数学教育：在哲学思想牵引下自由呼吸

汪树林

（如皋市东陈镇丁北小学 江苏 如皋 226571）

数学是人类认识世界的一门科学，闪烁着人类思想的光辉。数学和哲学有着内在渊源，哲学以其博大之胸怀容纳着数学理论，数学以其深刻之思想丰富着哲学宝库。好的数学教育必须依靠好的数学哲学观和方法论。故而，教师应该而且必须研究数学哲学，善于从哲学视角反思并追问数学和数学教育。一如数学家德莫林斯（B.Demollins）所说，“没有数学，我们无法看透哲学的深度，没有哲学，我们也无法看透数学的深度；而若没有两者，我们就什么也看不透。”[1]让我们揭开哲学的神秘面纱，期盼着数学和数学教育在哲学思想牵引下自由呼吸！

一、哲学视角：数学教育的问题追问

数学教育哲学化追问首先是教师对“数学观”“数学教育价值观”的追问。诚如法国数学家托姆（R.Thom）所说，“事实上，无论人们意愿如何，一切数学教学法根本上都出于某一数学哲学，即便是很不规范的教学法也是如此。”[2]类似地，英国数学家斯根普（R.Skemp）指出，“我先前总认为数学教师都是在教同样的学科，只是一些人比另一些人教得好而已。但我现在认为在‘数学’这同一个名词下所教的事实上是两个不同的学科。”[3]美国数学家赫斯（R.Hersh）也曾说过，“问题不在于教学的最好方式是什么，而在于数学到底是什么，如果不正视数学本质问题，便永远解决不了教学上的争议。”[4]

问题一：教师“数学观”的缺失

在数学教师心中，“数学哲学”“数学观”这类话题离实践太远。如在“数学观”调查中，有教师直言：“我不知道什么是数学观，我也不知道我的数学观是什么，但我几乎可以肯定，这些东西与我的教学工作没有任何关系。”许多教师对数学哲学极为陌生，认为“数学观”问题纯粹是一个“玄学问题”。还有教师持有某些畸形、空泛的数学观，认为“数学就是解题”等。

何谓数学？或许我们未曾对之进行认真思索，但“数学观”却犹如一只“看不见的手”牵引着我们。当我们遭遇数学问题时，我们往往需要做出决策，这时一种被称为“观点”或“主张”的“隐蔽观念”就会不自觉地左右我们的行为，帮助我们决策、选择。其实，这就是“数学观”的雏形。

问题二：教师“数学教育观”的缺席

国家课标制定组曾对200名中小学数学教师做过一项调查，调查问题是：当你看到“数学”这个词时你首先想到什么？调查结果是：76%的人想到计算、公式、法则；20%的人想到烦、枯燥、没意思；只有4%的人回答数学使人聪明、有趣、有用。

“学数学有什么价值？”许多教师告诉学生“数学学习很重要、很有用”，但到底有何用途又说不清楚。以至于学生走上社会后认为，“学数学除了应付考试外没任何价值”，“学数学知识只要有了小学水准，够应付日常生活就足够了”。

数学究竟是什么？数学教育应当追寻什么？这不仅指涉数学本体，更指向数学教育！

二、哲学思索：数学教育的价值追寻

哲学视域中追寻数学教育价值首先是追问“数学观”，即“何为数学”。其次是追问“数学教育观”，即“数学何为”。如此发问将有助于我们澄明并敞亮数学和数学教育之本性、本然，并在此澄明中进行哲学化教学实践，即在哲学观牵引下思考“怎样去进行数学教学”。[5]

（一）数学本体的哲学意蕴——追问“何为数学”

1.历史掠影

“何为数学？”中国古代数学观认为，数学是“技法之术”“济世之术”“问题解决之器”，是归纳性、方法性的模式之学，其代表作是《九章算术》。在古希腊，哲学家毕达哥拉斯认为“万物皆数”，柏拉图将数学看作“理念外化”，认为数学是“知性之学”（介于感性和理念之间）。希腊数学重逻辑、演绎，有形上倾向，其代表作为《几何原本》。近现代以来，数学的哲学化定义更是层出不穷，如笛卡尔认为“数学是一个知识工具”；罗素认为“数学就是逻辑”；恩格斯认为“数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学”；维特根斯坦认为“数学是一种特殊的语言”；弗赖登塔尔认为“数学是系统化的常识”；斯托利亚尔认为“数学是一种活动”；等等。[6]

2.哲学思辨

数学观是人们对数学总的看法，即对数学本源、本质和发展的认识。哲学家的“数学观”建基于各自的哲学立场。自古希腊以来，西方哲学有经验主义和理性主义两种路向。经验主义数学观认为，数学是科学的分支，是直接和现实世界打交道的，数学思想来源于经验。理性主义数学观认为，数学是无可怀疑的“真理集合”，是可靠知识的唯一代表。

当下数学教育“生活化与数学化”“形式化与非形式化”“日常化与学校化”等探讨，究其本质都是经验主义和理性主义之争鸣。事实上，数学兼及经验性和演绎性。“一方面，数学是由概念、定义、定理等材料经演绎而成的，是系统的演绎科学；另一方面，数学也是体验性、创造性的归纳科学。”（波利亚语）数学产生之初，人类“计算”牲畜、丈量土地的方法是一种不能离开实物对象的“实验”方法，但数学一经产生，研究的就是超越实物对象的“数”和理想的“点”“线”“面”等“思想事物”，并开始其抽象性发展。数学本质如林夏水先生所言，是演（演绎）算（算法）[7]，又如“拟经验主义”所认为的，“是可误的、可纠正的”。

（二）数学教育的哲学意趣——追问“数学何为”

1.历史掠影

基于实用功利的数学观，中国古代数学教育重算法、重应用。基于“纯粹理性”的数学观，西方数学教育重思维、重演绎。教育哲学史上曾有“实质教育”和“形式教育”之分。数学“实质教育”主张数学是“科学的皇后”，为自然科学奠基；数学“形式教育”将数学作为“最高形式理性训练”。概言之，数学教育有“经世致用”取向与“理性思辨”取向。

2.哲学思辨

当代数学教育价值表现在：一方面，数学以其严密知识体系、思维训练、人格陶冶等“形式”充分发挥人的心智功能，满足人们求真、向善、尚美之天性，具备其理性价值；另一方面，由数学经验性和实践性衍生出来的应用广泛性直接决定了数学的实用价值（工具价值）。

当下数学教育一方面要关照儿童经验，充分发掘知识的生活原型，让“生活数学”与“学校数学”有效对接，引导儿童经历“横向数学化”（从生活到数学）；另一方面要培养儿童的数学眼光，让儿童学会“数学式”思维乃至“通过数学学习学会思维”（郑毓信语），引导儿童经历“纵向数学化”（从数学到数学）。

三、哲学化实践：哲学观牵引下的数学教育

数学哲学应当成为数学教育实践的“活的哲学”，指引数学活动的开展。同时，数学教育实践也应成为数学哲学研究的“活的源泉”，为数学哲学研究提供鲜活的感性素材。数学教育实践是数学哲学研究的出发点和归宿。

（一）捕捉数学文本中的哲学基因

当我们用“哲学眼光”来打量小学数学教材时，可以发现许多蕴含“哲学味”、能萌发儿童哲思的数学素材，如本源性素材、发展性素材、本质性素材、结构性素材等。教师要有意识地捕捉数学文本中的哲学基因。

1.追本溯源，发掘“本源性素材”

哲学总是追问本源，数学教学也要追本溯源（概念发生之源、工具产生之源、法则建构之源）。如低年级的“加减乘除”符号由来；中年级的“古代计数法”“24时计时法”“时间尺的诞生”“分数的产生”等；高年级的“《九章算术》之正负数思想、以盈补虚法”“古代方程思想发展”“求公因数方法”等。通过“本源性素材”，明晰知识的“源”“流”，追寻知识的来龙去脉。

2.叩问本质，透析“本质性素材”

“叩问本质”是经典性的哲学思维，也是数学教学的应有之义。如教学“平移和旋转”要抓住“方向、距离、角度”；教学“用字母表示数”，要让孩子感悟“字母不但可表示已知、确定的数，更可表示未知、不确定的数”；教学“间隔排列”要渗透“一一对应”思想；教学“平行四边形、三角形、梯形面积”要渗透“转化”思想，追问“转化”依据；教学“方程”，要让儿童体验“寻找未知数”过程；教学“图形覆盖现象中的规律”，要让儿童深度思考“为什么‘得到不同选择的个数’比‘平移的次数’多1”；教学“倒数”，要紧扣“乘积是1”；等等。本质是知识内核，教学中要让儿童以合适的方式去体验。

3.承前启后，关注“发展性素材”

辩证哲学观认为，事物是不断发展变化的，数学知识也是如此。许多数学概念是按儿童年龄特征、认知规律编排的，其意义处于不断扩充与发展中。最简单的如数“1”，认数时表示物体基数、序数意义；以后在多位数不同数位上时表示10、100、1000等；引进小数和分数意义后又表示一个整体。再如“0”，开始认数时表示一个单位也没有；以后在多位数读写中用来“占位”；引进“量的计量”后在刻度尺、量角器上又表示起点。又如“分数”，不同情境有不同“意义”（“份数定义”、“商的定义”、“比的定义”与“公理化定义”等）。对于发展型素材，教学时要能承前启后。

4.把握关联，洞悉“结构性素材”

“关系哲学”认为，知识不应是散点形态，而应是镶嵌在关系之中。数学教学有两个层面，一是对“知识点”本身的理解，二是对知识结构（知识链、知识网、知识群）的把握。单子式“知识点”只有融入“知识结构”中才能获得深刻而全面的认识。知识结构有外显结构和内隐结构。如因数、倍数、公因数、公倍数、约分、通分、异分母分数相加减，长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形面积计算等就是一种外显结构，外显结构教学当循“序”渐进。而贯穿整数、小数和分数加减法计算算理的是一条暗线，其内隐结构为“只有计数单位相同才能直接相加减”；长方体、正方体、圆柱体侧面积计算公式各异，而其内隐结构为“底面周长乘高”；长方体、正方体、圆柱体体积计算，其内隐结构为“底面积乘高”。内隐结构教学要求教师能洞悉知识的生长点、联结点、结构点。

（二）让数学教学蕴含哲学气质

数学知识具有经验性（如小数、分数的认识、计算等）和超验性（如无限不循环小数π等）。“经验性知识”教学适合演绎，遵循知识的发生原则；“超验性知识”教学适合于“猜测与反驳”“证明与证伪”。不同的教学方式、主张与流派背后显现的是不同的数学观与教育观。蕴含哲学气质的教学遵循对话的“逻各斯”，关注“知识”与“人”的相遇、与“人”的意义联系，一如孔子之启发式，苏格拉底之产婆术。

1.“融通式”教学：“高观点”下洞悉知识的数学本质

数学哲学认为，知识不仅是公式的罗列，更是围绕“高观点”(high point)组织的。“高观点”（数学思想、方法与精神）是知识的灵魂。在数学家克莱因看来，数学教师的职责是“使学生了解数学并不是孤立的各门学问，而是一个有机的整体”。他认为，“数学的每一个分支，原则上应看作是数学整体的代表”，“许多初等数学现象只有在非初等理论结构内才能被深刻理解”。[8]教师应站在“高观点”下审视、理解初等数学问题。唯如此，数学教育方能居高临下、瞻前顾后、以简驭繁、彰显智慧。

如教学“交换律”（苏教版《数学》四年级上册），通常教法是:教师出示多个算式，让孩子计算，然后简单比较，揭示加法交换律，接着就是简单运用，这种教学遮蔽了“交换律”的普适价值。笔者教学时通过整合单元教材，以“高观点”导引儿童学习。教学伊始，由等式“3+4=4+3”引发儿童猜想：是否任意两数相加，交换加数位置，和都不变？然后让学生举例，通过多元例证进行“不完全归纳”，揭示“加法中，交换两个加数的位置和不变”。接着引导儿童类比猜想：在加法中，交换几个加数的位置，和还不变吗？在乘法中是否也有交换律？在减法和除法中呢？由此突破作为单一运算的“加法交换律”，形成关于“交换律”（高观点）本身的多个猜想。经由不完全归纳“证明”和举例“证伪”，儿童初步感受“加法、乘法交换律”。然后借助形象的“点子图”，让儿童直观理解“加法、乘法交换律”，体验数学思维和方法的精妙。最后用“（）+（）=（）+（）”引领儿童多样表达（如字母表示、图形表示、文字表达等）。由此渗透数学“集合思 想”“辩证 思 想 ”“证明 思 想 ”“符号思想”等。

2.“发生式”教学：让儿童主动创造数学知识

“发生式”教学是数学教学最主要的教学路径。因为绝大多数数学知识的源头并不神秘，其形成过程往往是充满温情的，因此我们要顺着知识诞生的内在逻辑事理来进行教学，引领儿童重温人类知识生发历程中的关键步骤。比如我们从很多相同的数相加比较麻烦，创造出乘法——它是加法的另一种表现形式；9＋X，很多孩子算起来速度慢，由此我们建构“凑十法”的数学模型。

如教学“确定位置”（苏教版《数学》六年级下册），通常教法是：教师直接告诉学生“东北方向也叫北偏东”。如此，孩子便会产生疑问，“为什么东北方向叫北偏东，不叫东偏北？”鉴于孩子的合理发问，笔者教学时利用课件在平面图上分别显示从正北方向略偏东和从正东方向略偏北两个位置，激发学生自主创造“数学规定”。经由全班交流，孩子们普遍赞同“正北方向略偏东叫北偏东，正东方向略偏北叫东偏北”，因为这样规定合理、方便。然后笔者用课件将目标位定于“北偏东45度方向”，激发孩子们的认知冲突——“这个方向既可认为是北偏东，也可认为是东偏北，两种说法不就容易混乱吗？而且，平面上的方向也被分成了八种。”然后笔者适时启发：在茫茫大海上航行，我们怎样辨别方向？孩子们很快想到指南针，先用指南针确定南北，再看偏离这两个方向的角度。至此，孩子深刻体验到“北偏东”“南偏西”规定的合理性。

3.“归纳式”教学：引领儿童进行数学的“过程抽象”

数学知识是人类“生命·实践”活动的智慧结晶。数学教学如果按照“了解符号—记忆概念—强化符号—巩固应用”的逻辑展开，那么儿童经历的只是“符号抽象”“形式抽象”，而没有体验过程。“归纳式”教学（含完全归纳和不完全归纳两种）是让儿童在操作、感知大量“异质性”材料基础上，通过聚类分析（寻找不同中的相同）和分类分析（寻找相同中的不同），对“知识过程”进行抽象、提炼、概括。

教学“正比例的意义”（苏教版《数学》六年级下册），通常教法是：首先复习数量关系，然后根据教材问题直奔主题，直导判定方法——两种量相关联、一种量扩大（缩小）另一种量也扩大（缩小），两种量的比值（商）一定。其结果是儿童虽然能准确判定两种量之间的关系，但却并没有体验到变量之间的相互依存关系。鉴于此，笔者教学时首先出示丰富的感性素材，这些素材有蜡烛燃烧和汽车行驶（统计表出示），股票行情、两个人的年龄变化情况、正方形的周长与边长变化（图像表示），正方形的面积公式。孩子们迅速发现这些素材中都是两个变量，但两个变量之间的关系不同。于是，孩子们对这些素材进行分类分析：第一类的两种变量，一种量增加，另一种量也增加；第二类的两种变量，一种量增加，另一种量反而减少；第三类的两种变量，一种量增加，另一种量时增时减。然后笔者引导孩子对“同时增加”的一类做深入研究，通过图像，孩子们将这一大类又分成两小类：直线上升和曲线上升，继而发现直线上升的两种量之间的关系：一种量扩大，另一种量也扩大相同倍数。紧接着，笔者又让学生对这一类进行聚类分析：即让学生用表格、图像、语言对“成正比例的两种量”进行描述、刻画，最后引导学生用解析式进行抽象概括。经由“过程抽象”，孩子们深刻体验到两种变量之间的相互依存关系，用不同方式（表格感受、图像直观、符号抽象）从多个侧面、多重层次、多个维度深刻认识了“成正比例的量”，达到对“成正比例的量”的本质理解。

4.“验证式”教学：开掘儿童数学“再创造”潜能

从逻辑角度看，数学是以演绎性、抽象性为主的一门学科，但从数学史和儿童心理角度看，数学的发现和理解却主要依赖于归纳，儿童数学学习对儿童经验的依赖性尤其突出。因此，教师要善于处理数学本体形式性与儿童认知经验性的关系。

教学“三角形内角和”（苏教版《数学》四年级下册）时，一位教师在引导学生回忆三角形的角、边、如何画三角形以及角的测量等知识后，让每个孩子画出不同形状的三角形，测量内角度数并相加，然后汇报。孩子们的回答有“179度”“180度”“181度”“182度不到”等。在学生争论不休时，教师又让学生通过剪角、拼角等活动试图克服儿童经验性认知，得出“角的度量有误差”以及“三角形内角和是180度”的结论。但依然有孩子质疑，认为剪拼过程中或许也会有误差，或许三角形内角和根本不是180度。面对知识本身的形式性与儿童探究的经验性之间的矛盾，教师一筹莫展。原因何在？从哲学视角看，在儿童经验与数学形式不发生矛盾时，可以让儿童经历“过程抽象”。但当二者发生矛盾时，教学就应“演绎与归纳”结合。[9]对于“三角形内角和”的探究，笔者教学时首先让孩子们猜想，从直觉上把握“三角形内角和”。然后出示前人结论——三角形内角和是180度。接着，让孩子分组交流——用怎样的办法验证？怎样验证？验证时要注意什么？通过小组合作，产生了各种方法。最后全班交流，让不同方法相互解释、印证，并让学生检视自我数学活动——诸如量角中的测量误差、折角中的操作不当等。由此丰富儿童的认知策略，开掘儿童的“再创造”潜能。

数学教学哲学化实践是哲学观牵引下数学教育的自觉实践。宏观上，数学教育哲学吁求教师对数学观、数学教育价值观进行“哲学反思”和“哲学追问”；微观上，数学教育哲学吁求教师对数学本体知识进行“哲学考量”，从而让数学教学内蕴“哲学气质”。唯如此，方能构筑属于教师自己的“数学教育哲学”！▲

[1]刘云章.从哲学看数学[J].湖南教育（下旬刊），2009（6）：18-20.

[2][英]PaulErnest.数学教育哲学[M].上海：上海教育出版社，1998:5.

[3]蔡宏圣.你给了孩子们怎样的学科感受?[J].江苏教育，2009（1）:12.

[4]谢明初.数学教育中的建构主义：一个哲学的审视[M].上海：华东师范大学出版社，2007:31-50.

[5]郑毓信.数学哲学、数学方法论与数学教育哲学——兼论数学哲学研究的方法论问题[J].南京大学学报：哲学·人文·社科版，1995（3）：71-76.

[6]周东明，齐昌建.数学的本质与其对数学教学的意义[J].湖北教育，2007（10）:11-13.

[7]林夏水.论数学的本质[J].哲学研究，2000(9):66-71.

[8][德]克莱因.高观点下的初等数学[M].舒湘芹，等,译.上海:复旦大学出版社，2008:1-4.

[9]岳欣云.小学数学探究教学中的哲学思考[J].课程·教材·教法，2012(9):101-105.