利用缩减样本空间方法替代贝叶斯公式的计算

彭雨明，凌卫平

（广东白云学院基础教学部，广东 广州510500）

利用缩减样本空间方法替代贝叶斯公式的计算

彭雨明，凌卫平

（广东白云学院基础教学部，广东 广州510500）

条件概率的计算是概率论中极其重要的计算之一，一般有利用定义式计算和缩减样本空间计算两种方法.缩减样本空间计算法在先验概率问题计算上比较浅显易懂，但在后验概率问题上计算一般不采用这个方法，而是使用定义式来计算，后验概率的计算又和贝叶斯公式有较大的关系.着重讨论缩减样本空间计算法在后验概率问题上的应用，从而避免利用贝叶斯公式计算的繁琐过程.

条件概率；先验概率；后验概率；缩减样本空间

条件概率是概率论中重要而又基本的概念之一.对条件概率的计算，我们寻找更多方法和技巧，在力求简单的同时，还要促使学生正确、全面地了解和掌握概率论的相关知识.而贝叶斯公式是为计算一类条件概率服务的，传统利用贝叶斯公式计算条件概率基本都是从定义出发，笔者考虑从其他更为简单的方法入手，来替代贝叶斯公式较为复杂的计算.

1 基础知识

1.1 条件概率计算的两个一般方法

方法一：直接利用定义计算.

设A与B是样本空间Ω中的两个事件，若P（B）＞0，则称P（A|B）为“事件B发生的条件下事件A发生的概率”［1］，且

方法二：利用“缩减”的样本空间来进行计算.

从另外一个角度考虑P（A|B）的计算，P（A|B）是在事件B已经发生的条件下事件A发生的概率，那么仅考虑事件B的样本空间ΩB中样本的个数n，及ΩB中属于事件A的基本事件数k，再由概率的古典型计算方法［2］得到：

1.2 贝叶斯公式的计算

一般来说，贝叶斯公式是全概率公式和由条件概率公式推导而来的乘法公式的综合运用，通常在计算一个条件概率P（A|B）时候，发现这个条件概率不太容易计算，而P（B|A）相较而言，却比较容易计算，就会使用贝叶斯公式来计算P（A|B），也即是先验概率和后验概率的不同.当然这中间往往利用包含事件A的一组完备事件，将整个样本空间Ω进行分解，贝叶斯公式计算方法［3］如下其中某个Ai=A，而所有的Ai构成了对样本空间Ω的一个完备分解.

1.3 先验概率和后验概率

先验概率（prior probability）是指根据以往经验和分析得到的概率，如全概率公式，它往往作为“由因求果”问题中的“因”出现.后验概率（posterior probability）是指在得到“结果”的信息后重新修正的概率，如贝叶斯公式中是“执果寻因”问题中的“果”.后验概率是信息理论的基本概念之一.一个通信系统中，在收到某个消息之后，接收端所了解到的该消息发送的概率称为后验概率.

先验概率与后验概率有不可分割的联系，后验概率的计算要以先验概率为基础.

2 问题的提出

来看一个较简单、在课堂上经常提到的例子.

例1 盒子里有a个黑球，b个白球（a≥1，b≥1），现从盒子中先后两次不放回的取球.问：

（1）已知第一次取到的是黑球，问第二次取到的是黑球的概率；

（2）已知第二次取到的是黑球，问第一次取到的是黑球的概率.

解 （1）对于第一问，可以利用条件概率计算的两种方法来求解.

方法一：直接利用定义计算.设Ai=“第i次取到的是黑球”（i=1，2），则：

方法二：利用“缩减”的样本空间来进行计算.在事件A1已经发生的条件下，盒子中的球的总数以及黑球的总数均减少了一个，所以事件A2发生相当于在总数为a+b-1个，黑球数为a-1个的盒子中求取到一个黑球的概率，由古典型概率计算方法，不难得到和方法一计算的结果一致.

（2）对于第二问，由于计算的是P（A2|A1），事件A2发生在后，事件A1发生在前，属于后验概率问题，一般利用贝叶斯公式来进行求解，计算方法如下.

不难发现，第一问和第二问所求解的答案是完全一样的，进一步研究可以得出，这类问题的结论“答案完全一样”是必然的.

观察上面的计算方法，发现过程比较繁琐.如果对样本空间Ω的分解比较复杂，计算起来就更不简单.有没有其他简单的方法来计算这个问题呢？

换个角度再思考一下第二问，这个问题依然是一个条件概率，它的计算也应该有属于条件概率计算的第二个方法，也就是缩减的样本空间的方法.在求解这类后验概率的问题时，如何利用缩减空间方法计算呢？可以这样理解：如果事件A2发生了，相当于在a个黑球中肯定有一个黑球需要放在旁边“等待”第二次的抽取，因此第一次取到黑球，也就是事件A1发生时候，已经不是从球总数为a+b个、黑球数为a个盒子中取球的问题了，而是只能从剩下的球总数为a+b-1个，黑球数为a-1个的盒子中取球的问题，这样依据古典型概率计算，不难得到此时这和利用贝叶斯公式计算出来的结果完全“一致”.

在教学的过程中，学生始终不明白这种缩减样本空间的方法，往往会提出“明明第一次可供选择的球总数为a+b个，黑球数为a个，为什么都变化了呢？”针对这个问题，笔者一般把a或b具体实值化，比如特殊设置a=1或b=1（针对取白球情形），然后再考虑这个问题，就比较容易理解了.

贝叶斯公式应用计算的问题，只要是涉及到有“先后”发生的事件之间的条件概率，一般都可以从这个角度思考，利用这个方法，可以使计算大大简化.从某种程度上理解，好像时间在这些问题面前不是“单向”的，而是“双向”的，也就是考虑问题的方式既可以从前往后，还可以从后往前思考，无论我们采取前向计算，还是后向计算，结论必然是完全一致.下面举例说明利用缩减样本空间方法来计算用贝叶斯公式求解的其他例题，用以比较两个方法的难易.

3 应用举例

例2 盒子里有a个黑球，b个白球（a≥2，b≥1），现从盒子中先后三次不放回的取球，已知第三次取到的是黑球，问前两次取到的是一黑一白的概率.

解 方法一：直接利用定义计算.设Ai=“第i次取到的是黑球”（i=1，2，3），B＝“前两次取到的是一黑球一白球”容易有使用贝叶斯公式和乘法公式，则：

方法二：利用“缩减”的样本空间来进行计算.由于第三次抽出的是黑球，所以前两次只能从“剩下的”球总数为a+b-1个、黑球数为a-1个的盒子中取两球，且一球为黑一球为白.因此：

比较两种方法，难易程度不言而喻.

小结这种类型的问题，如果不放回的抽球次数更多，使用贝叶斯公式计算会更加复杂和麻烦，但是如果使用缩减样本空间方法计算就简单多了.

例3 一个盒子里有11个球，其中6个黑球，5个白球.现不放回的取球5次，已知后三次取到的都是白球，问前两次取到的球至少有一个白球的概率.

解 利用缩减样本空间方法直接计算：由于后三次取到的都是白球，所以，前两次取球时，只“剩下”总数8个球，其中6黑、2白，则：

如果利用贝叶斯公式计算，也可以得出一样的结论.

例4 某电子设备厂所用的元件是由三家元件厂提供的.根据以往的记录，这三个厂家的次品率分别为0.02、0.01、0.03，提供元件的份额分别为0.15、0.8、0.05，设这三个厂家的产品在仓库是均匀混合的，且无区别的标志.现在仓库中随机地取一个元件，若已知它是次品，则次品由三个厂家生产的概率分别是多少？

解 假设生产总数为10 000个，则三个厂家分别生产总数分别为1 500、8 000、500，从而三个厂家次品数为30、80、15.所以次品总数为125.现在已知随机抽取的一个元件是次品，也就意味着次品率高的工厂被抽中的可能性大，分别计算三个工厂生产次品在总次品数中所占的次品率，因为这个次品一定来自于三个厂家生产的次品之中，所以样本空间缩减为由从所有次品中抽取一个而产生的所有结果构成的样本空间.

假设Ai=“已知取到的是次品，它来自于第i个工厂”（i=1，2，3）可以计算出：

结果计算表明，来自第二个工厂生产的可能性较大.

4 结语

从上面的举例中可以看出，在一类带有明显事件发生有先后顺序的后验概率计算过程中，使用缩减样本空间的方法计算，比使用贝叶斯公式简单很多，虽然很多利用贝叶斯公式计算的条件概率问题不一定全部可以用这样的方法思考，但是一旦适合，使用此方法可以快速求解出正确结果,达到事半功倍的效果.

［1］郑玉仙.缩减样本空间在条件概率计算中的应用［J］.浙江水利水电专科学校学报，2006，18（1）：57-58.

［2］李元东.缩减样本空间在条件概率计算中的应用［J］.绵阳师范学院学报，2008，27（8）：25-27.

［3］袁荫棠.概率论与数理统计［M］.2版.北京：中国人民大学出版社，1990.

On using the method of the sample space to replace the Bayesian formula calculation

PENG Yu-ming，LING Wei-ping
（Foundation Department，Guangdong Baiyun University,Guangzhou,510540,Guangdong,China)

Conditional probability calculations are extremely important probability theory basics,there are generally calculated by use of the definition or of the methods to reduce the sample space.Reducing the sample space on the a priori probability calculation is easy to understand the problem,but a posteriori computational problems generally are calculated using the definition,then the calculation of posterior probability have a greater relationship with the Bayesian formula.This paper focuses on reducing the sample space to calculate posterior probability problems,thus avoiding the use of Bayesian formula to calculate the tedious process.

conditional probability；prior probability；posteriori probability；reduced sample space

O211.9

：A

：1007-5348（2014）08-0005-04

（责任编辑：李 婉）

2014-05-18

彭雨明（1973-），男，湖北武汉人，广东白云学院基础教学部讲师，硕士，主要从事基础数学方面的研究.