水轮发电机稳态运行时的阻尼绕组电流谐波研究

李明哲， 戈宝军， 孙玉田， 李金香， 梁彬

(1.哈尔滨理工大学电气与电子工程学院，黑龙江哈尔滨150080;2.哈尔滨大电机研究所水力发电设备国家重点实验室，黑龙江哈尔滨150040)

0 引言

水轮发电机的阻尼绕组可以抑制转子的自由振荡，提高电力系统运行的稳定性。同时还可以削弱过电压，提高发电机承载不对称负荷的能力，并提高发电机自同期并入电网的能力［1］。阻尼条电流的谐波成分十分复杂，对发电机在运行过程中的振动、噪声和损耗等方面都会产生一定的影响。文献［2］在假设每根阻尼条电流有效值都相等的条件下，研究了阻尼条电流对电机磁动势的谐波产生的影响。文献［3－5］则利用间接测量法，获得了不同发电机内阻尼条电流的近似分布。文献［6］在考虑阻尼条电流近似分布的条件下，研究了阻尼条电流对电机磁动势谐波的影响。文献［7］介绍了一种全解析的方法，通过建立电机磁导解析模型来计算凸极同步电机的阻尼条谐波受力情况。文献［8－11］通过等效电路的方法，将阻尼绕组等效成交、直轴两套阻尼多回路，分析了阻尼绕组对电机短路电流的影响。文献［12］采用同样的方法，计算了发电机在故障状态下的阻尼条电流。随着数值法在电机电磁场分析领域内的进展，无法用解析法准确模拟的气隙磁导，可通过有限元的方法得以解决。文献［13］利用有限元法推导出气隙磁导的数学模型，将其用于发电机阻尼条电流的解析计算中。与全解析法相比，这种方法将解析法与有限元法相结合，能够更加准确模拟的定子开槽对气隙磁导所产生的影响，使阻尼条电流的计算更加准确。在此基础上，文献［14－17］建立包含电机相应横截面上所有阻尼条的等效多回路绕组，计算了阻尼条电流及其附加损耗。文献［18］对该多回路模型作了进一步的优化和完善。文献［19］采用完全时步有限元的方法计算了大型水轮发电机在额定工况和负序工况下的阻尼条电流。

本文在文献［20］中采用场路耦合的方法，建立包含电机定、转子相应截面上所有绕组组成的多回路，并结合2D有限元与3D有限元，计算了特殊端部结构电机的阻尼条电流。本文将利用文献［20］中的计算方法，计算分析了发电机在空载、额定负载以及稳态负序运行工况下阻尼条电流的谐波及其产生的原因，并对阻尼条电流各次谐波成分在不同阻尼条内的分布进行了分析和研究。

1 电机数学模型

为了计算发电机的阻尼绕组电流，把电机铁心段与端部分开考虑。铁心段用二维电磁场有限元计算方法，以动态矢量磁位A和电流密度向量J作为变量。二维有限元计算模型如图1所示。

图1 电机有限元计算模型Fig.1 FEM model of the generator

假设电机内电磁场是似稳场，忽略位移电流。并假设在电机铁心直线部分的二维电磁场中动态矢量磁位A和电流密度向量都只J有轴向分量Az和Jz，那么在应用洛仑兹条件后的二维时变场泊松方程的混合边值问题可以表示为

式中:μ为磁导率;ε为介电常数。

采用线性三角剖分单元，忽略有源电流区域的涡流，将上式离散可得

式中:p为微分算子;A为节点向量磁位矢量;Ib为电流矢量;Q、K为系数矩阵;C为线圈电流与单元节点的关联矩阵。

电机为全阻尼结构，假设一个单元电机内有n根阻尼条，每相邻两根阻尼条构成一个阻尼绕组回路。则电机内各回路的电压方程为

式中:U为电压列向量;I为电流列向量;R为电阻矩阵;Ψ为磁链列向量。

在本文的场路耦合数学模型中，回路磁链可分成两部分:铁心直线部分磁链与端部漏磁链，即

端部漏磁链

端部漏感矩阵

式中:Lse为定子回路端部漏感矩阵;Lfe为励磁绕组的端部漏感;LDe为阻尼绕组回路的端部漏感矩阵。

铁心直线段磁链可由有限元计算获得

式中:lef为电机铁心轴向有效长度;G为系数矩阵。据此，电机内回路电压方程(3)可变为

该状态方程内端部的电感系数需要采用文献［20］中介绍的方法求得。

图2 电机电路模型Fig.2 The circuit model of the generator

搭建电机仿真电路，如图2所示。电路可分为3个部分:电枢绕组回路、励磁绕组回路与阻尼绕组回路。图中虚线所包围部分内的电路为处于电机铁心段内区域的电路，其余部分为电机端部区域和电机外加边界条件。

图2(a)中，Coil－A、Coil－B、Coil－C 分别为电机铁心直线部分内A、B、C三相电枢绕组与有限元计算的耦合模型;Le为定子三相电枢绕组的端部漏感。图2(b)中，Coil－f为励磁绕组与有限元计算的耦合模型;Rfe、Lfe分别为励磁绕组端部电阻与漏感。图2(c)中，D－1、D－2、…、D－n分别表示电机铁心直线部分内的阻尼条;RDei、LDei(i=1，2，…，n)分别表示第i个阻尼回路中电机某侧端部的电阻与漏感。

根据图2(c)可以推导出阻尼条电流id－i与阻尼绕组回路电流之间的关系为

2 数学模型的试验验证

为了证明本文数学模型和计算方法的准确性，这里通过试验测量了该发电机在两相相间稳态短路工况下的阻尼条电流，并与利用前文数学模型所得的计算结果进行对比。试验电机如图3所示。该电机利用安装在电机阻尼条上的无线电流传感器可直接测量得到阻尼绕组电流在短路后的实时曲线。

图3 试验被测电机Fig.3 Tested machine

为了计算发电机在两相相间稳态短路时的阻尼条电流，令图2(a)中

通过前文场路耦合数学模型即可计算求出此时的阻尼条电流。

图4为电机发生空载两相相间稳态短路时采用本方法计算所得的阻尼绕组电流结果与实测结果的对比。阻尼条编号如图5所示。结果表明本文计算阻尼绕组电流与实测结果相吻合。

图4 阻尼条电流计算结果与试验结果的对比Fig.4 Comparison among the measured data and the calculated current in damper bars

图5 阻尼条编号示意图Fig.5 Sketch of the damper bar’s number

下面将对发电机在长时间稳定运行时的阻尼条电流进行分析。令图2(a)中电枢绕组回路内的三相电流分别为

式中，每相电流均分为两个部分:第一部分的系数为k1，三相电流相序为正序，所形成电枢反应磁场与转子转速大小相等、方向相同;第二部分的系数为k2，三相电流相序为负序，所形成的电枢反应磁场与转子转速大小相等，方向相反。

为了分别研究电机内不同磁场对阻尼条电流产生的影响，这里建立了3种运行工况，如表1所示。

表1 电机运行工况Table 1 the operating conditions

工况1:三相电枢绕组电流为零，相当于发电机的空载运行。工况2:三相电枢绕组电流为额定正序电流，相当于发电机额定运行工况。工况3:三相电枢绕组电流中仅存在负序分量，负序电流大小为额定电流的12%。该工况只是为了单独分析负序磁场对阻尼条电流产生的影响而建立的模拟工况。选择负序电流为额定电流的12%，是因为12%为国内行业标准中规定的临界值。

3 工况1的阻尼条电流分析

该工况电机电枢绕组电流为零，相当于发电机空载运行。此时电机内磁场只有励磁电流产生的主磁场。忽略漏磁，并假设主磁场产生的所有磁通都从极靴顶部进入气隙，那么图2(c)中的第i个阻尼绕组回路所穿过的的磁通φDi为

式中:N为励磁绕组匝数;If为励磁绕组电流;ΛDi为穿过第i个阻尼绕组回路磁通所经磁路的磁导。

该阻尼绕组回路所产生的感应电势为

因为忽略漏磁的影响，因此这里ΛDi只包括气隙磁导 Λδi与铁心磁导 ΛFei两部分，即

于是，式(13)可整理成

假设进入定子铁心的磁力线全部沿齿顶垂直进入，也就是定、转子铁心磁路的磁导都不受定、转子相对位置的变化而改变，即

受定子开槽的影响，Λδi大小随转子位置的不同而改变，即 Λδi= Λδi(θr)，θr为转子位置电角度。若以360°电角度为一个周期，那么Λδi可以写成傅里叶级数表达形式为

式中:ωr为转子电角速度，Λ0i为第i个阻尼绕组回路所对应的等效均匀气隙磁导，Λni为第i个阻尼绕组回路所对应的n阶气隙磁导幅值，Zs为定子槽数，p为转子极对数。

观察式(18)可知，水轮发电机在空载运行时，阻尼绕组回路的感应电势受以下因素的影响:

1)阻尼绕组回路感应电势的频率只能为kZsωr/p。

2)当电机转速恒定，且忽略饱和影响时，阻尼绕组回路感应电势有效值与NIf成正比。

3)阻尼绕组回路感应电势大小与跟电机内主磁路的各部分磁导有关。

4)当电机内磁场出现饱和时，阻尼绕组回路感应电势会随铁心磁导ΛFei的减小而降低。

为了便于阐述，将阻尼条感应电势或电流中频率等于kZsωr/p的谐波成分定义为齿频谐波。

3.1 阻尼条电流的谐波分析

假设图2(c)中第i个阻尼绕组回路的v次感应电势与电流分别为，忽略阻尼条电阻则

其中:

式中:LDii为图2(c)中第i个阻尼绕组回路的自感;MDij为第i个阻尼绕组回路对第j个回路的互感，MDij=MDji。

由于电感矩阵L为可逆矩阵，因此每个阻尼绕组回路电流的v次谐波计算公式为

每根阻尼条电流的v次谐波

可见阻尼条电流谐波幅值不仅受该阻尼条所属阻尼绕组回路(图2)的感应电势的影响，还与阻尼绕组回路的电感系数矩阵有关。

本文电机模型Zs/p=15，因此该电机在此工况下的阻尼条电流中应只含有15及其倍数次的谐波成份。图6(a)所示为3号阻尼条电流随时间变化曲线，图6(b)所示为3号阻尼条电流的谐波分布，图中的横坐标的第0次表示电流的直流分量。

图6 工况1时3号阻尼条电流Fig.6 Current in the 3rddamper bar under the 1stoperating condition

阻尼条感应电流中只含有15及其倍数次的谐波。这与前文的推论吻合。

3.2 电流谐波在不同阻尼条内的分布

图7为一个磁极内每根阻尼条电流的各次谐波幅值分布。

图7 一个磁极内阻尼条电流的15、30次谐波分布(工况1)Fig.7 The 15thand the 30thharmonics of current in the damper bars of one pole under the 1stoperating condition

观察上图可以发现，磁极两侧阻尼条电流幅值要大于磁极中间阻尼条。这是因为当电机内磁场出现饱和时，磁极两侧饱和程度最低。磁极两侧阻尼条所属的阻尼绕组回路对应磁路的铁心磁导ΛFe最大。因此图中1号、6号阻尼条电流的各次谐波幅值要明显大于其他阻尼条。

4 工况2的阻尼条电流分析

本工况除施加了正序磁场以外，其余条件都与工况1相同。

若忽略正序磁势的高次谐波，此时气隙磁场为励磁电流形成的主磁场与正序基波磁场叠加的结果，即

相对转子，Fm与f1均恒定不变。此时图2(c)中第i个阻尼绕组回路的感应电势为

与主磁场类似，正序磁场基波成分虽然相对转子静止，但也会在阻尼绕组回路中产生齿频感应电势。

4.1 阻尼条电流的谐波分析

本文电机每极每相槽数为2.5，因此该电机正序磁场的磁动势含有除3及其倍数次以外的所有谐波成分，即:1，－2，4，－5，7，…。其中带负号的谐波旋转方向与转子旋转方向相反，不带负号的谐波旋转方向与转子旋转方向相同。当转子以同步转速运动时，转子与正序磁动势的基波相对静止，正序磁动势的－2与4次谐波在转子上会产生3次谐波电流，－5与7次谐波在转子上会产生6次谐波电流。以此类推，可知正序磁动势在该电机转子上产生的谐波电流次数为3及其倍数次。

图8 工况2时3号阻尼条电流Fig.8 Current in the 3rddamper bar under the 2ndoperating condition

阻尼条电流计算方法与式(21)相同。图8所示为此时3号阻尼条电流的计算结果及其谐波分布。谐波分布图中横坐标的第0次表示电流的直流分量。

观察上图可知，正序磁场的出现对本文计算电机的阻尼条电流产生了如下影响:

1)增加了3及其倍数次的谐波。这是由正序磁场的高次谐波在转子阻尼条内感应产生的。

2)阻尼条内的感应电流齿频谐波幅值减小。这是由于正序基波磁场对发电机主磁场的去磁作用导致的。

4.2 电流谐波在不同阻尼条内的分布

正序磁场在气隙空间内的基波磁势为

式中θs为电角度，是气隙内某点与正序磁场基波磁势最大位置处的夹角。若将坐标系由定子转换为转子，则

可见此时阻尼条感应电流的齿频谐波幅值还取决于定子正序磁场与转子主磁场之间的夹角，即内功率因数角ψ0。下面计算了该发电机阻尼条电流15次谐波受ψ0影响的变化曲线。计算结果如图9所示。

观察图9可知，阻尼条感应电流幅值受ψ0的影响很大。当正序磁场对主磁场产生去磁作用时，阻尼条电流幅值降低，当正序磁场对主磁场产生增磁作用时，阻尼条电流幅值增大。

图9 3号阻尼条电流15次谐波幅值随ψ0的变化曲线Fig.9 Current in the 3rddamper bar versus ψ0under the 2ndoperating condition

图10所示为一个磁极内6根阻尼条电流的15次谐波分布，与图9中的曲线的分布规律基本吻合。

图10 一个磁极内阻尼条15次谐波幅值分布(工况2)Fig.10 The 15thharmonic of current in the damper bars of one pole under the 2ndoperating condition

5 工况3的阻尼条电流分析

本工况除施加了负序磁场以外，其余条件都与工况1相同。负序电流形成的磁场(以下简称负序磁场)相对转子以同步转速沿相反方向运动，因此在阻尼条内会产生2倍频的感应电势与电流。此外受定子开槽的影响，负序磁场同样会在阻尼绕组电流中产生相应频次的谐波成分。

5.1 阻尼条电流的谐波分析

此时电枢绕组磁动势含有与正序磁动势相同频次的谐波成分，旋转方向与正序磁势的方向相反，即谐波次数包括:－1，2，－4，5，－7，8，…。其中带负号的谐波旋转方向与转子旋转方向相反，不带负号的谐波旋转方向与转子旋转方向相同。相应的，负序磁场各频次谐波在转子上会产生的谐波电流频次为:2，1，5，4，8，7，…。由于这些频次的谐波幅值与阻尼绕组电流的2次谐波和齿频谐波成分相比都很小，因此在工程计算时可忽略不计。

图11所示为此时3号阻尼条电流的计算结果及其谐波分布。谐波分布图中的横坐标的第0次表示电流的直流分量。

与工况1相比，此时图中出现了2的倍数次谐波和13、17次谐波。其中2的倍数次谐波是由于负序磁场相对阻尼条以2倍同步转速旋转引起的。13、17次谐波则分别由电枢绕组磁动势中的一阶齿谐波14、－16次在转子上感应产生。

图11 工况3时3号阻尼条电流Fig.11 Current in the 3rddamper bar under the 3rd operating condition

为了观察负序磁场的变化对各次谐波的影响，本文计算了阻尼条电流的各次谐波幅值与负序电流幅值的变化关系曲线，如图12所示，图中横坐标为式(11)中的负序电流系数k2，曲线数字标记为谐波次数。

图中阻尼条电流中的15次谐波在负序电流较小时，为恒定值。当磁场出现饱和后，15次谐波幅值则开始减小。2次谐波随负序电流的增加而增大，其变化曲线与电机铁心材料的磁化曲线形状相似。其他各次谐波变化情况则比较复杂，并不随负序电流的增加而简单增大或减小。

图12 3号阻尼条电流谐波随负序电流变化曲线Fig.12 Harmonics of the current in the 3rddamper bar vs.the negative sequence current

5.2 电流谐波在不同阻尼条内的分布

工况3条件下，一个磁极内6根阻尼条电流的谐波幅值分布如图13所示。

图13 一个磁极内阻尼条电流的各次谐波分布Fig.13 The harmonics of current in the damper bars of one pole under the 3rdoperating condition

与工况1相比，图中的15次谐波分布出现了变化。可见此时磁场的饱和已经开始对该次谐波的分布产生影响。当磁场出现饱和时，无论是阻尼绕组回路的感应电势，还是阻尼绕组回路的电感矩阵，都出现了变化。由于饱和的影响使得电机内磁场分布比较复杂，因此此时阻尼绕组电流的分布变得没有太明显的分布规律。

6 结论

1)本文对水轮发电机在稳态运行工况下的阻尼条电流谐波进行了研究。首先通过试验对本文计算方法进行了验证。然后分别研究了电机的主磁场、正序磁场和负序磁场对阻尼条电流及其各次谐波所产生的影响。

2)文中证明水轮发电机内的主磁场在阻尼条内会产生齿频谐波电流。电枢绕组电流正序分量所产生的正序磁场在阻尼绕组内也会产生同样频率的电流，该电流幅值与阻尼条相对正序磁场的空间位置有关。同时正序磁场磁势谐波也会在阻尼条内产生相应频次的感应电流。

3)电枢绕组电流所产生的负序磁场基波成分会在阻尼条内产生频率为转子同步角频率偶次倍的感应电流。同时，负序磁势的齿谐波也会在阻尼条内产生相应频次的感应电流。随着电枢绕组电流负序分量的增加，阻尼条电流的各次谐波呈现不同的变化规律。其中2次谐波随负序电流增加而增大，曲线变化规律与电机铁心材料的磁化曲线相一致。

［1］李明哲，孙玉田，范吉松，等.大型水轮发电机稳态负序能力的研究［J］.大电机技术，2011，7:59－62.LI Mingzhe，SUN Yutian，FAN Jisong，et al.The research of the steady negative sequence capacity of the large hydro generator［J］.Large Electric Machine and Hydraulic Turbine，2011，7:59 －62.

［2］LIWSCHITZ-GARIK M M.Harmonics of the salient-pole synchronous machine and their effects part I.MMF harmonics produced by the armature and damper winding［J］.AIEE Transactions，1956，75:35 －39.

［3］BRUDERLINK R.Current distribution in the damper bars of synchronous machines［J］.Siemens-Zeitschrift，Erlangen，1936，16:133.

［4］SCHUISKY W.Current distribution in the starting cage of the synchronous motor［J］.Elektrotechnik und Maschinenbau，1940，58:93.

［5］POELLOT O E.Current distribution in the damper bars of salient ole synchronous machines during starting［J］.Archiv fur Elecktrotechnik，Berlin-charlottenbug，1942，60:656.

［6］LIWSCHITZ-GARIK M M.Harmonics of the salient-pole synchronous machine and their effects part III.differential leakage of the damper winding with respect to the main wave.Current distribution in the damper bars［J］.Transactions on American Institute E-lectrical Engineering，Part III Power Application System，1958，77(3):462－469.

［7］WALKER J H，KERRUISH N.Open circuit noise in synchronous machines［J］.Proceeding of the IEEE，1960，107(36):505－512.

［8］FUCHS E F，ERDELYI E A.Determination of waterwheel alternator steady-state reactances from flux plots［J］.IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems，1972，PAS － 91:2510－2527.

［9］FUCHS E F，ERDELYI E A.Determination of waterwheel alternator transient reactances from flux plots［J］.IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems，1972，PAS－91:1795 －1802.

［10］FUCHS E F，ERDELYI E A.Nonlinear salient pole alternator subtransient reactances and damper winding currents［C］//IEEE PES Winter Meeting，1974，New York，USA.1974:1871－1878.

［11］CANAY I M.Calculation of negative-sequence losses and negative sequence resistance of turbogenerators［J］.IEEE Transactions on Power Systems，1975，94(3):764 －773.

［12］KULIG T S，BUCKLEY G W，LAMBRECHT D，et al.A new approach to determine transient generator winding and damper currents in case of internal and external faults and abnormal operation，Part 3:Results［J］.IEEE Transactions on Energy Conversion，1990，5(1):70 －78.

［13］TOADER S.Combined analytical and finite element approach to the field harmonics and magnetic forces in synchronous machines［C］//Proceedings of the International Conference on Electrical Machines(ICEM)，1994，Paris，France.1994:583 －588.

［14］KNIGHT A M，KARMAKER H，WEEBER K.Prediction of damper winding currents and force harmonic components in large synchronous machines［C］//Proceedings of the 15th International Conference on Electrical Machines(ICEM)，2002，Brugge，Belgium.2002:35.

［15］KNIGHT A M，KARMAKER H，WEEBER K.Use of a permeance model to predict force harmonic components and damper winding effects in salient-pole synchronous machines［J］.IEEE Transactions on Energy Conversion，2002，17(4):478 －484.

［16］KARMAKER H，KNIGHT A M.Fields，damper currents and losses in large salient-pole synchronous machines with skewed stator slots［C］//Proceedings of the 16th International Conference on Electrical Machines(ICEM)，2004，Cracow，Poland.2004:1－5.

［17］KARMAKER H，KNIGHT A M.Investigation and simulation of fields in large salient-pole synchronous machines with skewed stator slots［J］.IEEE Transactions on Energy Conversion，2005，20(3):604－610.

［18］GEORG Traxler-Samek，THOMAS Lugand，ALEXANDER Schwery.Additional losses in the damper winding of large hydrogenerators at open-circuit and load conditions［J］.IEEE Transactions on Industrial Electronics.2010，57(1):154 －160.

［19］LIANG Yanping，SUN Yutian，YAO Qingshuang，et al.Calculation of electromagnetic force on damper windings for 1000MW hydro-generator using time-stepping FEM［C］//International Council on Large Electric Systems，2012，Paris，France.2012:A1－104.

［20］戈宝军，李明哲，孙玉田，等.同步发电机不对称运行工况阻尼绕组电流的计算［J］.中国电机工程学报.2013，33(27):154－160.GE Bajun，LI Mingzhe，SUN Yutian，et al.Calculation of the damper winding currents for synchronous generator in asymmetric conditions［J］.Proceedings of the CSEE，2013，33(27):154－160.