探索：可从满足问题的充分性开始

2014-02-01广东省信宜市信宜中学刘志有

中学数学杂志 2014年2期

☉广东省信宜市信宜中学刘志有

探索：可从满足问题的充分性开始

☉广东省信宜市信宜中学刘志有

在某种意义上可以这样理解：解决问题的过程就是不断变更问题的过程，最理想的是保证等价转化，使前后命题互为充要条件，步步可逆.但对某些复杂的问题，充要性的满足是困难的.退而求其次，从满足问题的充分性开始尝试，往往使一筹莫展的问题得以打开突破口，这一思维方式有突破常规之处，对创新思维培养不无裨益.本文结合具体实例，对这一思维策略做些初步分析.

一、仅有问题的充分性一般会使原问题的解集缩小

我们借用集合语言描述两个命题间的充分条件关系，即A=满足条件p}，B=满足条件q}.如果A⊆B，那么p是q的充分条件.由此容易看出，仅满足问题的充分性一般会使讨论问题的“解集”缩小.所以，我们从满足问题的充分性探索起步时就要注意原问题的求解目标，否则就会出现偏差与错误.

例1（2009年浙江文）已知函数f（x）=x3+（1-a）x2-a（a+2）x+b（a，b∈R）.

（1）略；（2）若函数f（x）在区间（-1，1）上不单调，求a的取值范围.

错解：（2）函数f（x）在区间（-1，1）不单调，等价于导函数f（′x）在（-1，1）既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数，即函数f（′x）在（-1，1）上存在零点，根据零点存在定理，有f（′-1）f（′1）＜0，即：［3+2（1-a）-a（a+2）］［3-2（1-a）-a（a+2）］＜0.

整理得：（a+5）（a+1）（a-1）2＜0，解得-5＜a＜-1.

评析：“函数f（x）区间（-1，1）不单调，等价于导函数f′（x）在（-1，1）既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数”是对的，进而等价于“函数f（x）区间（-1，1）上至少存在一个极值点”，但与“函数f′（x）在（-1，1）上存在零点”不等价.这里有两点需要指出：一是函数f（x）的极值点是其导函数f′（x）的零点，反之不成立；二是f（a）f（b）＜0是f（x）在区间（a，b）存在零点的充分条件，也就是“有它一定行，无它未必不行（还可能有其他情形）”.

二、对存在性问题有时只需满足充分性

正如在实际生活中解决一个问题有多种方案，我们通常选择自己喜欢或相对易处理的一种方案.同样，对一个数学问题可以在技术上设计为仅讨论它的充分性，特别是存在性问题，往往是“找到”即可，其实质是“寻找”结论的某个充分条件.

（1）证明：当t＜2 2时，g（x）在R上是增函数；

（2）对于给定的闭区间［a，b］，试说明存在实数k，当t＞k时，g（x）在闭区间［a，b］上是减函数；

分析：此题的前两问都是围绕“充分性”来设计的.首先，两问都是基于单调性的充分条件切入：g′（x）＞0是g（x）为增函数的充分条件，g（′x）＜0是g（x）为减函数的充分条件；其次，（1）“t＜2”实则是“g（x）在R上是增函数”的充分条件，所以只需证“当t＜2时，g（′x）＞0”；对（2）一是可以从（1）问受到启发将问题弱化为满足充分性“g（′x）＜0”，二是利用分离参数法，将问题转化为“t＞2ex+e-x在闭区间［a，b］上成立”，这样引出k的寻找办法，即只需k不小于y=2ex+e-x在闭区［a，b］上有最大值，由连续函数在闭区间上的最值定理知最大值肯定存在，问题获得解决.下面给出前两问证明：

（1）证明：由题设得g（x）=e2x-（tex+1）+x，g′（x）=2e2xtex+1.又由2ex+e-x≥2，且t＜2得t＜2ex+e-x，即g′（x）=2e2x-tex+1＞0.由此可知，g（x）为R上的增函数.

（2）因为g′（x）＜0是g（x）为减函数的充分条件，所以只要找到实数k，使得t＞k时，g（′x）=2e2x-tex+1＜0，即t＞2ex+ e-x在闭区间［a，b］上成立即可.因此y=2ex+e-x在闭区间［a，b］上连续，故在闭区［a，b］上有最大值，设其为k，于是在t＞k时，g（′x）＜0在闭区间［a，b］上恒成立，即g（x）在闭区间［a，b］上为减函数.