向量问题的常见求解策略

刘胜林

一、利用平面向量的数量积运算求解参数值

平面向量数量积是平面向量中的一大有力武器.利用向量的数量积及线性运算来建立参数的方程，进而求其参数，是求解与向量有关的参数取值的一种重要手段.

例1 （2013年高考全国新课标Ⅰ卷理科卷第13题）已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c=ta+（1-t）b.若b·c=0，则t=____.

解 由b·c=0，可知b·[ta+（1-t）b]=0，即ta·b+（1-t）b2=0.又向量a，b均为单位向量，且夹角为60°，所以a·b=1×1·cos 60°= ，b2=|b|2=1.所以 t+1-t=0，解得t=2.

小结 本题主要考查平面向量数量积的定义及向量的线性运算.

例2 （2013年高考山东理科卷第15题）已知向量 与 的夹角为120°，且| |=3，| |=2.若 =λ + ，且 ⊥ ，则实数λ的值为____.

解 依题意可知 · =0，又 =λ + ， = - ，从而有 · =（λ + ）·（ - ）= 2+（λ-1） · -λ 2.由于| |=3，| |=2，< ， >=120°，所以 2=| |2=4， 2=| |2=9， · =3×2·cos 120°=-3.所以4-3（λ-1）-9λ=0，解得λ= .

小结 用已知向量 ， （已知模、夹角）来线性表示 是求解本题的切入点，而随后利用 ⊥ 等价于 · =0及平面向量的线性运算来构建关于λ的方程，使得问题的求解水到渠成.

二、合理设置基底，利用平面向量的基本定理求解

由平面向量的基本定理可知：平面内的任一向量都可以用同一平面内的不共线的两个向量（基底）唯一表示.因此，若能合理设置基底，则利用平面向量基本定理即可将向量的线性运算转化到这组基上来，从而使问题的处理简单明了.

例3 （2013年高考全国新课标Ⅱ卷理科卷第13题）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则 · =____.

解 我们注意到ABCD为正方形，为此不妨选取向量的基底为 ， ，则 · =0，| |= | |=2， = - ， = + ，从而有 · =（ + ）·（ - ）= 2- · - 2 = 2.

小结 本题也可通过建立平面直角坐标系，将相关向量坐标化，最后利用向量数量积的坐标表示来分析求解.

例4 （2013年高考天津理科卷第12题）在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E为CD的中点.若 · =1，则AB的长为____.

解 如图1所示，选取向量的基底为 ， ，则有 = + ， = + = - ，从而 · =（ + ）·（ - ）= 2+ · - 2.又| |=1，< ， >=60°，所以 2=| |2=1， · =1· | |·cos 60°= | |.所以1+ | |- | |2=1，解得| |= 或| |=0（舍去），即AB的长为 .

小结 结合题目条件，合理设置基底，将向量往基底上进行转化是求解本题的关键.其中，对基底的选择可尽量选取一些特殊向量（如互相垂直的两个向量、夹角及模易知的两个不共线向量等）.

三、建立平面直角坐标系，利用向量坐标的代数运算进行求解

对于一些向量问题，许多时候是以其几何特性来呈现命题的.此时，我们若能恰当地建立平面直角坐标系，构建几何与代数联系的桥梁，则解题往往会事半功倍.

例5 （2013年高考浙江理科卷第7题）设△ABC， P0是边AB上一定点，满足P0B= AB，且对于边AB上任一点P，恒有 · ≥ · ，则

A.∠ABC=90° B.∠BAC=90°

C.AB=AC D.AC=BC

解 设AB= 4，以AB所在的直线为x轴，以线段AB的中垂线为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy，则有A（-2，0），B（2，0），P0（1，0）.设C（a，b），P（x，0）（其中-2≤x≤2），从而有 =（2-x，0）， =（a-x，b）， =（1，0）， =（a-1，b）.于是 · ≥ · 等价于（2-x）·（a-x）≥a-1，即x2-（2+a）x+a+1≥0在x∈[-2，2]恒成立，从而有Δ=[-（2+a）]2-4（a+1）=0，解得a=0.所以，点C在线段AB的中垂线上.所以AC=BC.选D.

小结 本题通过建立平面直角坐标系后运用解析法，将问题等价转化到不等式恒成立问题上来，从而使得问题的求解简单明了.

四、利用向量式的几何意义，运用数形结合进行求解

向量具有几何、代数的双重性，解题时若能抓住题目的条件及问题的几何特性，运用数形结合进行分析求解，往往能起到巧妙求解的效果.

例6 （2013年高考安徽理科卷第9题）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足 | |=| |= · =2，则点集{P| =λ +μ ，|λ|+|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是

A.2 B.2

C.4 D.4

解 根据| |=| |= · = 2，可知∠AOB= .由于A，B是两个定点，于是可设A（ ，1），B（0，2），P（x，y），从而由 =λ +μ ，得x= λ，y =λ+2μ，解得λ= x，μ = - x.由于|λ|+|μ|≤1，所以| x|+ | - x|≤1，从而当x≥0，3y- x≥0，3y+ x≤6时，所得可行域如图3所示.

由图3可得阴影部分的面积S0= ×2× = ，于是由对称性可知，点集所表示的区域面积S = 4S0 = 4 .选D.（责任编校/周峰）

一、利用平面向量的数量积运算求解参数值

平面向量数量积是平面向量中的一大有力武器.利用向量的数量积及线性运算来建立参数的方程，进而求其参数，是求解与向量有关的参数取值的一种重要手段.

例1 （2013年高考全国新课标Ⅰ卷理科卷第13题）已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c=ta+（1-t）b.若b·c=0，则t=____.

解 由b·c=0，可知b·[ta+（1-t）b]=0，即ta·b+（1-t）b2=0.又向量a，b均为单位向量，且夹角为60°，所以a·b=1×1·cos 60°= ，b2=|b|2=1.所以 t+1-t=0，解得t=2.

小结 本题主要考查平面向量数量积的定义及向量的线性运算.

例2 （2013年高考山东理科卷第15题）已知向量 与 的夹角为120°，且| |=3，| |=2.若 =λ + ，且 ⊥ ，则实数λ的值为____.

解 依题意可知 · =0，又 =λ + ， = - ，从而有 · =（λ + ）·（ - ）= 2+（λ-1） · -λ 2.由于| |=3，| |=2，< ， >=120°，所以 2=| |2=4， 2=| |2=9， · =3×2·cos 120°=-3.所以4-3（λ-1）-9λ=0，解得λ= .

小结 用已知向量 ， （已知模、夹角）来线性表示 是求解本题的切入点，而随后利用 ⊥ 等价于 · =0及平面向量的线性运算来构建关于λ的方程，使得问题的求解水到渠成.

二、合理设置基底，利用平面向量的基本定理求解

由平面向量的基本定理可知：平面内的任一向量都可以用同一平面内的不共线的两个向量（基底）唯一表示.因此，若能合理设置基底，则利用平面向量基本定理即可将向量的线性运算转化到这组基上来，从而使问题的处理简单明了.

例3 （2013年高考全国新课标Ⅱ卷理科卷第13题）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则 · =____.

解 我们注意到ABCD为正方形，为此不妨选取向量的基底为 ， ，则 · =0，| |= | |=2， = - ， = + ，从而有 · =（ + ）·（ - ）= 2- · - 2 = 2.

小结 本题也可通过建立平面直角坐标系，将相关向量坐标化，最后利用向量数量积的坐标表示来分析求解.

例4 （2013年高考天津理科卷第12题）在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E为CD的中点.若 · =1，则AB的长为____.

解 如图1所示，选取向量的基底为 ， ，则有 = + ， = + = - ，从而 · =（ + ）·（ - ）= 2+ · - 2.又| |=1，< ， >=60°，所以 2=| |2=1， · =1· | |·cos 60°= | |.所以1+ | |- | |2=1，解得| |= 或| |=0（舍去），即AB的长为 .

小结 结合题目条件，合理设置基底，将向量往基底上进行转化是求解本题的关键.其中，对基底的选择可尽量选取一些特殊向量（如互相垂直的两个向量、夹角及模易知的两个不共线向量等）.

三、建立平面直角坐标系，利用向量坐标的代数运算进行求解

对于一些向量问题，许多时候是以其几何特性来呈现命题的.此时，我们若能恰当地建立平面直角坐标系，构建几何与代数联系的桥梁，则解题往往会事半功倍.

例5 （2013年高考浙江理科卷第7题）设△ABC， P0是边AB上一定点，满足P0B= AB，且对于边AB上任一点P，恒有 · ≥ · ，则

A.∠ABC=90° B.∠BAC=90°

C.AB=AC D.AC=BC

解 设AB= 4，以AB所在的直线为x轴，以线段AB的中垂线为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy，则有A（-2，0），B（2，0），P0（1，0）.设C（a，b），P（x，0）（其中-2≤x≤2），从而有 =（2-x，0）， =（a-x，b）， =（1，0）， =（a-1，b）.于是 · ≥ · 等价于（2-x）·（a-x）≥a-1，即x2-（2+a）x+a+1≥0在x∈[-2，2]恒成立，从而有Δ=[-（2+a）]2-4（a+1）=0，解得a=0.所以，点C在线段AB的中垂线上.所以AC=BC.选D.

小结 本题通过建立平面直角坐标系后运用解析法，将问题等价转化到不等式恒成立问题上来，从而使得问题的求解简单明了.

四、利用向量式的几何意义，运用数形结合进行求解

向量具有几何、代数的双重性，解题时若能抓住题目的条件及问题的几何特性，运用数形结合进行分析求解，往往能起到巧妙求解的效果.

例6 （2013年高考安徽理科卷第9题）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足 | |=| |= · =2，则点集{P| =λ +μ ，|λ|+|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是

A.2 B.2

C.4 D.4

解 根据| |=| |= · = 2，可知∠AOB= .由于A，B是两个定点，于是可设A（ ，1），B（0，2），P（x，y），从而由 =λ +μ ，得x= λ，y =λ+2μ，解得λ= x，μ = - x.由于|λ|+|μ|≤1，所以| x|+ | - x|≤1，从而当x≥0，3y- x≥0，3y+ x≤6时，所得可行域如图3所示.

由图3可得阴影部分的面积S0= ×2× = ，于是由对称性可知，点集所表示的区域面积S = 4S0 = 4 .选D.（责任编校/周峰）

一、利用平面向量的数量积运算求解参数值

平面向量数量积是平面向量中的一大有力武器.利用向量的数量积及线性运算来建立参数的方程，进而求其参数，是求解与向量有关的参数取值的一种重要手段.

例1 （2013年高考全国新课标Ⅰ卷理科卷第13题）已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c=ta+（1-t）b.若b·c=0，则t=____.

解 由b·c=0，可知b·[ta+（1-t）b]=0，即ta·b+（1-t）b2=0.又向量a，b均为单位向量，且夹角为60°，所以a·b=1×1·cos 60°= ，b2=|b|2=1.所以 t+1-t=0，解得t=2.

小结 本题主要考查平面向量数量积的定义及向量的线性运算.

例2 （2013年高考山东理科卷第15题）已知向量 与 的夹角为120°，且| |=3，| |=2.若 =λ + ，且 ⊥ ，则实数λ的值为____.

解 依题意可知 · =0，又 =λ + ， = - ，从而有 · =（λ + ）·（ - ）= 2+（λ-1） · -λ 2.由于| |=3，| |=2，< ， >=120°，所以 2=| |2=4， 2=| |2=9， · =3×2·cos 120°=-3.所以4-3（λ-1）-9λ=0，解得λ= .

小结 用已知向量 ， （已知模、夹角）来线性表示 是求解本题的切入点，而随后利用 ⊥ 等价于 · =0及平面向量的线性运算来构建关于λ的方程，使得问题的求解水到渠成.

二、合理设置基底，利用平面向量的基本定理求解

由平面向量的基本定理可知：平面内的任一向量都可以用同一平面内的不共线的两个向量（基底）唯一表示.因此，若能合理设置基底，则利用平面向量基本定理即可将向量的线性运算转化到这组基上来，从而使问题的处理简单明了.

例3 （2013年高考全国新课标Ⅱ卷理科卷第13题）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则 · =____.

解 我们注意到ABCD为正方形，为此不妨选取向量的基底为 ， ，则 · =0，| |= | |=2， = - ， = + ，从而有 · =（ + ）·（ - ）= 2- · - 2 = 2.

小结 本题也可通过建立平面直角坐标系，将相关向量坐标化，最后利用向量数量积的坐标表示来分析求解.

例4 （2013年高考天津理科卷第12题）在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E为CD的中点.若 · =1，则AB的长为____.

解 如图1所示，选取向量的基底为 ， ，则有 = + ， = + = - ，从而 · =（ + ）·（ - ）= 2+ · - 2.又| |=1，< ， >=60°，所以 2=| |2=1， · =1· | |·cos 60°= | |.所以1+ | |- | |2=1，解得| |= 或| |=0（舍去），即AB的长为 .

小结 结合题目条件，合理设置基底，将向量往基底上进行转化是求解本题的关键.其中，对基底的选择可尽量选取一些特殊向量（如互相垂直的两个向量、夹角及模易知的两个不共线向量等）.

三、建立平面直角坐标系，利用向量坐标的代数运算进行求解

对于一些向量问题，许多时候是以其几何特性来呈现命题的.此时，我们若能恰当地建立平面直角坐标系，构建几何与代数联系的桥梁，则解题往往会事半功倍.

例5 （2013年高考浙江理科卷第7题）设△ABC， P0是边AB上一定点，满足P0B= AB，且对于边AB上任一点P，恒有 · ≥ · ，则

A.∠ABC=90° B.∠BAC=90°

C.AB=AC D.AC=BC

解 设AB= 4，以AB所在的直线为x轴，以线段AB的中垂线为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy，则有A（-2，0），B（2，0），P0（1，0）.设C（a，b），P（x，0）（其中-2≤x≤2），从而有 =（2-x，0）， =（a-x，b）， =（1，0）， =（a-1，b）.于是 · ≥ · 等价于（2-x）·（a-x）≥a-1，即x2-（2+a）x+a+1≥0在x∈[-2，2]恒成立，从而有Δ=[-（2+a）]2-4（a+1）=0，解得a=0.所以，点C在线段AB的中垂线上.所以AC=BC.选D.

小结 本题通过建立平面直角坐标系后运用解析法，将问题等价转化到不等式恒成立问题上来，从而使得问题的求解简单明了.

四、利用向量式的几何意义，运用数形结合进行求解

向量具有几何、代数的双重性，解题时若能抓住题目的条件及问题的几何特性，运用数形结合进行分析求解，往往能起到巧妙求解的效果.

例6 （2013年高考安徽理科卷第9题）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足 | |=| |= · =2，则点集{P| =λ +μ ，|λ|+|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是

A.2 B.2

C.4 D.4

解 根据| |=| |= · = 2，可知∠AOB= .由于A，B是两个定点，于是可设A（ ，1），B（0，2），P（x，y），从而由 =λ +μ ，得x= λ，y =λ+2μ，解得λ= x，μ = - x.由于|λ|+|μ|≤1，所以| x|+ | - x|≤1，从而当x≥0，3y- x≥0，3y+ x≤6时，所得可行域如图3所示.

由图3可得阴影部分的面积S0= ×2× = ，于是由对称性可知，点集所表示的区域面积S = 4S0 = 4 .选D.（责任编校/周峰）