关于微积分和矢量法在大学物理教学中的应用

滕琴,徐玲,吴珞

(上海第二工业大学理学院,上海201209)

关于微积分和矢量法在大学物理教学中的应用

滕琴,徐玲,吴珞

(上海第二工业大学理学院,上海201209)

运用微积分求解物理问题是大学物理教学的重点和难点。通过典型实例分析,阐述了微积分和矢量法在工科物理教学中的应用,总结了运用微积分和矢量法来分析和处理物理问题的方法和技巧。

微积分;矢量法;大学物理

0 引言

任何复杂的物理现象和规律都是以最基本的现象和规律为基础的[1]。中学物理注意应用代数运算来解决相对简单的物理问题,处理的物理量多为常量;而大学物理主要应用微积分和矢量法来解决相对复杂的物理问题,处理的物理量多为变量。大学物理一般安排在学生至少经过一个学期的高等数学课程学习之后开设。在实际教学中我们发现,工科学生往往把《高等数学》和《大学物理》看做两门相互独立的课程,没有充分重视物理和数学之间的密切关系。而且中学物理的思维模式和解题习惯根深蒂固,部分大一、大二学生还未完全适应从中学物理到大学物理的衔接和转换,往往需要经过教师的悉心指导和思维点拨,才能真正实现“数源于物、执数索理”。因此,在大学物理教学中,需要将微积分和矢量法贯穿始终,并且不能将其简单视为数学工具的使用,更要提升为思维方法的灵活应用[1-2]。

1 构建物理情境和模型,理解公式符号的物理意义

物理和数学一样具有抽象性,但每一个抽象公式都和实际的物理对象相对应[3]。物理问题都有其特定的物理情境和模型,脱离了物理情境和模型,公式和符号也就失去了生命力。数学上的公式符号相对单一,如函数以y表示,变量以x表示,简单明了、便于理解和记忆;而物理概念和符号众多,学生学习所面临的一大困扰就是不能正确表达。尤其是教材印刷体中的矢量以黑体表示,而在日常书写如板书、作业、考试中则需在字母上方加箭头表示,往往教师已经反复提醒,而学生却依然经常忽略。因此,对于物理概念和符号不能只停留在数值关系上去认识它们,更重要的是理解其中蕴含的物理意义。

以带电球面为例,如图1所示,半径为R,电荷面密度σ=σ0cosθ(σ0为常数),求球心O点的电场强度。

图1 非均匀带电球面Fig.1 Non-uniformly charged spherical

教材中有关于均匀带电球面场强分布情况的介绍[4],有些学生看到图1中的带电体是一个球面,往往会直接联想到用高斯定理求解均匀带电球面的解题方法,而忽略了此题中的一个关键因素:该物理模型是一个电荷非均匀分布的球面,电荷面密度明确告知是一个变量——σ是θ的函数,即球面上不同θ位置处的电荷在球心O处产生的场强不同。因此,无法通过做高斯球面的方法求出电场强度E的大小和方向,对于变量问题只能用微积分的方法来求解。

不同的物理模型之间还有一定的关联性,如图1和图2,教师在教学中要有意识地引导学生去探究和梳理它们彼此之间的这种关系。图1中的球面虽然整体带电是非均匀的,但如果将球面分割成无穷多个与x轴垂直的细圆环,就可以得到电荷均匀分布的微元:由于同一圆环上各点对应θ相同,电荷面密度与θ位置有关,可以推断出每一个圆环上电荷均匀分布。因此,此例非均匀带电球面在球心O处场强可以归结为任意分割的均匀带电圆环在中轴线上一点场强的累积,这样就找到了这两种物理模型之间潜在的联系,同时也找到了应用微积分解决该物理问题的突破口。

图2 均匀带电圆环Fig.2 Uniformly charged ring

2 明确坐标系及微元选取规则,领悟微分、积分辩证关系

成功运用微积分方法解决物理问题的关键步骤是合理地构造微元以体现元过程、元作用和元贡献[5],因此坐标系和微元的选取非常重要,并且先微分后积分才能顺利完成整个解题过程。

2.1 坐标系的选取

由图1中带电体模型电荷分布关于水平方向对称这一情况可知,场强方向应该是沿对称轴从正电荷到负电荷,因此在坐标系选取时宜以球心为原点,以水平向右为x轴方向。这样建立坐标系之后,O点场强方向也就可以确定为沿x轴负方向,各物理量的几何关系也就从坐标中明晰可见。

2.2 微元的选取

静电场中带电体从几何描述上有线分布、面分布、体分布3种类型,坐标系的选取有一维、二维、三维之分,微元的选取则包含了线元dl,面元dS,体元dV 3种方法,归结到电荷元的表达式分别为:dq=λdl,dq=σdS,dq=ρdV(λ为电荷线密度,ρ为电荷体密度)。此例中微元选取规则是:将球面沿竖直方向分割为无穷多个半径为r、宽度为dr的圆环,微元即面元dS=2πrdr,电荷元dq=σdS。结合几何关系分析,圆环半径r=Rsinθ、圆环宽度dr=Rdθ,相应的电荷元为: dq=σdS=σ0cosθ2πR2sinθdθ。

根据教材[4]可知,半径为R、带电荷为q均匀带电细圆环,其中轴线上距环心x处一点的场强为:通过类比的方式可写出任一半径为r、带电量为dq的分割竖直圆环在球心O (距环心x处)产生的元场强(ε0为真空介电常数)。

2.3 微分和积分的辩证关系

微积分方法是一种辩证的思想方法,其精妙之处就在于包含了近似与精确、有限与无限、局部和整体的对立统一。此例中先要用微分法对带电球面进行空间上的分割并取微元dS,在取好微元写出元物理量dE之后,接着再用积分法把无限个小微元进行求和,把局部范围内的结果累积起来,最终得到问题的处理结果。

3 统一积分变量,确定积分上下限

大学物理中的微积分应用往往结合具体的物理模型,主要是定积分的应用,在具体积分过程中,还需要掌握统一积分变量、确定积分上下限的技巧。

上面式子中涉及q、x、r三个变量,必须通过公式转化为一个变量,并确定积分的上限和下限,才能得出最后的积分运算结果。根据几何关系: x=Rcosθ,r=Rsinθ,以及上面的电荷元公式: dq=σds=σ0cosθ2πR2sinθdθ,确定最终的统一变量应该是θ,即垂直圆环上一点到球心O的连线与x轴正方向夹角。代入元场强公式化简得到:

在积分之前还要注意到:由于场强是矢量,需要考虑其方向性。注意到此式中的微元是圆环面而非点电荷,元场强是套用均匀带电圆环中轴线上一点场强公式而非点电荷场强公式,元场强的方向已经保持沿x轴方向的一致性,因此无需分解便可直接积分(如果是线分布带电体套用点电荷场强公式,则需要对元场强进行分解)。

从图1中可看出积分上下限分别为0和π,最后积分可得环心O处场强大小:

4 注意矢量法在微积分中的应用

在用微积分求解大学物理问题过程中,对矢量法必须加以重视,尤其是矢积和标积的运算规则,很多学生容易忽略。矢积:大小|a×b|=abcosθ,方向用右手定则判定;标积:a·b=absinθ(θ是a与b的夹角)。如大学物理中的动生电动势公式:就是一个很好的综合运用矢积和标积的例子。

根据上述运算规则将动生电动势公式展开:

其中:α是速度v与磁感应强度B的夹角;β是(v×B)与线元dl的夹角。这样展开之后,结合具体图例,积分式中的每一个量便可清晰判断。

以直导线在非均匀磁场中切割磁场线运动为例。如图3所示,一直导线cd在一无限长直电流磁场中沿水平向右方向以速度v作切割磁场线运动, cd长为L,求动生电动势。

在直导线cd上任意选取坐标为x处的线元dl为微元,写出元电动势:

图3 直导线在非均匀磁场中做切割磁场线运动Fig.3 A straight wire cutting magnetic feld lines in non-uniform magnetic feld

很显然,从图3中不难看出:速度v与磁感应强度B的夹角α为90°,(v×B)与线元dl的夹角β与θ互余。可得:

可确定积分上下限对应为c、d两点距原点的距离,即a和a+Lcosθ。最后积分得到动生电动势:

需要提醒学生注意的是:感应电动势虽然属于标量,但却和感应电流一样具有方向,根据公式可判定沿(v×B)方向,从c端(低电势)指向d端(高电势)。

5 将微积分和矢量法与其他物理科学方法结合

物理概念和规律只有通过科学方法的参与,才能上升为知识形态,不仅如此,物理理论的应用同样需要科学方法的参与[6]。任何一个物理定律或理论都是多个科学方法共同作用的结果,各个科学方法彼此之间要相互支撑、相互融合,并使科学方法教育和知识教学有机融合起来,才能达到优化整体教学效果的目的。微积分和矢量法应用作为大学物理教学主线之一,还应该与等效法、补偿法、对称法、类比法等其他科学方法有效结合起来。如下例体现了微积分矢量法和等效法的有机结合。

一半径为R的带电圆环由两部分组成:左四分之一圆弧电荷线密度为-λ,右四分之一圆弧电荷线密度为+λ,如图4所示,求环心O处的场强和电势。

图4 正负四分之一带电圆弧Fig.4 Positively and negatively charged fourth quarter circular arc

(1)求环心O处场强。结合等效法,根据场强分布特点可知:该带电圆环在O点产生的场强等效于一个正二分之一圆环(位于一、四象限,如图5(a))或一个负二分之一圆环(位于二、三象限,如图5(b))在O点产生的场强。

图5 正负四分之一带电圆弧的等效图:(a)位于一、四象限内的正二分之一圆环;(b)位于二、三象限内的负二分之一圆环Fig.5 The equivalent fgure of positively and negatively charged fourth quarter circular arc:(a)A Positively charged half circle in the frst and forth quadrants;(b)A negatively charged half circle in the second and third quadrants

通过等效法,可以将此题简化为二分之一均匀带电圆环求解环心O处场强,积分思路得到简化。

以图5(a)中电荷线密度为+λ的二分之一圆环为例:首先以环心O为原点,水平和竖直方向分别为x轴和y轴方向,建立如图所示二维坐标系;在带电圆环上任取一电荷元dq=λdl;根据点电荷场强公式写出元场强由于场强是矢量,还需要考虑其方向性,这里需要用到对称性的思想方法来分析,场强沿垂直于对称轴方向的分量相互抵消,只有沿对称轴x方向的分量有贡献,即由几何关系可知dl=Rdθ,这样变量统一归为用θ来表示。确定积分上下限分别为圆环上下两端到环心连线与x正方向的夹角,即积分得

方向沿x轴负方向。

(2)求环心O处电势。考虑到该带电球面的电荷代数和为0,可以推断球心处电势的代数和应为0,即

这样,看似复杂的运算就变得非常简单而且易于理解了。

6 结语

学生只有将微积分与具体物理问题相结合,在解题过程中掌握微积分以及矢量的分析方法和技巧,并与其他物理科学方法有机结合,才能实现将微积分和矢量法从单纯的运算工具的使用提升为思想方法的综合运用,从而熟练地解决一些运用初等数学所解决不了的物理变量问题,理解大学物理和中学物理的区别和联系,提升学习大学物理的信心和兴趣,并形成良好的分析问题和解决问题的能力,为将来从事工程技术和科学研究奠定扎实的物理基础。

参考文献:

[1]黎定国,邓玲娜,刘义保,等.大学物理中微积分的思想方法浅谈[J].大学物理,2005(12):51-54.

[2]刘慧英.电磁学中应用微积分的易错问题探析[J].集美大学学报,2012,13(2):102-105.

[3]熊青玲.大学物理中关于矢量的应用问题探讨[J].希望月报,2008(3):14-15.

[4]王少杰,顾牡.新编基础物理学:下册[M].北京:科学出版社,2009.

[5]丁亚明,曹彦鹏,陈延德.对大学物理中微积分应用的认识[J].甘肃联合大学学报,2011,25(5):110-113.

[6]李正福,李春密,邢红军.物理教学中的科学方法显性教育[J].教育科学研究,2011(1):54-57.

The Investigation of Calculus and Vector Method Application in College Physics Teaching

TENG Qin,XU Ling,WU Luo
(School of Science,Shanghai Second Polytechnic University,Shanghai 201209,P.R.China)

Use of calculus solving physics problems is the emphasis and diffculty in college physics teaching.Combined with typical examples,it elaborates the application of calculus and vector method in engineering physics teaching,and thus summarizes the skills and means of applying calculus and vector method to analyze and deal with physical problems.

calculus;vector method;college physics

G642.4

A

1001-4543(2014)03-0223-05

2014-02-27

滕琴(1975–),女,江苏昆山人,副教授,硕士,主要研究方向为大学物理教学。电子邮箱tengqin@sspu.edu.cn。

上海市教委重点教改项目(No.1350JW130040)资助