高分辨阵列测向技术及其仿真

2014-01-18陈悦龙

四川职业技术学院学报 2014年2期

关键词：信号源协方差特征值

陈悦龙

（电子科技大学通信与信息工程学院,四川成都 610054）

1 MUSIC算法

1.1 阵列协方差矩阵的特征分解

由矩阵特征分解理论，可以特征分解阵列协方差矩阵.最初设想理想环境，即无噪声的情况:

由均匀线阵得出，矩阵A是由上式所定义的范德蒙德(Vandemonde)矩阵，只需要:

则，此矩阵各列之间相互独立，如果R为非奇异矩阵（各信号源两两不相关），且M＞D，则有：

即RX是Hemr tie矩阵，其特征值均为实数.又因为RS是正定矩阵，ARSAH是半正定矩阵，其中有D个特征值为正，M-D个特征值为零.

其次考虑有噪声的情况

由于σ2＞0，RS为满秩阵，所以RX有M个正的实数特征值 λ1，λ2,…,λM，分别相当于 M个特征向量v1,,v2,…,vM.又因为RX是Hemriet矩阵，所以特征向量互相是正交的[11]，即

只有D个特征值与信号相关，分别与矩阵ARSAH的各特征值与σ2之和相等，剩下的M-D个特征值为σ2，这表示，σ2是RX的最小特征值，它是M-D维的.相关的特征向量v1,v2,…,vM中，也同样有D个与信号相关，此外M-D个与噪声相关，在下一节里，将利用以上这些特征分解的理论求出信号源的波达方向θk.

1.2 MUSIC算法的实现

MUSIC算法的实现步骤:

(1)从N个接收信号矢量可以得出以下协方差矩阵的估计值:

对上式的协方差矩阵的特征值进行分解

(2)按照特征值的大小顺序排序，把同信号个数D等量的特征值和相关的特征向量当作信号空间，余下的M-D个特征值和特征向量当作噪声空间。则得出噪声矩阵En:

1.3 MUSIC算法程序代码

由图1-3所示，图像呈现一个明显的波峰，由上述公式推导得出，波达方向的估计值在12度左右.由此图可以看出，MUSIC算法可以清晰和准确的对信号源DOA进行估计.

1.4 修正MUSIC算法对信号DO A的估计

MUSIC算法是对信号源DOA的估计，通过对阵列接收到的信号协方差矩阵进行特征分解来估计波达方向的.然而，如果信号源中有某些源是相干的，相干的几个信号就有可能合成一个信号，阵列接收的独立的信号源将减少，即阵列输出信号协方差秩序rank＜p，对信号协方差矩阵进行特征值分解后，有些相干源的方向矢量不正交于噪声子空间，信号零点不出现.所以，有些源在空间谱曲线中将不呈现峰值，这就会引起系统误差.对于小信噪比以及角度相隔比较近的信号，它们的阵列信号协方差矩阵进行特征值分解后同样会出现类似的情况，从而不能准确地估计信号的DOA.因此要对MUSIC算法进行改进，就是要对阵列输出信号协方差矩阵进行处理，使信号协方差的秩恢复为rank=p，使之能有效地估计出信号的DOA.

如图1-4所示，改进算法有更明显的谱峰，从而更有利于目标的分辨，特别是对于小信噪比信号.此外，利用MUSIC算法进行DOA估计时，随着信号信噪比的提高，对于相隔比较近的来波信号的估计有明显的改善.

由以上讨论可知，修正MUSIC算法与普通MUSIC算法形式完全一样，都是利用空间谱函数来对信号进行DOA估计地，只是修正MUSIC算法对用于求特征分解的协方差矩阵先进行处理，对其进行低秩逼近，使协方差矩阵满秩，以使信号子空间不渗透到噪声子空间去，从而使它们能够充分正交，达到对信号DOA进行有效估计.这样其实等效于提高了信噪比，同时也对特征根重新进行了排列，因而有助于减小DOA估计的方差.

2 ESPRIT算法

2.1 E SPRI T算法的实现

假设一个包含M个阵元的非立体传感器接收阵列.每个阵元偶包含两个相同响应特点的阵列，这两个阵元间有已知位移矢量Δ的距离.若有K≤M个独立、足够远的信号源同时以同一平面入射到此阵列上，通过空间谱估计理论，若这些信号源的中心角频率w0相同，且w0已知，此外所有信号源都为零均值的随机过程.则不同信号源可用其到达方向θk来表征.假设所有2M个阵元上都有与信号独立的零均值，方差为σ2的独立白高斯随机过程[4].

为了直观的叙述阵列的移不变特性，我们把阵列分成两个平移矢量为Δ的子阵Zx和Zy，分别的x1,x2,…,xM和y1,y2,…,yM来表示阵源偶.第i个阵元偶上两个阵元的输出信号可分别表示为：

其中Sk(t)，k=1，2，…，k为子阵Zx的参考阵元接收到的第k个信号，θk为第k个信号的相对平移矢量Δ的到达方向.αi(θk)为任意一个子阵列中的第i个阵元对第k个信号源的幅度响应，C为电波在介质中的传播速度，将两个子阵列的每个阵元t时刻的输出信号进行重组，两个子阵列的输出信号矢量表达式即可表示为[14]：

矩阵Φ为K×K的对角矩阵，其对角元素为K个信号的波在任意一个阵元偶之间产生的相位延迟，表示为：

矩阵Φ为把子阵Zx和Zy的输出联系起来的一个酉阵，也就是旋转算子.矩阵Φ为酉阵是因子阵互为平移阵列对，假设的信号为窄带信号.因而，子阵的移不变性促成了两子阵信号的旋转不变性，子阵信号即为所得.等效于Zx阵的输入信号与一个旋转因子Φ相乘得到，或通过信号子空间旋转得到.由上式可见，若能得到Φ矩阵，其对角元素通过计算即可得到信号到达角θk.把两个子阵的输出加以组合，即可得到整个阵列的输出信号矢量Z(t)为：

根据数据矩阵Z我们可以估计信号源的个数K以及到达角θK，因此必须对矩阵Φ进行估计.ESPRIT算法的基本思想是研究因为阵列的移不变特性而引起的信号子空间的旋转不变性来确定信号源的方向.而信号子空间是由上面提到的矩阵X和Y张成的，X和Y组成了维数相同的K维信号子空间，即矩阵A的列向量组成的空间，但Y组成的信号子空间比X组成的信号子空间多旋转了一个空间相位μK.当然噪声的干扰，数据矩阵X和Y也组成了另一个信号子空间，即噪声子空间，此空间为正交子空间.

用阵列求出的自相关矩阵的特征分解来描述信号子空间和噪声子空间的概念也是可行的.阵列输出信号矩阵Z的自相关矩阵为：

其中，E{.}表示求期望，Rzz为到达的空间信号的自相关矩阵，σ2为每个阵元上的噪声方差.为K维满秩矩阵（假设各信号互不相关），且矩阵A的列向量之间线性独立（假设各信号到达角θk互不相同），即子阵列流形是非模糊的.自相关矩阵的特征分解为:

其中Ψ=T-1ΦT.至此可知，Ex和Ey组成的子空间相似，且矩阵Φ的对角元素为Ψ的特征值.如果阵列流型A是满秩矩阵，则可以得到:

所以上式中Ψ的特征值组成的对角阵一定等于Φ，而矩阵T的各列就是矩阵Ψ的特征矢量.所以一旦得到上述的旋转不变关系矩阵Ψ，就可以直接得到信号的入射角度.

2.2 E SPR I T算法程序代码

从图2-1，图2-2，图2-3中可以看出，随着采样点数的增加，估计误差会越来越小，得到的信号到达角度会越来越接近真实值，即估计精度会越来越高.

2.3 各参数对分析误差的影响

2.3.1 信噪比SNR对估计误差的影响分析

首先对信噪比SNR离散化取值，然后求得不同信噪比下的误差，从而绘制出误差随信噪比改变的函数曲线如上图所示，上图中中信噪比SNR从-15取到15，间隔为1，运行次数为100次，从中可以清晰的看出，随着信噪比的增大，估计的误差会减小，估计精度会越来越好.

2.3.2 阵元数L对估计误差的影响分析

首先对阵元数L离散化取值，然后求得不同阵元数下的误差，从而绘制出误差随阵元数改变的函数曲线如上图所示，上图中阵元数从K+1取到K+25，间隔为1运行次数为100次.随着阵元数的增加，估计误差会越来越小，即估计精度会越来越高，但当阵元数大到一定程度后，对估计精度的影响则会慢慢的减小.

2.3.3 两信号之间的角度差（GAP）对估计误差的影响分析

由于采用ESPRIT算法对DOA进行估计，若两信号的方位距离较近时，虽然能得出估计结果，但估计的精度会大受影响.因此，为了分析两信号之间的不同间隔会对估计精度造成多大的影响，绘制不同GAP下的估计误差曲线如上图所示.其中GAP（单位为度）从0.1取到5，间隔为0.1，独立运行次数为100次。由图可知，GAP越大估计越准确，但当GAP大到一定程度后则估计精度趋于稳定.

2.3.4 快拍数对估计误差的影响分析

为了分析快拍数会对估计精度造成什么影响，绘制在不同快拍数下的估计误差曲线如下图所示。其中快拍数从0到200间隔为20，独立运行次数为100次快拍数K越大估计越准确，但当K大到一定程度后则估计精度趋于稳定.