“教什么”和“怎样教”都重要

聂艳军

（邳州市教育局教研室 江苏 邳州 221300）

《义务教育数学课程标准》在“课程实施建议”部分强调：“数学教学活动要注重课程目标的整体实现”，并指出：“在日常的教学活动中，教师应努力挖掘教学内容中可能蕴涵的、与四个方面目标有关的教育价值，通过长期的教学过程，逐渐实现课程的整体目标。”课程目标的整体实现，是衡量学生获得良好的数学教育的重要指标；整体实现课程目标，既要深入探寻教材内容背后的教育价值，思考“教什么”的问题，又要精心设计有利于目标整体实现的教学方式，思考“怎样教”的问题。

一、教什么——深远谋划“把学生带到哪里去”

“教什么”，意味着教师准备在课堂上选择做哪些事情并为此努力，体现教师的教学诉求。在一节课中，学生将得到怎样的发展，这是我们进行教学预设首先要考虑的。

以知识为中心的数学教育过度追逐数学的工具性价值，数学教材原本具有的丰富意蕴被简化为数字、符号、公式、规则、程序的组合。对数学的如此认知和理解，切断了数学文化中知识性成分和观念性成分的内在联系，窄化了数学教材的文化内涵，使得数学课堂以“去情境”和“去过程”为特征，把生动的数学知识变成单调刻板的条文让学生去记忆和背诵，数学本该拥有的文化气质被剥落。

原江苏省教研室主任郑君威先生说过：“数学教学的任务：一要讲清‘是什么’，即数学概念、定理、法则表述要清晰，准确到位地把握内容的数学本质。二要讲清‘为什么’，知识是依靠数学思维和数学思想方法联系起来的，要重视引导学生感悟知识之间的联系。三要讲清‘还有什么’或‘能怎样’，即重视引导学生反思。”郑先生的话给我们思考“教什么”以无限的启迪。

以文化育人为价值取向思考“教什么”，最根本的是对学科本质的把握和领悟。就数学而言，某个具体内容的数学本质既表现为隐藏在客观事物背后的数学知识、数学规律，又表现为隐藏在数学知识背后的本质属性，还表现为统摄具体数学知识与技能的数学思想方法。以此为观照，在数学教学中，“教什么”具体表现为：对基本数学概念的理解，对分类、转化、数形结合、模型、归纳等数学思想方法的感悟以及对类比、抽象、猜想等数学特有思维方式的把握，还有对数学美的鉴赏和对理性精神的追求等。

以“平行四边形面积计算”为例，对数学内容的理解，有“工具性理解”和“关系性理解”两种模式。工具性理解是“只知道是什么，不知道为什么是”；关系性理解是对数学对象本质的把握，“不仅知道做什么，而且知道为什么这样做”。学生在上课之前对平行四边形面积计算的“能”与“会”，大都是属于工具性理解，因此，通过课堂学习，要实现学生由“工具性理解”到“关系性理解”。由此，“理解、掌握、会运用”应当成为“教什么”的主要构成内容。

从文化的角度看，数学离不开历史的沉淀过程，这一完整的过程至少包括感知、交流、反思、沉淀等阶段。教学平行四边形面积计算，理应通过与数学文化沉淀过程相适应的教学方式的构建，使学生探索数学的同时，领悟数学特有的思维方式。

平行四边形面积公式的教学同样具有“教化”功能，比如数学探索过程中的开拓与超越，公式推导过程中的严谨与自律等，借助数学自身所拥有的深沉的文化力量培育数学精神品格，孕育良好的学科情怀，也是教材赋予数学课堂教学的使命。

基于以上思考，本节课教学诉求（教什么）定位在：

使学生通过经历“是什么—为什么是—怎么用”的研究过程，理解并运用平行四边形面积计算方法，体会数学知识之间的内在联系，感悟研究的一般方法。使学生充分经历猜想、验证、转化、推理的思维过程，进一步发展数学思考能力，初步感悟数学思想方法。

二、怎样教——精心设计“怎样把学生带到那里”

“怎样教”，意味着教师要考虑在课堂上如何更好地完成教学任务，反映教师的教学路径。为了整体实现课程目标，教师不仅要思考“教什么”的问题，还要对“怎样教”做出精致的规划。

1.发端于学生的经验与需求

学习是学生在特定情境下由于经验所引起的行为或思维的比较持久的适应性变化，学习的发生是受特定情境下所激活的经验的影响。教学的本义是通过教引发、引导并促进学生的学。离开了学生和学生的学，教便失去了存在的意义。联系教学的本义，我们便能够真正理解并认同“教学应基于学生的现实与需求”这一观点。

（1）基于学生已有的知识经验

考虑到学生认知发展的阶段性，教材中的数学知识都是循序渐进、螺旋上升地编排的。每一节课新学习的知识总是在以往知识的基础上发展起来的。为了帮助学生建立科学合理的认知结构，教师在教学设计中要分析并利用学生已有的知识经验，促进新知识的生长和形成。

（2）基于学生的生活经验

弗赖登塔尔认为，“数学是系统化了的常识。”小学数学中许多概念所蕴含的数学思想是朴素的，基本上都源于学生的生活经验，有丰富的“生活概念”。因此，学生的实际生活经验影响、制约并促进学生对新知的理解。关注、激活并巧妙地利用学生的生活经验，会使学生觉得新知识是生活中曾经遇到过的、感受过的，心理上容易接纳，认知上容易理解。学习“11—20各数的认识”时，理解并建立计数单位“十”的概念，始终是学生难以跨越的坎。一位教师教学这节课，选取低年级学生熟悉的教室里“比比谁最棒”评比栏作为素材，创设数数情境，通过“笑脸贴满了，如果再贴怎么办呢？”问题设计，有效激活学生已有的“用获得的笑脸换成一个更‘高级’的奖品”的生活经验，将10个笑脸换成1个大拇指的素材，为理解抽象的“10个1可以换成1个10”提供了生动的生活原型。

（3）基于学生内在的心理需求

学生的心理需求是其维持学习活动、朝向一定学习目标的动力倾向。数学知识的学习通常源于这样一种需要：或是因为解决问题时，原有的知识或方法无法满足需求，需要一种新的知识、方法介入；或是因为原来的方法过于繁琐和不便，需要一种更为简洁的方法介入。教师应通过创设新的问题情境，引发学生的认知冲突，产生“创造”新知识、新方法的愿望和动力。教学“用数对确定位置”时，我们设计“说位置,找朋友”的游戏，让学生在实际场景中描述自己朋友的位置，然后再来猜。由于学生都是用自己的方式确定位置，容易引发学生的认知冲突，从而体会到原有确定位置方法的局限性，为新知的学习注入动力。在学生感到用第几列第几行的方法表示一个同学的位置比较准确、简便时，我们引导学生用这种方法记录几个同学的位置，但由于教师较快的语速，学生无法记录下来，于是引出问题：“没有记录下来，除了老师报得快还有没有别的原因？”学生意识到既有方法的繁琐和不便，自然而然地想到对原有记录进行改进和优化。

2.关注儿童的经历与体验

数学课程标准基于数学课程目标，使用了“经历”“体验”“探索”等刻画数学活动水平的过程性目标动词，这些数学活动是达成结果性目标（基本数学知识的理解）的载体，但其本身也是引导学生感悟数学思想方法、积累数学活动经验的重要途径，因而也应成为数学课程追求的目标。

（1）遵循儿童认识事物的一般规律

数学教学，就是儿童、教师、数学之间在课堂场域的真实相遇。儿童世界，更多地充满着经验、直观、形象；而数学，无论怎样改造，其价值都指向理性、抽象、形式化。化解这一矛盾的有效路径：教学从直观入手，沿着儿童认识事物的一般过程展开。

教学“两位数加两位数笔算（进位）”，教师出示主题图，在学生理解图意、列出算式后，引领学生经历算法建构过程：

动手操作。教师要求学生取出学具进行操作，探索算式结果。

建立表象。学生操作后，教师组织学生交流算法，并引导学生思考：计算34+16，有的小朋友选择的是在计数器上拨算珠，有的小朋友选择的是摆小棒，用的学具不一样，但他们都有一个“换”的动作，他们是怎样换的？为什么都要换？

建构模型。教师让学生将34+16写成竖式，引导学生观察并提问：你认为在笔算34+16的时候，需要像我们操作时那样“换”吗？怎样“换”？

小学生学习抽象的数学概念，一般是循着“感知——表象——抽象”的认知历程。如何让学生掌握抽象的笔算方法？教师引导学生先通过操作进行动作思维，然后由言语叙述操作要领建立起概念的表象，最后联系竖式计算促成儿童摆脱具体事物的束缚，顺利地向抽象思维过度，实现“满10进1”的模型构建。

（2）突出数学知识的本质

学生经历不同的认知过程，对知识的理解就会达到不同的水平。当我们的教学是单纯教“定义”时，其认知过程是模仿、记忆与强化训练，学生对知识的理解可能只处于“工具性理解”水平。学生只有经历了解知识产生的必要性，充分感知、体验知识发生、发展、沉淀的过程，把握知识之间的本质联系，才能创造性地应用知识。

以“用字母表示数”为例，代数的发展历史告诉我们：字母表示数的过程，不是字母替代文字的过程，而是具体数量符号化的过程。换言之，用字母表示数，不是因为不知道这个数量是多少，而是因为这个已知的数量在不断的变化中，因而用字母来概括地表示它。有很多教师这样教学：摆1个三角形用3根小棒，摆2个三角形用6根小棒，摆3个三角形、4个三角形呢?摆5个三角形呢？摆n个三角形呢?进而引出用字母表示的表达式“n×3”。课堂进行得很顺利，学生貌似没有什么不懂的，但是学生既没有体会到用字母表示的必要性，也没有理解字母的符号概括作用。对此，我们根据数学文化的沉淀阶段理论，引导学生在不断反思中逐渐提升对字母表示数的感悟层次。

体验。课件演示用小棒摆三角形，要求学生说出小棒根数。在学生回答“摆两个三角形用6根小棒”时，教师引导学生认识到此种摆法可以写成“3×2”根。之后，给一段时间比一比：哪个同学这样的算式写得多？待学生纷纷停笔不写的时候，再引导学生思考：怎样用一个式子把已经写的和还没有写的算式都包括进来？这时引出“3×a”的写法。

反思。在学生体验上面“3×a”中的“a”是个有魔力的字母，可以代表无数个数后，教师引领学生反思：这里的“a”还表示特定的未知数吗？并讨论“a”不可以表示什么数，进而沉淀这样一种认识：字母不仅可以表示特定的未知量，还可以表示变化的已知量。

运用。设计“编故事”练习，故事的主角是“c×4”。教师先作个示范，之后学生用c代表各种数量，说出“c×4”的意思。通过只要两个量有4倍关系的，都被概括在“c×4”里，让学生进一步体会“用字母表示数”的概括性。

（3）体现研究的一般过程

“数学教学不仅要关注“是什么”和“怎样做”，还应该引导学生探究“为什么”，通过给学生一个模式，带领学生经历从现象到本质的探究过程，让学生知道怎样思维，掌握作为一种“非言语程序性知识”的思维。

华应龙老师执教《圆的认识》一课沿着“是什么——为什么——怎样做——为什么这样做——一定这样吗”线索安排教学结构，可以给我们启示。在这节课上，华老师首先创设小明“寻宝”情境，在思考与尝试中知道宝物所在的位置是个圆，初步体会“圆是到定点距离等于定长的点的集合”。接着，围绕“为什么宝物所在位置就形成圆呢？”通过与正多边形对比研究，再一次感悟圆之所以为圆的关键是所有半径都相等，顺理成章引出“怎样画圆”的研究。在总结画圆的方法之后，教师组织学生讨论“用圆规就能画出一个圆，为什么？”“如何在篮球场上画一个更大的圆？”感悟画圆不在于是否必须用“规”，而在于必须满足“到定点的距离等于定长”这一圆的本质。整节课以数学知识为载体，但谋篇布局又超越数学知识、研究方法层面。在这样的数学课堂里，知识的习得、方法的理解、意义的建构、美感的体验相互交织，实现了完美的统一。

3.读懂儿童的真实思维

教师作为成人的代表，其生活经验、思维方式、知识储备等，都与儿童存在质的不同，这就构成教学的又一对矛盾。解决这一矛盾的有效策略是寻找儿童思维与“教师思维”的连接点。

（1）倾听儿童思维

蒙台梭利认为“我们成人习惯于用自以为是的方法来解释孩子的行为，用自以为正确的方式来对待孩子，这不仅造成学校教育的偏差和整个教育体制的误导，更导致社会采取了一连串完全错误的行动”。教学中，应多给学生解释自己想法的机会。只有了解儿童的真实思维，才能选择适当的时机和方式“介入”。

（2）顺应儿童思维

儿童的数学学习是他们利用已有的知识与经验对新知赋予意义的过程。因此，在知识的客观意义上，儿童的认识可能出现“不合理性”，甚至是错误的，但在儿童已有的知识经验和新知识间却是自洽的、“合理的”。顺应儿童思维，就要善于发现儿童思维的合理性，尊重儿童的思维方式，不奢望学生的认识一步到位，如“两位数加两位数笔算（不进位）”教学中出现的从高位算起现象；顺应儿童思维，还要善于琢磨儿童认知提升的障碍在哪里，通过采取针对性措施，引导儿童在旧知经验和新知之间实现“好的”平衡，如“多位数减法笔算”中的“大减小”现象。简而言之，顺应儿童思维的内核是实践据学而教的课程理念。

（3）提升儿童思维

建构主义虽然强调学生已有的经验对数学学习的影响，但学生的经验毕竟是原始的、粗糙的，甚至夹杂着错误；学生的经历和体验，所获得的认识也可能是感性、零碎的，因而教师的引导、提升对于学生的数学学习总是不可或缺的。在情境激活学生已有经验的基础上，应通过“二度建构”将主观经验进一步明晰化、精致化、系统化；在经历数学探索、获得感性认识的基础上，应及时引导学生将自己所做的过程置于被思考地位上加以审视，将活动中获得的经验加以概括、提升和内化。▲

[1]李新.重视概念形式，渗透思想方法——《倍数和因数》教学设计与思考[J].教育研究与评论，2013（6）：54-59.

[2]金雪根.抓住本质突出主线促进发展——例谈关注数学学科本质的课堂教学[J].小学数学教师，2011（7-8）：87-98.

[3]蔡宏圣.和谐：小学数学教学设计的新视角[J].课程·教材·教法，2007（8）：37-41.

[4]蔡宏圣.儿童基点数学视野[J].小学教学：数学版,2010(9)：8-10.