一类高阶线性微分方程解在角域上的增长性

杨碧珑，易才凤

(江西师范大学数学与信息科学学院，江西南昌330022)

0 引言与结果

本文使用Nevanlinna值分布理论的标准记号［1-2］，以 T(r，f)记亚纯函数f(z)的特征函数，N(r，f=a)表示函数f(z)的a值点的密值量，ρ(f)和μ(f)分别表示f(z)的级与下级，用δ(a，f)表示函数f(z)在点a的亏量等.

关于亚纯系数高阶线性微分方程

非零解在全平面上的增长性已有很多研究，本文主要讨论此类方程的解在某些角域上的增长性.

论文的证明需要用到角域上特征函数的相关性质［3-4］.

假设f(z)是角域Ω(α，β)上的亚纯函数，其中

亚纯函数f(z)在角域Ω(α，β)上的增长级和下级依次定义为

下面定义角域上的Ahlfors-Shimizu特征函数［5］，令

定义

并运用Ahlfors-Shimizu特征函数定义了f(z)在角域Ω(α，β)上的级和下级:

然而这2种不同定义的增长级存在一定的联系，根据文献［6］中证明的不等式

其中 Ω= Ω(α，β)，ω= π(β - α)，容易知道，若则σαβ(f)＜∞.若{αj，βj}(j=1，2，…，q)为 q 组实数，满足

定理A［7］设A0(z)于开平面亚纯，具有非零的增长级ρ(0＜ρ≤∞)，其下级μ=μ(A0)＜∞，在∞的亏量δ= δ(∞，A0)＞ 0.{αj，βj}(j=1，2，…，q)为满足(3)式的 q组实数，并且，其中σ ＞ 0，μ≤σ≤ρ.若A(z)(j=j1，2，…，k)于开平面亚纯且 T(r，Aj)=o(T(r，A0))，则方程

的每1个非零解f(z)有σX(f)=+∞，其中αj≤argz≤βj}.

自然会问:当A0(z)为具有有限亏值的亚纯函数时，方程(1)是否也有相同的结论?下面的定理回答了上述问题.

定理1 设A0(z)为ρ=ρ(A0)级亚纯函数，其下级μ=μ(A0)＜∞，极点收敛指数λ=λ(1/A0)＜ρ，存 在 有 限 亏 值 a，δ= δ(a，A0) ＞ 0.{αj，βj}(j=1，2，…，q)为满足(3)式的 q组实数，令ω=max{π/(β1-α1)，…，π/(βq-αq)}，且ω＜ρ，，其中 σ＞ 0，max{ω，μ，λ}＜ σ≤ρ.若Aj(z)(j=1，2，…，k-1)于开平面亚纯且ρ(Aj)=0，则方程

1 引理

为了证明定理，还需要下面的相关记号和引理.

引理1［8］设f(z)为角域上的有限ρ级亚纯函数，令 Γ={(n1，m1)，(n2，m2)，…，(nj，mj)}表示满足ni＞mi≥0(i=1，2，…，j)的不同整数对的有限集合，设ε＞0及δ＞0为给定的正常数，则存在只与f，ε，δ有关的常数k＞0，使得

对所有(n，m)∈Γ 成立，其中z=reiφ∈Ω(α +δ，β-δ)且z∉D，D为由半径之和为有限的可数个圆盘构成的R-集，其中kδ=π/(β-α-2δ).

引理2［6，9］设f(z)为开平面上的超越亚纯函数，下级μ和级ρ分别满足μ＜∞ 和0＜ρ≤∞，则对任意满足μ≤σ≤ρ的正数σ和1个线性测度为有限的集合E，存在1个正数序列{rn}满足以下条件:

(iii)T(t，f)≤(1+o(1))(2t/rn)σT(rn/2，f)，t∈［rn/n，nrn］，并称满足上述条件的序列{rn}为f(z)在除集E外的σ级Pólya峰序列.

设f(z)为开平面上的亚纯函数，a为复常数，令

引理3［10］设f(z)为开平面上的超越亚纯函数，下级μ和级ρ分别满足μ＜∞ 和0＜ρ≤∞，若f(z)具有亏值a∈c^=c∪{∞}，δ= δ(a，f)＞0，则对f(z)的任一σ(μ≤σ≤ρ)级Pólya峰序列{rn}有

引理4［11］设f(z)为开平面上的亚纯函数，Ω(α，β)为开平面上的任一角域，0＜β-α≤2π，则对任意复数a≠∞，有Sαβ(r，1/(f-a))=Sαβ(r，f)+ε(r，a)，其中 ε(r，a)= Ο(1)(r→∞).

引理5［12］设f(z)为开平面上的亚纯函数，当f(0)≠∞时，

当f(0)=∞时，

其中C-m表示f(z)在z=0点邻域内展式中的首项非零系数.

2 定理的证明

由方程(1)有

(i)若max{ω，μ，λ}＜σ＜ρ.

由引理1可知，对上述ε和对给定的ε0＞0以及充分大的N，对每个j存在ηj满足

和只与 f，ε0，ηj有关的常数 h ＞ 0，使得当 z=reiφ∈Ω(αj+ηj，βj-ηj)，z∉ D 时，对所以的(n，m)∈ Γ有

其中kδ= π/(βj-αj-2ηj)，D为引理1给出的R-集.

特别地，当z=reiφ∈Ω(αj+2ηj，βj-2ηj)时上式成立，且φ-αj-ηj＞ηj＞0，此时l(l为某一常数)，所以当z=reiφ∈Ω(αj+2ηj，βj-2ηj)，z∉D时，∃M ＞ 0，不依赖z，使得

对A0(z)应用引理2，∃σ+2ε级Pólya峰序列{rn}，使

其中rn∉F.

由引理3，对充分大的n有

但由0＜δ＜1，1/2≤ω＜σ可知，

则可得

不妨设对所有n都成立，若不然只须取其子列代替.当n充分大时，有

令 Dn=(αj0+ ε，βj0- ε)D'(rn)，En=D(rn，a)∩ Dn，由 D(rn，a)的定义可知

又设 B1:argz= αj0+ ε'，B2:argz= βj0- ε'为由原点发出的2条半直线，当rn充分大时，取ε'∈(ε/3，2ε/3)使得B1，B2只与 D 中的有限个圆盘相交，令B2∩D}，则measM1＜+∞，measM2＜+∞.

由 Bαβ(r，f)的定义可得

即得

其中ωj0= π(βj0-αj0-2ε').

又由引理4可得

由rn∉F及B1，B2只与D中的有限个圆盘相交可得

又由于

由(5)式，令 z=rei(αj0+ε')，当 r∈［1，rn］M1时，有

即可得

同理可得

即得

又由z=rneiθ∈Ω(αj0+ ε'，βj0- ε')⊆Ω(αj+2ηj，βj-2ηj)可知，有，则可得Bαj0+ε'，βj0-ε'(rn，f(j)/f)=O(1)，即得

对Aj(z)(j=1，2，…，k)应用不等式(2)

其中 Ω= Ω(αj0+ ε'，βj0- ε')，ω= π/(βj0-αj0-2ε')，由引理5 可知 T0(r，f)=T(r，f)+O(1)，则Dαj0+ε'，βj0-ε'(rn，Aj)≤Sαj0+ε'，βj0-ε'(rn，Aj)=O(T0(rn，Ω，Aj))=O(T0(rn，Aj))=O(T(rn，Aj)).

从而

则

将(11)～(12)代入(10)式，再由(9)式可得

再联立(8)式可得

因

由(6)式及(13)式可得

矛盾.

(ii)若σ=ρ时，对A0(z)应用引理2，存在σ级Pólya峰序列{rn}，使

其中rn∉F.

在(4)式和(7)式处用σ代替σ+2ε，其余过程同(i)得σ＜σ矛盾.故综合(i)、(ii)，定理1得证.

关于方程的无穷级解的研究，还有许多有意义的结果.如文［13-14］等就是对方程的某些系数给定一定的条件，证明了方程的非零解为无穷级.

［1］Hayman W K.Meromorphic function［M］.Oxford:Clarendon Press，1964.

［2］杨乐.值分布论及其新研究［M］.北京:科学出版社，1982.

［3］GoldbergAA，OstrovskiiIV.The distribution of values ofmeromorphic functions［M］.Russian:Izdat Nauk Moscow，1970.

［4］Nevannlinna R.Uber die eigenschaftenmeromorpher funktionen in einem winklraum［J］.Acta Soc Sci Fenn，1925，50(12):1-45.

［5］Tsuji M.Potential theory inmodern function theory［M］.Tokyo:Maruzen Co LTD，1959.

［6］Zheng Jianhua.Value Distribution ofmeromorphic Functions［M］.Berlin:Springer-Verlag，2010.

［7］Wu Nan.Growth of solutions to higher order linear homogeneous differential equations in angular domains［J］.Electronic Journal of Differential Equations，2010，164(1):1-7.

［8］Wu Shengjian.Estimates for thelogarithmic derivative of ameromorphic function in an angle and their application［C］.Nankai:Proceeding ofInternational Conference on ComplexAnalysis at the NankaiInstitute of Mathematics，International，1992:235-241.

［9］ Wu Shengjian.On transcendentalmeromorphic fuction with radially distributed values［J］.China SerA Math，2004，47(3):401-416.

［10］BaersteinA.Proof of edrei’s spead conjecture［J］.Proc London Math Soc，1973，26(3):418-434.

［11］Wu Shengjian.On the location of zeros of solution of f″+Af=0 whereA(z)is entire ［J］.Math Scand，1994，14(2):293-312.

［12］张广厚.整函数和亚纯函数理论［M］.北京:科学出版社，1986.

［13］涂金，刘翠云，徐洪焱.亚纯函数相对于 φ(r)的［p，q］增长级［J］.江西师范大学学报:自然科学版，2012，36(1):47-50.

［14］石磊，易才凤.一类高阶线性微分方程解的增长性［J］.江西师范大学学报:自然科学版，2012，36(3):230-233.