高等代数教学的思考*

2014-02-12李秀英

通化师范学院学报 2014年4期

李秀英，郭友

(通化师范学院数学学院，吉林通化134002)

高等代数是高等院校数学与应用数学专业的一门基础课，其内容抽象，逻辑性强.它是中学代数的继续与提高，但与中学代数又有很大的不同.这种不同不仅表现在内容的深度上，更重要的是表现在观点和方法上.学生在学习高等代数的过程中，普遍认为概念抽象难懂，即使听懂了基本内容，往往也对习题无从下手.下面结合笔者讲授高等代数的教学实践，谈谈教学体会.

1 加强基本概念的教学

高等代数的概念较多，也十分抽象，必须牢固掌握概念的确切定义，才能把握概念的本质.如行列式与矩阵的概念极易引起学生混淆.教学中，要向学生强调尽管这两个概念形式看似相似，但其实质不同.数域P上的n级行列式等于所有取自不同行、不同列n个元素的乘积的代数和，其实质是一个数；但一个m×n矩阵是由mn个数排成的m行n列的表，其实质是一个表；另外表示方法也不同，行列式用||，矩阵用()或［］表示.又如线性空间是学生遇到的第一个用公理化语言定义的抽象概念，但线性空间正是解析几何中向量概念的一般化.以学生熟知的例子为基础引入新概念，学生易于接受.同时通过练习使学生知道定义中的加法未必是普通的数的加法，只是一种运算把它定义为加法，数量乘法也是如此，以及零向量的真正含义等.再如子空间的引入，“如果W对于V的两种运算构成数域P上的线性空间，那么数域P上线性空间V的一个非空子集合W称为V的一个线性子空间(或简称子空间)”，经过分析这个定义可简化为“如果W对于V的两种运算是封闭的，那么数域P上线性空间V的一个非空子集合W称为V的一个线性子空间(或简称子空间)”.子空间的定义体现了研究代数对象-线性空间的一种数学方法.它可以平行推广到欧氏空间、近世代数中的群、环等概念中，以此方法定义欧氏空间的子空间、子群、子环等，这就是子代数思想方法.所谓子代数就是代数系统的非空子集关于该代数系统的运算也作成相同的代数系统.学生掌握了这种定义方法，能把握住概念的实质，并能灵活运用.

2 结合现代化教学手段教学

现代化教育技术在教学中的应用是教学改革的一个热点.在高等代数课程教学中，将传统的课堂讲授教学与现代化的教育技术相结合，教学效果更好.多媒体教学是一种全新的教学方式，给学生以“耳目一新”的感觉，而这种全新的教学模式，让学生在课堂上更能集中注意力，更具有急迫感.行列式、线性方程组与矩阵是高等代数的基本内容，但单纯用传统的教学方式讲授以上内容，板书十分复杂，可结合多媒体课件辅助教学.如行列式性质、矩阵运算等的教学，结合课件演示，一方面节省了板书的时间，另一方面也使教学内容达到了直观的效果，形式的改变使学生有新鲜感，也激发了学生的学习兴趣.此外，教学中可将数学软件Maple引入教学.Maple是加拿大滑铁卢大学(University of Waterloo)和Waterloo Maple Software公司注册的一套为微积分、线性代数和微分方程等高等数学使用的软件包，它是当今世界上最优秀的几个数学软件之一.Maple的线性代数库可提供丰富的代数运算指令，几乎可以完成高等代数中的各种运算，为高等代数的学习和教学提供了强有力的工具.引导学生运用Maple解决高等代数问题，一方面巩固了基础知识，另外学生通过上机实践，提高了实践能力，为数学建模打下良好的基础.

3 善于总结数学思想，加强与其它课程的联系

数学思想方法是数学知识与基本方法的概括与升华，是数学理论的最高体现，是数学知识结构的精髓.日本数学教育家米山国藏说：“即使学生把所教的知识(概念、定理、法则和公式等)全忘了，铭记在他心中的数学精神、思想和方法却能使他终身受益”.因此，高等代数教学中渗透相应的数学思想，对提高学生数学思维能力和培养学生数学素养有重要作用.同构思想是代数学中重要而常见的思想，两个代数系统之间若能建立一个同构映射，即保持所有运算的一一对应，则称这两个代数系统同构.两个同构的代数系统的运算性质是完全一样的.“数域P上两个线性空间V与V′称为同构的，如果由V到V′有一个双射 σ，具有性质：①σ(α +β)= σ(α)+σ(β).②σ(kα)=kσ(α).其中 α，β 是V中任意向量，k是P中任意数.这样的映射σ称为同构映射.”在学习了线性空间同构的定义之后总结同构的思想，对学生后面学习欧氏空间的同构大有益处，学生接受起来十分自然.同时，同构思想可平行运用于后续课近世代数中，定义群同构与环同构.而群同态、环同态是群同构与环同构的推广.同构思想的渗透为后续课的学习打下了良好的基础.又如多项式的整除理论与初等数论中整数的整除理论相平行，线性方程组解的结构理论与常微分方程中线性微分方程组解的结构理论相平行.因此，教学中渗透类比的思想方法有助于学生知识体系的培养和形成.

4 注重习题课的教学

习题难解是学生学习高等代数的普遍困惑.教学中通过习题课巩固和强化基础知识，使学生掌握分析问题、解决问题的思路与技巧，十分重要.行列式是高等代数的重要工具，行列式的计算是行列式理论中的重要问题，学习行列式性质之后，结合例题总结计算行列式的各种基本方法，如化三角形法、逐行(列)相加减法、拆成几个行列式法、递推法等.学生掌握了计算行列式的基本方法，收到了良好的教学效果.又如，初等矩阵与初等变换有密切关系.“对一个s×n矩阵A作一初等行(列)变换就相当于在A的左(右)边乘上相应的s×s(n×n)的初等矩阵”.这种对应有“左行右列”特点，其对应关系在矩阵论中有重要作用.为了计算方便，可转化矩阵乘法为矩阵的初等变换，为了定量分析和理论推导，又可转化矩阵的初等变换为矩阵乘法.另外，线性变换与矩阵有密切关系，解题中应充分掌握好二者互化的思想方法.凡涉及线性变换及与之相关的问题，可转化为矩阵问题，用矩阵工具解决.反之，凡只涉及矩阵运算的有关矩阵问题，可考虑转化为线性变换及有关的问题，用线性变换的理论予以解决.通过习题教学，使学生体会并掌握它们之间的相互转化.总之，高等代数习题教学中，挖掘解题技巧与方法，使学生触类旁通，可以提高学生的解题能力.