演绎精彩 追求完美——对一节圆的基本性质复习课的思考

☉浙江省衢州市实验学校 詹金芳 王文森

演绎精彩 追求完美
——对一节圆的基本性质复习课的思考

☉浙江省衢州市实验学校 詹金芳 王文森

笔者有幸听到某县一节关于圆的基本性质的单元复习课，感想颇多，现将教学基本过程和笔者的一些感悟整理成文，与同行分享交流.

一、教学过程的展现

1.知识回顾

教师在课堂开始时对圆的基本性质这一章的知识要点进行梳理，重点围绕圆的轴对称性和旋转不变性而展开，通过这两个性质梳理出垂径定理、圆心角定理和圆周角定理等知识，一方面对所学知识进行回忆，形成完整的知识结构，另一方面为后续知识的应用作了铺垫.该环节花时5分钟

2.典型例题

在完成基本知识的梳理后，教师给出如下例题，并让学生独立解决该例题.

例 如图1，在⊙O中，AB为直径，AC∥OD.求证：CD=BD.

学生独立思考并书写解题过程，8分钟后，超过一半的学生已完成该题的证明，这时，教师让学生把笔放下，进入汇报交流环节.

学生1：连接OC，如图2.

由AC∥OD，得∠ACO=∠COD，∠A=∠BOD.由OA=OC，得∠ACO=∠A.

则∠BOD=∠COD.

则CD=BD.

教师根据学生1的解答进一步回顾解题过程中所用的知识点——平行线的性质、圆心角定理等知识.

学生2：连接BC，如图3.

教师梳理解题过程中所用的知识——直径所对的圆周角是直角、垂径定理等.

学生3：老师，我不用添加辅助线就能解决问题，大家请看图1.

学生3的解答赢得了全班同学的掌声，之后教师结合学生的解答进行了知识梳理——同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；在同圆或等圆中，弧相等，则弧所对的弦也相等.

教师在学生展示了三种方法之后，对三种解法所用的知识再次进行梳理，建立了如图4所示的知识结构图，并强调各个等量之间相互转化时应注意的前提条件.

知识结构梳理完整后，教师继续追问：“同学们还有别的办法吗？谁来说说？”此时，教室内再次安静下来，几分钟后，教师提醒：“有想法或困惑的同学可以和其他同学交流讨论.”而后，教师走向各个学习小组，进行个别辅导.

“同学们，谁来说说别的证明方法？”教师继续追问.

学生4：连接AD，如图5.

学生6：连接OC，如图1.

由AB为O的直径，得∠BOC=2∠BAC（同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半）.

在教师不断的鼓励和引导下，学生还给出了四种解题方法，有的甚至添加了三四条辅助线，教师对每种解法所用的知识进行了归纳和总结，课堂气氛十分活跃，学生的学习积极性很高，到离课堂结束还有六分钟时，教师不得不“踩刹车”，匆匆进入课堂的第三环节.

3.变式训练

因为时间关系，教师准备的其他几个变式练习没有进行展示，讲完该练习题本节课就结束了.

二、笔者的反思

1.值得借鉴的方面

（1）一道题，一节课，理出一章的知识——值得学习的复习课模式.

本节课教师通过知识回顾、典型例题和变式训练三个环节完成了圆的基本性质的整章复习.知识回顾环节帮助学生提取记忆，为后面例题的解答作铺垫，本环节一带而过（有时候可以将此环节与例题讲评穿插起来，边分析问题边回忆知识点）.而后进入本节课的重点环节——典型例题教学.本环节中教师利用一道低起点、多切口的例题，让学生用不同的方法进行解决，从而再次帮助学生回忆和梳理整章的知识，建立完整的知识结构图.课堂中，教师避免了枯燥的知识讲解和大量的试题训练，把课堂的主动权交给了学生，真正起到了组织者的作用.学生的课堂参与性好，气氛活跃，学得主动又轻松，学生的主体性地位得到充分的体现.整节课主要围绕着一个问题进行分析和讲解，问题的起点低，几乎所有学生都能解决，但它的切入口很宽，解决问题的方法多样，不同的人在解决问题时会有不同的收获和体会.最后再将例题进行变式训练，进一步深化问题，从而达到梳理整章知识并对知识进行拓展与应用的目的，这是一种值得学习的有效的复习课教学模式.

（2）精心的预设，精彩的演绎——问题解决方法多样化得以充分的展现.

从本节课的教学构思和课堂反映来看，教师对课堂进行了精心的预设.从知识铺垫来说，在进行例题教学之前，教师将本章知识作了简单的回顾，帮助基础较弱的学生重拾记忆，为后续的学习作好铺垫.从例题的选择与设计来说，题目本身难度不大，照顾到了班里的所有学生，解决问题的思路多样化又为不同能力的学生提供了发展的空间，而各种解法所用的知识不尽相同，汇总各解法所用知识又覆盖了本章所有重要知识点，可将本章知识进行系统整理，堪称经典例题.从时间预留方面来说，教师为学生留有足够的时间思考问题（近8分钟的时间独立思考）和交流方法（花了大半节课），整节课就围绕一个问题的解决，让学生通过自身的独立思考获得问题解决的不同方法，而后在各自方法的交流汇报中，给所有学生呈现了多样的问题解决方法，促进了学生对问题的多方面理解.对于多数学生，这样的经验将促使他们从多个角度思考问题，形成多样化的问题解决意识.比起教师引导的方法，学生往往对自己做过、思考过或表述过的方法要有更深刻的印象.从本节课的教学实际来看，学生的主体地位得以完整的体现，求异思维得到充分的展现，真正成为了课堂的主人，问题解决方法多样化的教学理念得以充分的展现和演绎.

2.有待商榷的方面

（1）问题解决的方法是否越多越好？如何恰当处理方法多样化和方法优化的关系？

新课程倡导问题解决方法的多样化，那么是否方法越多越好，甚至不惜代价地追求多样的方法呢？

本节课教师给出一个例题，尽情地展示学生不同的解决方法，在学生汇报完三种方法之后，教师觉得不够，在教师的不断“鼓励与引导”下，花上将近一节课的时间，终于如愿以偿，出现了“盛世的繁华”，精心预设的十余种方法得以“完美的演绎”.我们不禁要问，这样的“投资”值吗？是否有点儿为多样化而刻意追求多样化？多样化并非教学的目的，而只是一种手段，关键在于独立思考.问题解决方法多样化主要体现学生的主动参与精神，利于学生求异、求新思维的发展，但是过分追求方法多样化其作用会大打折扣.学生的思维是多样化不竭的源泉，本节课我们不禁为学生这些多种多样的、多角度的方法而惊叹，但师生一对一地汇报这些方法，花去了大量时间，一节课的时间已所剩无几，这样去追求方法多样化其教学效果必然低下.从学生的解答中我们不难看出，有的方法是雷同的（学生6和学生3的），有的是在前一种方法的启发下得出的（学生4和学生1的），有的甚至是思维层次从高到低的（学生5的），有的是为了教师的“还有吗”再去“创造”的（最后汇报的几种方法）.

由此可见，在课堂教学中，应具体看学生的方法是不是通性通法，是不是有价值，如果是为多样化而多样化，那就不值得提倡.为此，我们在倡导方法多样化的前提下，有必要对方法进行优化，并恰当地处理好方法多样化与优化的关系，从而实现课堂效率最大化.我们不妨借助本节课的例题教学加以说明.

本节课教师可以让学生展示几种比较通用的方法，如前三位学生的解答，他们的解答方法是常用方法，也是通法（在圆中证明两条弦相等，通常从圆心角、圆周角、弧、弦心距等入手，学生1是从圆心角入手，学生3是从弧入手；出现直径时通常构造直角，学生2的思路是这样形成的），至于后面出现的许多方法，基本上可以回归到前面三种方法上来，或者当学生出现其他解法后，让学生对各种方法进行比较，归纳出通用的、简洁的解法，从而达到优化方法的目的.对于学生出现添加好几条辅助线的方法，教师应作适当引导，舍简求繁不可取，方法不通用没有介绍的必要，或将其原理归结到前面的方法之中，一言以代之.在例题教学上若能这样去处理，既关注方法的多样化，又对方法进行优化，那么教学效果定能明显提高，既能节省出时间去落实变式训练，又帮助学生归纳提炼了思考问题的一般方法和途径.

值得注意的是，在方法优化的过程中，我们要避免为形成一种统一的方法而急于择优的现象，在学生回答了一两种方法后，教师就顺势开始引导学生去比较这些方法，得到一个认为高效的有利于每个学生掌握的方法，然后巩固并加以强化.这种过早择优也会带来一些负面的影响，如学生的学习积极性提不起来，不愿意参与课堂讨论，甚至有时还会为猜测教师的意图而思考等.

为此，我们应反思：方法比较的目的是什么？是否存在大家公认的最优方法？

方法比较的目的，首先应是通过方法的交流、汇报、比较，使学生从多个角度思考问题，形成多样化的问题解决意识；其次才是使学生明确各种方法的特点，从而有助于学生根据自身的思维特征、认知水平和喜好选择适合自己的解决问题的方法.从这个意义上讲，方法的优劣是相对于学生个体而言的，而非针对学生群体的.由于学生自身的喜好和思维特征存在着很大的差异，因而，难以存在一个统一的大家都认可的优越方法.此外，一定程度上，简捷的方法往往是经过了人为的加工和抽象、概括，因而可能并非本质的方法.任何一个方法都有一定的局限性，这也许就是解题中的辩证法.当然，教学中，对学生所提供的各种方法给予适当的比较与评判，使得学生对各种方法有个比较全面的、客观的认识，然后根据自身的特点选择各自喜欢的方法，这是十分必要的.学生的评价会对方法的优化做出一个比较好的诠释.

（2）教师如何做好解题后的归纳总结与提炼升华？

归纳总结、提炼升华是解题教学必不可少的环节，可谓是点睛之笔.好的归纳与提炼在教学中花时不长，却能收到良好的教学效果：有的能迅速提高学生的解题能力，有的能让学生产生顿悟.因此，如何更好地做好解题后的归纳和提炼是值得教师研究的课题.

本节课中，教师对每一位学生的解答都进行了归纳总结，总结了每种解法所用的知识点，多种解法所用的知识将整章的知识点连成了一张网，可以说教师的总结及时、有效，整个知识脉络清晰、流畅，但是，教师的归纳总结始终停留在知识层面，而忽略了其他的方方面面.如前面所述的方法优化的过程就是一个解题方法方面的归纳总结，这一环节的缺失，必然对学习产生事倍功半的影响.若在方法多样化的前提下，让学生进行比较，对方法进行优化，学生定能分析出适合自己又通用、简洁的方法，学习就会达到事半功倍的效果.再如，本节课从未对学生解题思路形成方面作归纳与提炼，学生从开始到结束都是天马行空式的搜索解题思路，缺乏必要的引导和提炼.若指导学生从已知出发、从结论出发、从已知和结论综合考虑的角度思考问题，学生的证明思路定能更加快速的形成，在学生汇报解法后追问一句“你是怎么想到的？”也许效果会更好.在完成证明以后，教师若能帮助学生归纳提炼出“在证明圆中弦相等的问题的一般思路，以及由弦相等过渡到圆周角相等、圆心角相等等数量关系上的一般思路”，学生的学习会更轻松，学习效果会更加好.

因此，我们在解题教学中要善于归纳总结，并力争达到提炼升华的目的.我们不仅要总结知识的生成、建构与拓展，还要归纳解题的思路、方法与技巧，提炼出解题过程中渗透的数学思想，并在这一过程中提升学生的能力.

以上是笔者对本节课的一些不成熟的想法和认识，敬请专家学者批评指正！

1.章飞.问题解决方法多样化的一些认识与思考［J］.中国数学教育（初中版），2005（1）.

2.詹金芳，方玉芬，郑志奎.知其然 知其所以然“然”何而来［J］.中学数学杂志，2011（8）.

3.张伟俊.先思后展变式感悟教学策略的实践与思考［J］.中学数学（下），2012（9）.

4.张优幼.感受理念 关注个体［J］.中小学教材教学，2004（1）.WG