基于ARMA模型的加速退化试验可靠性评估

黄运来,张国龙,邓 陈,柏 航

（1.63981部队，湖北 武汉 430311；2.军械工程学院光学与电子工程系，河北 石家庄 050003）

基于ARMA模型的加速退化试验可靠性评估

黄运来1,张国龙2,邓 陈1,柏 航1

（1.63981部队，湖北 武汉 430311；2.军械工程学院光学与电子工程系，河北 石家庄 050003）

有限时间内很难获得大量电子产品的失效数据，传统可靠性评估方法存在一定局限。在分析传统加速退化试验可靠性评估的基础之上，提出利用时间序列对产品加速退化过程描述的方法，使用自回归滑动平均混合（ARMA）模型对退化数据进行建模，通过参数估计得到其退化规律的表达式，从而外推出其失效寿命，进而利用极大似然估计理论进行可靠性评估。最后以某电源电路板加速退化试验数据为例，分时间序列建模和可靠性评估两大步骤，分别对95℃、105℃、115℃下加速退化试验数据进行分析处理，得出可靠性评估结果，验证该方法的有效性和实用性。

可靠性评估；加速退化试验；ARMA模型；时间序列

0 引 言

随着科学技术的发展，电子产品的寿命、可靠性也变得愈来愈高，采用传统的可靠性寿命或加速寿命试验，在有限的时间内很难获得大量的失效数据，这给传统的可靠性分析方法带来了困难。利用产品的加速退化数据进行可靠性评估与寿命预测是可靠性分析的一个新的发展方向[1]。加速退化试验是基于加速寿命试验的思想，通过加速应力水平下的退化数据来外推出正常应力水平下可靠性。利用退化数据进行产品的可靠性评估，其关键是寻找退化数据的退化规律。目前利用加速退化数据对产品进行可靠性评估主要基于退化轨迹和退化量分布两

种思路，而基于退化轨迹进行可靠性推断是一种比较直观和成熟的方法，选择合适的退化轨迹模型，可较好地描述产品的退化特征，提高可靠性评估精度。

文献[2]～[4]等利用不同方法对产品的可靠性进行分析和评估，文献[5]和[6]还给出了基于性能退化数据的可靠性分析的方法与步骤，并建立性能退化可靠性模型，但这些对退化轨迹未知的产品具有一定局限性。本文提出利用时间序列建立退化轨迹模型的一般方法，应用ARMA模型对退化数据进行建模，预测产品的退化数据，根据失效阈值外出产品的伪寿命，再对失效时间进行分布的拟合检验，求出分布的参数估计，从而进行产品可靠性评估与寿命预测。

1 基于ARMA时间序列的加速退化数据建模

1.1 问题的描述与假设

假设在应力水平Sk（k=1，2，…，r）下nk个样本进行加速退化试验，分别在t1，t2，…，tm（t1≤t2≤…≤tm）进行等时间间隔监测，测得第i个样本下的m个性能退化值y=[yi1，yi2，…，yim]；然后根据性能退化值构造时间序列并进行ARMA建模。假设如下：

（1）在各加速应力水平下，产品的失效机理（模式）保持不变。

（2）产品的退化量具有稳定的上升或下降趋势，假设产品的失效阈值为yc，则产品的伪失效时间为退化量到达失效阈值yc的时间。

（3）在各加速应力水平下，产品的退化过程服从同族随机过程，即应力水平变化时，产品退化随机过程保持不变，改变的只是过程参数。

（4）对样本i等时间监测的退化数据，依时间顺序，构造时间序列{Yt，t1，t2，…，tm（t1≤t2≤…≤tm）}。

1.2 基于ARMA的加速退化数据建模

时间序列分析是采用参数模型对观测得到的有序随机数据进行分析的一种处理方法，通过时间序列可以对产品的动态特性进行分析，对未来的发展趋势做出预测[7]。ARMA主要是利用大量的历史数据来建模，经过模型识别、参数估计、模型检验来确定一个能够描述所研究时间序列的数学模型，进而推导出预测模型达到预测的目的。ARMA（p，q）的一般形式为

这一模型就称作p阶自回归-q阶滑动平均混合模型，记为ARMA（p，q）模型。特殊地，若p=0，记为MA（q）；若q=0记为AR（p）；若p=q=0，模型退化为Xt=Zt，即{Xt}为白噪声序列。

基于ARMA的加速退化数据建模步骤如下：

（1）ARMA模型所适合描述的对象是平稳的随机序列，因此首先判断退化数据序列的平稳性，若序列非平稳，则需对原数据进行预处理，对数据求差分使其平稳。

（2）ARMA模型识别，模型识别有两种方法，一是根据序列的自相关和偏相关系数来判断，若自相关函数ACF在滞后数p后截尾和偏相关系数PACF在滞后数q后截尾，则截数分别为p和q。二是利用赤池准则（AIC）和贝叶斯准则（BIC），通过比较判断不同阶模型的AIC或BIC值来确定p和q，它们越小，模型拟合越优。

（3）用时间序列的数据，估计模型的参数，并通过退化数据序列的前k个值进行预测后m-k个退化值，进行检验，以判定模型是否恰当。

（4）根据时间序列模型，预测性能退化量，并根据事先假定的失效阈值来推出产品的失效时间。

2 加速退化试验数据可靠性评估

2.1 寿命分布的拟合检验

通过时序模型得到产品的伪失效寿命之后，需对其分布进行拟合优度检验，利用最小二乘法求出寿命数据的线性回归曲线及其相关系数，分别用产品可能服从的寿命分布对其分布检验，可以采用相关系数r→1的程度判断哪种分布更好。

2.2 寿命分布参数估计

利用2.1节确定寿命的分布类型后，可利用参数估计理论对其参数进行估计，可用于产品寿命分布参数估计理论有极大似然估计（MLE）、图估计法、最小二乘估计（LSE）、逆矩估计、最佳线性无偏估计（BLUE）、简单线性无偏估计（GLUE）、近似无偏估计（AUE）、线性不变估计（LIE）等方法。这些方法中，除MLE外的其他估计方法均需要人为干预，如系数查表等。MLE应用于加速寿命试验数据分析通用性好，不仅适用于绝大部分理论分析，而且MLE估计量有非常好的统计特征。因此，本文利用极大似然估计法（MLE）对寿命分布参数进行估计。

假定产品寿命服从正态分布，利用极大似然估计方法对其寿命分布进行参数估计，样本的对数似然函数为

将lnL（μ，σ2）分别关于两个分量求偏导并令其为零得到似然方程组，解此方程组可得μ和σ的极大似然估计分别为

由此，产品在给定时间t的可靠度估计为

其他寿命分布的的极大似然估计与正态分布相似，文献提及的也较多，在这里不再赘述。

3 算 例

以文献[8]中功能电路加速退化试验数据为例，该试验以某型雷达供电装置内24 V-2 A稳压电源板为试验对象，分别在95，105，115，125℃下进行加速退化试验，每组试验用8块相同的电路板，对每块电路板中的一个电压输出幅值进行监控，各应力下性能退化量（幅度）随时间的变化规律如图1所示。

电路在125℃条件下，试验过程中出现工作状态不稳定、数据波动大、故障频率高、规律性差等现象，研究意义不大，因此，不对该试验数据进行处理。利用本文方法对前3组加速退化数据进行可靠性评估步骤如下：

3.1 时间序列建模

（1）以不同应力下各样品性能特征量的均值构造时间序列{μt}

（2）模型定阶与参数估计

以95℃下的幅度均值时间序列进行分析，其自相关函数与偏自相关函数如图2所示。其中，ACF是3步截尾，PACF是2步截尾，故确定ARMA模型为ARMA（3，2），同上所述，可通过分析自相关与偏自相关系数的方法确定105，115，125℃下的幅度均值时间序列模型为 ARMA（2，2），ARMA（2，2），利用Matlab系统辨识工具箱进行模型识别。

（3）外推失效时间

通过试验，95℃下只失效1块电路板，105℃下失效3块，15℃失效5块，只对未失效的电路板进行伪失效寿命预测。根据上述得到的ARMA模型表达式以及已有的退化数据和预测的退化数据，可以获得样品达到失效阈值的退化数据，其所对应的时间即为失效时间：

用本例所得到伪失效寿命如表1所示。

3.2 可靠性评估

（1）分布的拟合优度检验与参数估计。得到伪失效寿命后，先进行分布假设检验，经分布的假设检验，符合正态分布，得到均值、方差如下。利用极大似然估计方法，得到95℃下伪失效寿命服从正态分布，参数的点估计为：u1=11354，σ1=1.7126×103；105℃下参数的点估计：u2=7 912，σ2=1.120 1×103；115℃下参数的点估计u3=2552，σ3=1.0643×103。

（2）加速模型的确定。常用的加速寿命模型包括Arrhenius模型、逆幂率模型、Eyring模型、数学加速模型等。阿伦尼斯在大量数据的基础上于1889年，提出如下适用于温度应力下的加速模型：

式中：ξ——产品的特征寿命，如中位寿命、平均寿命等；

A——常数，且A＞0；

E——激活能，与材料有关，eV；

K——波尔兹曼常数，为8.617×10-5eV/℃，从而

可知E/K的单位是温度，故又称E/K为激活温度；

T——绝对温度，等于摄氏温度加273。

Arrhenius模型表明，寿命特征将随着温度上升而按指数下降，对式（5）两边取对数，可得

其中a=lnA，b=E/K。它们均是待定的参数，式（6）表明寿命特征的对数是温度倒数的线性函数。因此，本例选用阿伦尼斯加速模型。

（3）加速模型中的参数估计。采用Arrhenius加速模型外推出产品在正常使用条件下的分布参数：

所以正常使用条件下（T=298K）的参数

从而得到产品在正常温度下的可靠度曲线如图3所示。

[8]证明了该可靠度曲线的合理性，从图3中可以看出，本文方法与文献[8]的结果非常接近。因此，基于时间序列ARMA建模的可靠性评估方法具有一定的有效性。

4 结束语

基于时间序列ARMA建模的加速退化数据可靠性分析方法对于高可靠退化型产品进行可靠性评估具有良好的效果，并且具有较好的适用性。利用失效退化之前的数据建模在于探索失效规律，可以适用于失效退化阶段预测，预测结果具有参考意义，但不一定很准确。当失效样本数据不足时，只能是一种探索性的预测，不能保证建模精度和预测精度，在无失效样本或样本数据较少的情况下，需要探索新的有效方法对可靠性进行评估。

参考文献

[1]LU C J，Meeker W Q.Using degradation measures to estimate a time-to-failure distribution[J].Technometrics，1993，35（2）：161-174.

[2]马强，钟强晖，张志华.基于时间序列的退化型产品可靠性评估方法[J].襄樊学院学报，2011，32（2）：19-23.

[3]尤琦，赵宇，胡广平.基于时序模型的加速退化数据可靠性评估[J].系统工程理论与实践，2011，31（2）：328-332.

[4]邓爱民，陈循，张春华.基于加速退化数据的可靠性评估[J].弹箭与制导学报，2006，26（2）：808-815.

[5]陶庄，金水高.时间序列分析简明攻略[J].中国卫生统计，2003（3）：151-153.

[6]Meeker W Q，Escobar L A，Lu J C.Accelerated degradation tests： modeling and analysis [J]. Technometrics，1998，40（2）：89-99.

[7]魏武雄.时间序列分析:单变量和多变量方法[M].北京：中国人民大学出版社，2005.

[8]王玉明.基于性能退化数据的电子产品可靠性分析研究[D].石家庄：军械工程学院，2008.

Accelerated degradation test reliability evaluation based on ARMA model

HUANG Yun-lai1，ZHANG Guo-long2，DENG Chen1，BAI Hang1
（1.Unit 63981，Wuhan 430311，China；2.Optical and Electronic Engineering Department of Ordnance Engineering College，Shijiazhuang 050003，China）

As it is difficult to obtain the failure data of electronic products in limited time，the traditional methods of reliability evaluation are limited.On the basis of analysis on traditional accelerated degradation test reliability evaluation，the use of time series of accelerated degradation method of process description was proposed.Using degradation data to build the auto-regressive and moving average（ARMA）model and using parameter estimation to get expression degradation law.The failure life was launched from the outside and reliability evaluation was estimated using maximum likelihood theory.Finally，to verify the effectiveness and practicability of the method，power supply circuit board accelerated degradation test data were used as an example.Two steps of time series modeling and reliability evaluation are clarified and accelerated degradation test data at 95，105 and 115℃ were analyzed.

reliability evaluation；accelerated degradation test；auto-regressive and moving average model；time series

O213.1；TP274；TN911.6；TP206+.3

：A

：1674-5124（2014）04-0137-04

10.11857/j.issn.1674-5124.2014.04.034

2013-06-25；

：2013-08-20

国家自然科学基金项目（61271153）

黄运来（1985-），男，湖南邵阳市人，工程师，硕士，研究方向为装备计量及系统性能测试。