有界闭区域中的随机取点方法及Mathematica 软件实现

王晓刚，李德才

(扬州职业大学，江苏 扬州 225009)

地质勘探、环境监测等工程应用领域中，经常需要在一个有界闭区域中按随机抽样原则随机取点。所谓简单随机抽样原则，就是对于该区域的一个子区域D1而言，所抽到的点落在D1中的概率仅与D1的测度有关，而与所处位置与形状无关。

1 基础理论

其中，变量X 的边缘概率密度是

记随机函数的返回值为ξ，则ξ 服从区间［0，1］上的均匀分布，概率密度是

设g 从ξ 到X 的映射X=g(ξ)，其中g 单调递增可微，则fξ(g-1(x))·(g-1(x))' =fX(x)且g(0)=a，g(1)=b，解得

由ξ 值利用式(4)解出X 值，Y 在X 取定后的条件分布是区间［φ1(X)，φ2(X)］上的均匀分布，再次利用随机函数得到一个返回值η，可按照式(5)所示的线性变换得到Y 值。［1］

2 应用实例

其次，再次利用随机数函数Random［］返回一个［0，1］间的随机数，作为η 的赋值，假设操作结果是η=0.3328，利用式(5)得到相应的Y 值为Y = - 0.3338，从而得到区域D 内任一点(0.3328，-0.3338)。

3 三维拓展

下面以一个实例说明如何利用随机函数Random［］在三维有界区域中随机取点。

将区域V 表示成

其中，变量X 的边缘概率密度函数是

［1］ 盛骤，谢式千.概率论与数理统计［M］.北京:高等教育出版社，2001.

［2］ 张宝善.Mathematica 符号运算与数学实验［M］.南京:南京大学出版社，2007.