αS-弱θ-加细子集与S-弱θ-加细和空间

吴昭鑫，张焰杰，曹金文

（成都理工大学应用数学系，成都610059）

1963年，Levine[1]引入和研究了拓扑空间中的半开集，后来一些空间按照半开集的方式被定义和研究[2-7].如：S-闭空间[4]、可数 S-闭空间[5]，仿 S-闭空间[6]等.本文在 S-弱 θ-加细空间[8]的基础上研究 αS-弱 θ-加细子集与S-弱θ-加细和空间的有关性质.对αS-弱θ-加细子集进行刻画，探讨其与有关集合及全集X的关系.本文中研究的空间均默认不满足分离性公理，除非事先说明.

1 预备知识

用cl（A）表示集合A的闭包，int（A）表示集合A的内部.在拓扑空间（X，T）中，用SO（X，T）表示X的半开集族，SC（X，T）表示X的半闭集族.

定义1[2]空间（X，T）的子集A称为g-闭集，如果当A⊆U，U∈T时，有cl（A）⊆U.

定义2[2]对于空间（X，T）的子集A、B，B称为A的半闭包，如果B是包含A的最小的半闭集.用scl（A）表示A的半闭包.

定义3[2]空间（X，T）的子集A称为Sg-闭集，如果当A⊆U，U∈SO（X，T）时，有scl（A）⊆U.

定义4[2]空间（X，T）的子集A称为θ开集，如果对每一x∈A，存在X的子集U∈T，使得x∈U⊆cl（U）⊆A.θ开集在X中的余集称为θ闭集.

定义5[2]空间（X，T）的子集A称为θS开集，如果对每一x∈A，存在X的子集U∈T，使得x∈U⊆scl（U）⊆A.θS开集在X中的余集称为θS闭集.

定义6[2]拓扑空间族（{Xα，Tα）：α∈I}满足对任意 α≠β，Xα∩Xβ=.空间（X，T）称为拓扑空间族{（Xα，Tα）：α∈I}的和空间，如果X=∪α∈IXα的拓扑为T={G⊆X：对任意 α∈I，G⊆Xα∈Tα}.记作

X=⊕α∈IXα

定义7[3]空间（X，T）称为弱θ-加细空间，如果X的每一开覆盖U具有开加细覆盖V=∪n∈NVn，对每一 x∈X，存在 n∈N，使得 1≤ord（x，Vn）＜ ω.如果上述条件加强为每一Vn都是覆盖，则称X是θ-加细空间.

定义8[8]空间（X，T）称为S-弱θ-加细空间，如果X的每一开覆盖U具有半开加细覆盖V=∪n∈NVn，对每一 x∈X，存在 n∈N，使得 1≤ord（x，Vn）＜ω.如果上述条件加强为每一Vn都是覆盖，则称X是S-θ加细空间.

定义9空间（X，T）的子集A称为空间（X，T）的αS-弱θ-加细子集，如果A的每一覆盖U={Uα：α∈I}（对任意α∈I，有Uα∈T）具有半开加细覆盖V=∪n∈NVn（对任意 V∈V ，有 V∈SO（X，T ）），对每一x∈A，存在 n∈N，使得 1≤ord（x，Vn）＜ ω.

引理1[2]对于空间（X，T）的子空间（A，TA）和子集 B，B⊆A，若 A∈T ，B∈SO（A，TA），则 B∈SO（X，T ）.

引理2[2]θS闭集⇒闭集⇒g-闭集.

引理3[2]对于空间（X，T）的开子集A和半开子集V，有A∩V∈SO（X，T）.

引理4[2]对于空间（X，T ）的子空间（A，TA）和子集B，B⊆A，若B∈SO（X，T），则B∈SO（A，TA）.

2 主要结果

定理1 S-弱θ-加细空间的每一g-闭子集是αS-弱θ-加细子集.

证明 设空间（X，T）是S-弱θ-加细空间，A是空间X的g-闭子集.令集族U={Uα：α∈I}（对任意α∈I，有Uα∈T ）是 A的一个覆盖，有 A⊆∪{Uα：α∈I}.由A是空间X的g-闭子集得c（lA）⊆∪{Uα：α∈I}.对任意x∉c（lA），存在开集Wx∈T，使得A∩Wx=.令集族H={Uα：α∈I}∪{Wx：x∉c（lA）}，则H是S-弱θ-加细空间（X，T）的一个开覆盖，因此H具有半开加细 V=∪n∈NVn，对每一 x∈X，存在 n∈N，使得1≤ord（x，Vn）＜ ω，其中 Vn={Vnβ：n∈N，β∈B}.对每一 β∈B，有 Vnβ⊆Uα(β)或者 Vnβ⊆Wx(β).令 B′={β∈B ：Vnβ⊆Uα(β)}，则有 Vn′={Vnβ：n∈N，β∈B′}和 A⊆∪（V ′=∪n∈NVn′），且对任意 V∈V ′=∪n∈NVn′，有V∈SO（X，T）.空间X的g-闭子集A的覆盖U具有半开加细覆盖V′=∪n∈NVn′（对任意V∈V′，有V∈SO（X，T）），对每一x∈A∈X，存在n∈N，使得 1≤ord（x，Vn′）＜ ω.因此 A 是空间（X，T ）的 αS-弱 θ-加细子集.

定理2 空间（X，T）的每一开αS-弱θ-加细子集是S-弱θ-加细的.

证明 设A是空间（X，T）的一个开αS-弱θ-加细子集，且为子空间（A，TA），令集族 U={Uα：α∈I}（对任意α∈I，有Uα∈TA）是A的一个覆盖.因为A是开 αS-弱 θ-加细子集，且对任意 α∈I，有 Uα∈TA⊆T，所以覆盖U有半开加细覆盖V=∪n∈NVn（对任意V∈V ，有V∈SO（X，T）），对每一 x∈A，存在n∈N，使得 1≤ord（x，Vn）＜ ω.取集族 VA=∪n∈NVn(A)，其中 Vn(A)={V∩A：V∈Vn}.对于子空间（A，TA），集族VA=∪n∈NVn(A)是覆盖U 的一个半开加细覆盖，对每一 x∈A，存在 n∈N，使得 1≤ord（x，Vn(A)）＜ ω.即得A是S-弱θ-加细的.

定理3 令空间（X，T）的子空间A是闭开的，那么A是αS-弱θ-加细的⇔A是S-弱θ-加细的.

证明 必要性：由定理2可以直接得出.

充分性：设集族U={Uα：α∈I}（对任意α∈I，有Uα∈T ）是 A 的一个覆盖，有集族 U′={Uα′=A∩Uα：α∈I}是 S-弱 θ-加细子空间（A，TA）的一个开覆盖，所以U′有半开加细覆盖W=∪n∈NWn，对每一x∈A，存在 n∈N，使得 1≤ord（x，Wn）＜ ω.其中：对任意W∈W ，存在某一 α∈I，使得 W⊆Uα′⊆Uα，即集族W=∪n∈NWn也是覆盖.根据引理1，对任意W∈W ，有W∈SO（X，T）.所以得到A的每一覆盖U={Uα：α∈I}具有半开加细覆盖W =∪n∈NWn（对任意W∈W ，有W∈SO（X，T）），对每一x∈A，存在n∈N，使得 1≤ord（x，Wn）＜ ω.即得 A 是 αS-弱 θ-加细的.

推论1 S-弱θ-加细空间的每一闭开子空间是S-弱θ-加细的.

证明 显然，闭开集是g-闭集，由定理1～定理3易得.

定理 4 T2空间（X，T ）的 αS-弱 θ-加细子集是θS闭集.

证明 假设A是T2空间（X，T ）的 αS-弱 θ-加细子集，x∉A.对任意y∈A，存在开集Uy，使得y∈Uy和x∉cl（Uy）.因此集族U={Uy：y∈A}是X的αS-弱θ-加细子集A的一个开覆盖，故U 具有半开加细V=∪n∈NVn（对任意 V∈V ，有V∈SO（X，T ）），对每一 x∈A，存在 n∈N，使得 1≤ord（x，Vn）＜ ω.令集合 W={V：V∈V}，W′=X-cl（W）.故有 W∈SO（X，T ），W′∈T 和 x∈W′⊆scl（W′）⊆X-A.所以X-A是θS开集.即得A是θS闭集.

推论2 对于S-弱θ-加细的T2空间（X，T）和X的子集A，有以下等价的叙述：

（1）A是X的αS-弱θ-加细子集；

（2）A是θS闭集；

（3）A是闭集；

（4）A是g-闭集.

证明 由定理1、定理4和引理2易得.

命题1 对于空间（X，T）的Sg-闭子集A和任意子集B，如果A是αS-弱θ-加细子集，且A⊆B⊆scl（A），则B是X的αS-弱θ-加细子集.

证明 设集族 U={Uα：α∈I}（对任意 α∈I，有Uα∈T）是B的一个覆盖，因为A⊆B，则有U也覆盖A.由A是X的αS-弱θ-加细子集，U具有半开加细V=∪n∈NVn（对任意V∈V ，有V∈SO（X，T ）），对每一 x∈A，存在 n∈N，使得 1≤ord（x，Vn）＜ ω.由 A是Sg-闭子集，有A⊆B⊆scl（A）⊆∪{V：V∈V}，即集族 V= ∪n∈NVn（对任意 V∈V ，有 V∈SO（X，T ））覆盖B.容易得到对每一x∈B，存在n∈N，使得1≤ord（x，Vn）＜ ω.即得 B 是 X 的 αS-弱 θ-加细子集.

命题2 对于空间（X，T ）的子集A、B，A⊆B，B∈T ，则A是子空间（B，TB）的 αS-弱θ-加细子集⇔A是X的αS-弱θ-加细子集.

证明 必要性：易得.

充分性：由A是X的αS-弱θ-加细子集，有A的覆盖 U={Uα：α∈I}（对任意 α∈I，有 Uα∈T ）具有半开加细V=∪n∈NVn（对任意V∈V，有V∈SO（X，T ）），对每一x∈A，存在 n∈N，使得1≤ord（x，Vn）＜ω.由引理3和引理4，A在子空间（B，TB）的覆盖U′={Uα∩B：α∈I}（对任意 α∈I，有 Uα∩B∈TB）具有半开加细 V ′=∪n∈NVn′（对任意 V′∈V ′，有 V∈SO（B，TB）），对每一 x∈A，存在 n∈N，使得 1≤ord（x，Vn′）＜ ω.其中 Vn′={V∩B：V∈Vn}.

定理5 和空间⊕α∈IXα是S-弱θ-加细的⇔对任意 α∈I，空间（Xα，Tα）是 S-弱 θ-加细的.

证明 必要性：由和空间的定义，对任意α∈I，Xα在和空间（X，T ）中是闭开的.由推论 1，S-弱 θ-加细空间 X= ⊕α∈IXα的闭开子空间（Xα，Tα）α∈I是 S-弱θ-加细的.

充分性：令集族U是和空间⊕α∈IXα的一个开覆盖，则对任意 α∈I，集族 Uα={U∩Xα：U∈U}是 S-弱θ-加细空间（Xα，Tα）的一个开覆盖.故对任意 α∈I，Uα在空间（Xα，Tα）有半开加细覆盖 Vα= ∪n∈NV(αn)，对每一x∈Xα，存在n∈N，使得1≤ord（x，V(αn)）＜ω.令V=∪α∈IVα，根据引理1，对每一V∈V ，有V∈SO（X，T），且显然V是开覆盖U 的加细覆盖.即X的开覆盖U有半开加细覆盖，对每一x∈X，存在n∈N和α∈I，使得1≤ord（x，V(αn)）＜ω.定理得证.

[1]LEVINE N.Semi-open sets and semi-continuity in topological spaces[J].Amer Math，1963，70：36-41.

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[5] 汪火云.关于可数S-闭空间[J].华东交通大学学报，1999，16（1）：60-63.

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[8] 吴昭鑫，张焰杰，杨思鑫.S-弱θ-加细空间[J].佳木斯大学学报：自然科学版，2013，31（4）：609-611.