴4sina+tanθ=0；

若sina≠0，则有△=cosβ+4sina·tanθ=0

则x1=x2=〖SX（〗cosβ〖〗2sina〖SX）〗=2，即cosβ=4sina，代入等式4sina-2sina-tanθ=0

即有4sina·tanθ=0 综上，该命题4sina+tanθ=0成立.

三、求最值问题

例4.已知x，y∈R，求x2-xy+y2-2x+y的最小值

解：以x为主元

原式=[x2-（y+2x）+（〖SX（〗y+2〖〗2〖SX）〗）2]-（〖SX（〗y+2〖〗2〖SX）〗）2+y2+y

=[x-（〖SX（〗y+2〖〗2〖SX）〗）2]+〖SX（〗3〖〗4〖SX）〗y2-1

∵x，y∈R∴[x-（〖SX（〗y+2〖〗2〖SX）〗）2]≥0且〖SX（〗3〖〗4〖SX）〗y2-1≥﹣1

∴[x-（〖SX（〗y+2〖〗2〖SX）〗）2]+〖SX（〗3〖〗4〖SX）〗y2-1≥﹣1

即x2-xy+y2-2x+y的最小值为﹣1

四、求参数的取值范围

例5.已知为正整数，当且仅当取什么值时，方程kx2-2（1-2k）x+4k-7=0的根中至少有一个为整数？

分析：按常规思路，先求出方程的根x=〖SX（〗1-2k±〖KF（〗1+3k〖KF）〗〖〗k〖SX）〗再对参数k分情况讨论，找出满足条件k的值.但由于搜索范围很大，讨论十分繁琐.如果对换原方程中的x和k的地位，把k视为“主元”，用x来表示k，可简化讨论.

解：由原方程整理得（x+2）2k=2x+7，因为x=-2不适合原方程k=〖SX（〗2x+7〖〗（x+2）2〖SX）〗…………（1）

由于为正整数，有〖SX（〗2x+7〖〗（x+2）2〖SX）〗≥1即x2+2x-3≤0.解得-3≤x≤1

由此知x的整数值只可能是-3，-1，0，1.

故由（1）式只要讨论四种情况：当x=-3时，k=1；当x=-1时，k=5；

当x=0时，k=〖SX（〗7〖〗4〖SX）〗；当x=1时，k=1.

因此，符合题意的k值是1或5

例6.设函数f（x）=x2+ax+〖SX（〗1〖〗x2〖SX）〗+〖SX（〗a〖〗x〖SX）〗+b（x≠0）， 若方程f（x）=0（a，b为实数）有实根，

试求a2+b2的最小值.

分析： 观察可知， f（x）=x2+ax+〖SX（〗1〖〗x2〖SX）〗+〖SX（〗a〖〗x〖SX）〗+b=（x+〖SX（〗1〖〗x〖SX）〗）2+a（x+〖SX（〗1〖〗x〖SX）〗）+b-2

通过换元可将函数变形. 令t=x+〖SX（〗1〖〗x〖SX）〗（|t|≥2），于是f（x）=g（t）=t2+at+b-2（|t|≥2）.

则方程f（x）=0（a，b为实数）有实根等价于方程g（t）=t2+at+b-2=0在|t|≥2上有实根.

此时， 若直接以t为主元，函数g（t）=t2+at+b-2是二次函数，要求a2+b2的最小值，难以入手，于是a，b以为主元， 方程g（t）=t2+at+b-2=0在|t|≥2上有实根，说明点A（a，b）在直线l：tx+y+t2-2=0（|t|≥2）上运动. 而a2+b2的几何意义可以看作时直线l：tx+y+t2-2=0（|t|≥2）上点A（a，b）到原点O（0，0）的距离的平方，由|AO|≥do-l可得：〖KF（〗a2+b2〖KF）〗≥〖SX（〗t2-2〖〗〖KF（〗t2+1〖KF）〗〖SX）〗=〖KF（〗t2+1〖KF）〗-〖SX（〗3〖〗〖KF（〗 t2+1〖KF）〗〖SX）〗（|t|≥2），又h（t）=〖KF（〗t2+1〖KF）〗-〖SX（〗3〖〗〖KF（〗 t2+1〖KF）〗〖SX）〗在t2∈[4，∞]上递增，

则〖KF（〗a2+b2〖KF）〗≥h（t）min=〖KF（〗5〖KF）〗-〖SX（〗3〖〗〖KF（〗5〖KF）〗〖SX）〗=〖SX（〗2〖〗〖KF（〗5〖KF）〗〖SX）〗，故a2+b2的最小值为（〖SX（〗2〖〗〖KF（〗5〖KF）〗）〖SX）〗2.此时OA⊥l，且t=±2

综上所述，适当地巧设主元是高中数学学习的一种常用的解题方法，这其实是化归转化思想的体现，与哲学中的“主要矛盾与次要矛盾”、“动与静”的观点相吻合.

参考文献：

[1]《数学方法论与解题研究》 张雄 李得虎 编著高等教育出版社2003年8月

[2]《数学数学原理与方法》 柳柏濂 吴康编著广东高等教育出版社 2002年7月

（作者单位：江西省于都中学 342300）