灰度理论与二次规划算法组合模型对LEFP的几何优化

刘 杰，杜忠华，刘荣忠，董玉财

（南京理工大学机械工程学院，江苏南京210094）

引 言

针对爆炸成型弹丸（EFP）结构参数优化，研究人员从不同角度提出了相应的优化方法［1－2］。Fisher等［3－4］运用Kalman滤波对EFP 进行结构优化，这种滤波算法仅实现迭代循环，其突出的滤波性特点却表现不明显，因此使得Kalman 算法在针对EFP结构优化时可实施性较差；江后满等［5］利用变尺度非线性优化方法实现了对爆炸成形弹丸的优化，该方法简洁有效，但是单一建立的最小二乘算法得到的只是整体最优解，不能保证每个参考变量最优；张先锋等［6－7］利用灰度理论系统并结合数值模拟对每个影响战斗部因素子序列进行了灰关联计算，可方便得到每个子序列对聚能装药战斗部的权重，但后期EFP结构直观性较差，不利于准确计算EFP优化结构几何特征。因此将灰度理论和非线性优化两种优化方法的优点结合，用于对LEFP 几何结构优化具有重要意义。

本研究基于灰度理论，利用其对数组量小但关联分析强的处理能力，对线性装药的每个组件进行权重计算，然后利用二次规划方法构建了包含每个组件对LEFP 权重的目标函数，进而得到针对LEFP结构优化的灰度理论与二次优化组合模型，最后以某小型几何特征线性装药优化为例，给出整个优化方法的过程。

1 线性装药及模型序号

定义线性装药为装配体，简化为由药型罩、外壳、炸药3个组件组成，如图1所示。

由于每个组件包含各自的几何结构特征，而不同的几何特征对LEFP 的权重不同，故几何特征可作为灰度系统的子序列，分别是药型罩直径R，药型罩厚度t，Γ＊面内药型罩长度L，Γ＊面内药型罩大径R＊，炸药高度H，炸药宽度Dk以及外壳厚度a，依次标记为1～7。LEFP观测参数选用LEFP的头部速度Vtip、LEFP尾部速度Vtail、LEFP头部长度L1以及直径D 来描述，依次标记为Y1～Y4。将子序列进行梳理、正交选取，得到18个模型，列于表1。

图1 线性装药示意图Fig．1 Sketch of the linear shaped charges

表1 线性装药参数与模型序号Table 1 The parameters and model numbers of linear sharped charges

2 优化过程

图2为整个优化过程的流程图。

根据预期LEFP要求，视线性装药为装配体，包括药型罩、外壳、炸药3个组件。对每个组件的结构几何特征进行汇总，作为灰度理论系统的子序列，通过对子序列进行正交选取，将得到的计算结果列表。

利用灰度系统理论，得到每个子序列与LEFP观测值的关联系数；同时，计算分辨系数时从统计角度对灰关联系数矩阵的元素实行归一化处理，得到每个组件对LEFP的贡献值，即权重。

对整个LEFP系统构造了一个包含二重分辨系数的目标函数，将第（2）步所得到的权重带入二次序列优化目标方程，实现对药型罩、外壳、炸药的同步优化。

2．1 灰度理论

对于一个参考数列y1，y2……yj，存在多个比较数列x1，x2，……，xi作用，式（1）［6］表示比较数列曲线与参考数列曲线在各点或各个时刻的差值。

图2 LEFP优化过程流程图Fig．2 Flowchart of optimizing process of LEFP

式中：εi（k）为第k个点或第k个时刻比较数列曲线xi与参考数列曲线x0的相对差值，称为xi对x0在k时刻的关联系数；ξ为分辨系数，取值在0～1间，一般为0．5；称为两级最小差值。第一级最小差值是对k而言，根据k 选最小者；第二级最小差值是对i而言，根据i选最小者。称为两级最大差值，根据k选最大差值，然后根据i选最大差值。灰关联系数的分步计算按式（2）［7］：

2．2 折算等效关联系数

分别选取药型罩、炸药和外壳的几何特征，建立各自的分析表格，按照灰关联理论计算关联系数，分别得到其相应的关联系数矩阵。同时，定义ai0为xi0与Y1的关联系数，记；定义∑D 为成型装药一个组件的所有几何特征对LEFP成型特征的关联系数总和，记为R＝∑D。定义判断LEFP成型是否良好的4个参考特征Y1～Y4关注度分别是ζ1～ζ4，其中。根据R 与ζj的定义，ζj与R 的关系为：

定义Ki（i＝1，2，3）分别为药型罩、炸药、外壳各自对理想LEFP所有参考特征的贡献测度，则Ki，其含义即为成型装药的一个组件的所有设计特征对理想LEFP所有参考特征的关联系数总和。

同样地，定义：

其含义即为成型装药各个组件对LEFP成型的整体贡献测度。之后利用这个值，并结合变尺度二次规划算法来优化LEFP组件的设计参数。分别建立药型罩、炸药和外壳的影响几何特征分析表格，见表2～表4。

表2 药型罩折算关联表Table 2 Conversion and relation table of liner

表3 炸药折算关联表Table 3 Conversion and relation table of explosive

表4 外壳折算关联表Table 4 Conversion and relation table of case

2．3 线性装药几何结构

分别对药型罩、炸药和外壳3个组件进行几何建模。通过药型罩示意图（见图4），确定线性装药几何结构特征所在的位置，即在截面Γ＊和截面Γ两个正交面内。

图4 两个方向弧度药型罩示意图Fig．4 Sketch of two radian liner

2．3．1 截面Γ 中药型罩及炸药几何形状

在炸药宽度方向的横截面Γ 上，以炸药顶点O1为坐标基点，如图5所示。为保证曲线精度和加工精度，取两次曲面拟合药型罩的形状。

图5 炸药宽度方向横截面示意图Fig．5 Sketch of intersecting surface in explosive width

截面Γ 中药型罩拉伸母线几何模型描述表达式为：

截面Γ 中药型罩的几何约束为：

式中：t1（x）为药型罩最小厚度；y00是坐标原点坐标值，即y00＝0；y1（Dk）－y00≤H。

截面Γ 中炸药顶层的几何模型为：

截面Γ 中炸药形状约束为：

2．3．2 截面Γ＊中药型罩几何模型

图6为在装药长度方向的横截面Γ＊，以装药顶点O2为坐标基点，同样取两次曲面拟合药型罩的形状。

图6 装药长度方向横截面示意图Fig．6 Sketch of intersecting surface in explosive length

根据图6所示截面Γ＊中药型罩几何模型为：

截面Γ＊中药型罩的几何约束为：

截面Γ＊中炸药顶层几何模型为：

截面Γ＊中炸药形状约束为：

式中：t1（x）为药型罩最小厚度；y＊00是坐标原点坐标值，即y＊00＝0；y＊1（L）－y＊00≤H。

2．3．3 外壳几何模型约束

外壳形状可以理解为对炸药的均匀包裹，其厚度为m，根据一般理论决定m 的约束为：

m0≤m≤m1

2．4 建立目标函数

建立如下带二重分辨系数的最小二乘形式的目标函数，见式（11）：

式中：X 为设计变量

式中：fj（X）（j＝1，2，3，4）为数值模拟得到的LEFP形状中某个参考变量的值；Qj为理想LEFP中对应该参考变量的值；pi为各个组件组元对成型效果的贡献测度；Rj为第i个组件组元的所有设计变量对第j个参考变量的贡献测度。

3 优化算例及分析

利用ki（i＝3）得到药型罩、炸药和外壳厚度对LEFP成型的贡献测度p1、p2、p3，称为LEFP 系统优化方程的第一重分辨系数。所以LEFP系统的综合优化方程为：

通过添加边界条件后，经过程序运行，得到LEFP几何约束范围内的最佳设计几何特征组合，见表5；数值计算结果见表6。

表5 线性装药几何特征最佳设计Table 5 The optimum design of geometric features of linear sharped charges

表6 LEFP数值计算结果Table 6 Numerical simulation result of LEFP

由表6可看出，LEFP的头尾速度显著提高，且比较接近，因此使得速度梯度缩小，能够保证形成的LEFP 形体稳定，在飞行较远距离时不会拉断。然而，由于目标函数为综合每个子序列权重的最小二乘函数，所以每个尺寸相互牵制，进而只能通过前期灰度理论来分析和表现。另外，根据得到的药型罩、炸药以及外壳关联系数，药型罩的几何形状尺寸对LEFP成型影响更为明显，同时，在药型罩尺寸中，药型罩直径R 和厚度t尤为突出，即对头部速度的比较序列关联度系数大小关系为：R＞t＞a＞H。同样可对尾部速度、LEFP 长径比进行序列关联度系数比较。应用灰度理论与二次规划算法组合模型对LEFP战斗部装药结构及药型罩进行数值计算，结果见图7。

图7 数值计算LEFP成型结果Fig．7 Figure result of LEFP by numerical simulation

由图7可看出，LEFP 的外轮廓线近似符合预期形状曲线，这是因为在描述药型罩拉伸面母线时，选用在圆弧面的基础上加两阶多项式修正的函数形式，因此，修正项的阶次越高，越能更精确地描述拉伸面母线，实际设计时，对阶次的选择一般视设计结果而定［5］。

4 结 论

（1）从结构几何特征优化角度对LEFP 的几何特征实现优化，将成型装药看成一个由3个部分组成的系统装置，优化时同时全部考虑3个组件包含每个尺寸以及变尺度产生的优化效果。

（2）提出了灰度理论与二次规划算法组合模型和折算等效关联系数概念，没有直接将灰关联系数矩阵的元作为分辨系数，在计算分辨系数时从统计角度对灰关联系数矩阵的元素实行严格地归一化处理，获得了较为简洁的计算模型。

（3）结合灰度系统中灰关联系数理论，通过几何建模，运用变尺度二次规划算法对在两个正交截面内均有尺度变化的药型罩优化。对整个LEFP系统构造了一个包含二重分辨系数的优化函数，实现对药型罩、外壳、装药的同步优化，避免只对药型罩、外壳、装药单独优化并直接组合优化结果产生的系统耦合误差。也避免了分步优化造成的最优几何特征组合的遗漏。

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