一道含参导数题的解题策略探析

☉江苏省金坛市第四中学 张国兵

一道含参导数题的解题策略探析

☉江苏省金坛市第四中学 张国兵

题目 设函数f（x）=ax2+bx+clnx（其中a，b，c为实数，且a＞0），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=3x-3.

（1）若函数f（x）无极值点且f′（x）存在零点，求a，b，c的值；

这是我校高三理科12月份的一道月考试题，考查的是当函数有两个极值点时的极值范围问题.此题若直接从正面突破，往往难以奏效，但若打破常规反向思考，则可出奇制胜巧妙解决.

困惑：式③左边既有根号又有平方，复杂的算式让我们无从下手，此时从正面突破实际已无可能，如何另辟蹊径？

策略1：反客为主消参数 主元范围参数定

以上我们使用导数法证明了不等式，但求导过程并不轻松.细想求导的目的是为了研究式④的单调性，而式④是由式②消参得到，其单调性早已了然：即在区间（x1，x2）上f（x） 单调递减；在区间（0，x1）和（x2，+∞）上f（x）单调递增.那么，不求导是否也可以证明不等式呢？

策略2：整体放缩有奇效 观察图像更明了

策略3：二元究竟谁主宰 你方唱罢我登场

上述证明岂止“轻灵”，简直“飘逸”，一下就洞穿了问题的本质（函数单调性），使得证明的过程大大简化.而这种主元更迭的“梯次变量法”，也是解决多元函数范围问题时的惯用手法，值得重视.

1.许志锋.走出困境：零点可求值难算［J］，中学生天地（C版），2011（10）.