立体几何解答题中的二面角问题

张李军+张成林

在高考数学理科试题中每年有80%的试卷考查二面角的求解问题，虽然难度不算大，但是真正得满分的也只有40%左右比例的考生，主要原因是考生找不到二面角的平面角或计算错误.下面介绍一些求解二面角的常用策略.

策略1：定义法

例1 （2013年高考山东理科卷第18题）如图1所示，在三棱锥P-ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA=BP=BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ=2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH.

（Ⅰ）求证：AB∥GH；

（Ⅱ）求二面角D-GH-E的余弦值.

难度系数 0.60

分析 第（Ⅰ）问要证明线线平行，可先证明线面平行；由（Ⅰ）可知AB∥GH，而AB⊥平面PBQ，从而GH⊥平面PBQ，于是根据二面角的定义，我们很容易找到二面角的平面角.

（Ⅰ）证明：由于D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，所以EF∥AB，DC∥AB.所以EF∥DC.

由于EF？埭平面PCD，DC？奂平面PCD，所以EF∥平面PCD.

由于EF？奂平面EFQ，平面EFQ∩平面PCD=GH，所以EF∥GH.

又EF∥AB，所以AB∥GH.

（Ⅱ）解：在△ABQ中，AQ=2BD，AD=DQ，所以∠ABQ=90°，即AB⊥BQ.

由于PB⊥平面ABQ，所以AB⊥PB.由于BP∩BQ=B，所以AB⊥平面PBQ.

由（Ⅰ）可知AB∥GH，所以GH⊥平面PBQ.又FH？奂平面PBQ，所以GH⊥FH.同理可得GH⊥HC.所以∠FHC为二面角D-GH-E的平面角.

设BA=BQ=BP=2，连接FC.

在Rt△FBC中，由勾股定理可得FC= ；在Rt△PBC中，由勾股定理可得PC= .

又H为△PBQ的重心，所以HC= PC= ，同理有FH= .

在△FHC中，根据余弦定理可得cos∠FHC= =- ，即二面角D-GH-E的余弦值为 - .

小结 本题主要考查线面平行、线线平行的相互关系以及二面角的求法.用定义法求二面角时，首先观察公共棱是否垂直两个平面内与二面角的公共棱交于同一点的两条直线组成的平面，或者说两个平面内是否有两条直线垂直于公共棱.如果有，一般用定义法求解，找出该角组成的三角形，然后解三角形.本题的主要扣分点是许多考生没有先证明AB⊥BQ，特别是在用向量法求解二面角时，若题中没有明显的三线两两互相垂直的关系，一般要先证明垂直关系.本题要用到平面几何的两个主要性质：①若三角形一边上的中线等于这边的一半，则这边所对的角是直角；②重心到顶点的距离等于它到对边中点的距离的2倍.

策略2：向量法

例2 （2013年高考陕西理科卷第18题）如图2，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB =AA1= .

（Ⅰ）证明：A1C⊥平面BB1D1D；

（Ⅱ）求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ的大小.

难度系数 0.60

分析 第（Ⅰ）问将线面垂直转化为线线垂直来证明.由于正方形的对角线相互垂直，又A1O⊥平面ABCD，有明显的建立坐标系的条件，用定义法求解不好找，所以选择用向量法求解.

（Ⅰ）证明：由于A1O⊥平面ABCD，且BD？奂平面ABCD，所以A1O⊥BD.在正方形ABCD中，AC⊥BD，且A1O∩AC=O，所以BD⊥平面A1AC.又A1C？奂平面A1AC，所以A1C⊥BD.在正方形ABCD中，AO=1；在Rt△A1O A中，A1O=1.

设B1D1的中点为E1，则四边形A1OCE1为正方形，所以A1C⊥E1O.

又BD？奂平面BB1D1D，E1O？奂平面BB1D1D，且BD∩E1O=O，所以由上可得A1C⊥平面BB1D1D.

（Ⅱ）解：如图3，以O为原点，以OA为x轴的正方向，以OB为y轴的正方向，建立空间直角坐标系，则有B（0，1，0），C（-1，0，0），A1（0，0，1），A（1，0，0）， =（-1，1，0）， =（-1，0，-1）， = ， = + = + =（-1，1，1）.

由（Ⅰ）可知，平面BB1D1D的一个法向量n1 = =（-1，0，-1）， =（-1，1，1）， =（-1，0，0）.

设平面OCB1的法向量n2 =（x，y，z），则n2 · =0，n2· =0，于是有-x+y+z=0，-x=0，解得x=0，y=-z.取y=1，得z=-1，故n2=（0，1，-1）.

所以cos< n1，n2>= = = .

由图3可知，平面OCB1与平面BB1D1D的夹角为锐角，所以所求的夹角为 .

小结 用向量法求解二面角时，其基本步骤是：①建立坐标系，写出相关点的坐标，一个平面只需写出不共线的三个点的坐标.②找出两个平面的法向量，若不能直接找到，则可以建立方程组求解.在高考试卷中，两个平面的法向量一般是一找一求.③求出两个法向量的夹角的余弦值.④根据图形判断二面角的大小与法向量夹角大小的关系，从而确定二面角的大小.考试中许多考生直接将法向量的夹角当成二面角的夹角的大小而丢分，法向量的夹角与二面角的大小是相等或互补关系，一般要通过图形来确定.本题最大的难点是B1点的坐标写不出.当点的坐标不能直接求解时，我们可以通过向量相等或向量的加减法来得到，这是一种常用的方法.

策略3：三垂线法

例3 （2013年高考辽宁理科卷第18题）如图4，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点.

（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面PBC；

（Ⅱ）若AB=2，AC=1，PA=1，求二面角C-PB-A的余弦值.

难度系数 0.65

分析 第（Ⅰ）问要证明面面垂直，可将其转化为证明线面垂直来实现.解答第（Ⅱ）问时，由图5，过点C容易作出平面PAB的垂线，所以用三垂线法求二面角比较简便.

（Ⅰ）证明：由AB是圆的直径，得AC⊥BC.由PA⊥平面ABC，BC？奂平面ABC，得BC⊥PA.又PA∩AC=A，PA？奂平面PAC，AC？奂平面PAC，所以BC⊥平面PAC.由于BC？奂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAC.

（Ⅱ）解：如图5，过点C作CM⊥AB于点M.由于PA⊥平面ABC，CM？奂平面ABC，所以PA⊥CM，则CM⊥平面PAB.过点M作MN⊥PB于点N，连接NC.由三垂线定理得 CN⊥PB，所以∠CNM为二面角C-PB-A的平面角.

在Rt△ABC中，AB=2，AC=1，得BC= ，CM= ，BM= .

在Rt△PAB中，由AB=2，PA=1，得PB= .由于△BNM∽△BAP，所以 = ，即MN= .

在Rt△CNM中，CN= ，则cos∠CNM= ，所以二面角C-PB-A的余弦值为 .

小结 三垂线法是求二面角最常用的方法之一，其步骤是：①过一个平面内的一点作另一个平面的垂线，然后过垂足作出公共棱的垂线，从而得到一个直角三角形.②求出所得直角三角形的两边，然后求出二面角.当比较容易由一个平面内的点作出另一个平面的垂线时，我们通常用三垂线法求二面角更快捷.解答这类问题主要有两种方法：一是用面积法求斜边上的高，二是用三角形相似求边长.

（责任编校/周峰）

在高考数学理科试题中每年有80%的试卷考查二面角的求解问题，虽然难度不算大，但是真正得满分的也只有40%左右比例的考生，主要原因是考生找不到二面角的平面角或计算错误.下面介绍一些求解二面角的常用策略.

策略1：定义法

例1 （2013年高考山东理科卷第18题）如图1所示，在三棱锥P-ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA=BP=BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ=2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH.

（Ⅰ）求证：AB∥GH；

（Ⅱ）求二面角D-GH-E的余弦值.

难度系数 0.60

分析 第（Ⅰ）问要证明线线平行，可先证明线面平行；由（Ⅰ）可知AB∥GH，而AB⊥平面PBQ，从而GH⊥平面PBQ，于是根据二面角的定义，我们很容易找到二面角的平面角.

（Ⅰ）证明：由于D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，所以EF∥AB，DC∥AB.所以EF∥DC.

由于EF？埭平面PCD，DC？奂平面PCD，所以EF∥平面PCD.

由于EF？奂平面EFQ，平面EFQ∩平面PCD=GH，所以EF∥GH.

又EF∥AB，所以AB∥GH.

（Ⅱ）解：在△ABQ中，AQ=2BD，AD=DQ，所以∠ABQ=90°，即AB⊥BQ.

由于PB⊥平面ABQ，所以AB⊥PB.由于BP∩BQ=B，所以AB⊥平面PBQ.

由（Ⅰ）可知AB∥GH，所以GH⊥平面PBQ.又FH？奂平面PBQ，所以GH⊥FH.同理可得GH⊥HC.所以∠FHC为二面角D-GH-E的平面角.

设BA=BQ=BP=2，连接FC.

在Rt△FBC中，由勾股定理可得FC= ；在Rt△PBC中，由勾股定理可得PC= .

又H为△PBQ的重心，所以HC= PC= ，同理有FH= .

在△FHC中，根据余弦定理可得cos∠FHC= =- ，即二面角D-GH-E的余弦值为 - .

小结 本题主要考查线面平行、线线平行的相互关系以及二面角的求法.用定义法求二面角时，首先观察公共棱是否垂直两个平面内与二面角的公共棱交于同一点的两条直线组成的平面，或者说两个平面内是否有两条直线垂直于公共棱.如果有，一般用定义法求解，找出该角组成的三角形，然后解三角形.本题的主要扣分点是许多考生没有先证明AB⊥BQ，特别是在用向量法求解二面角时，若题中没有明显的三线两两互相垂直的关系，一般要先证明垂直关系.本题要用到平面几何的两个主要性质：①若三角形一边上的中线等于这边的一半，则这边所对的角是直角；②重心到顶点的距离等于它到对边中点的距离的2倍.

策略2：向量法

例2 （2013年高考陕西理科卷第18题）如图2，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB =AA1= .

（Ⅰ）证明：A1C⊥平面BB1D1D；

（Ⅱ）求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ的大小.

难度系数 0.60

分析 第（Ⅰ）问将线面垂直转化为线线垂直来证明.由于正方形的对角线相互垂直，又A1O⊥平面ABCD，有明显的建立坐标系的条件，用定义法求解不好找，所以选择用向量法求解.

（Ⅰ）证明：由于A1O⊥平面ABCD，且BD？奂平面ABCD，所以A1O⊥BD.在正方形ABCD中，AC⊥BD，且A1O∩AC=O，所以BD⊥平面A1AC.又A1C？奂平面A1AC，所以A1C⊥BD.在正方形ABCD中，AO=1；在Rt△A1O A中，A1O=1.

设B1D1的中点为E1，则四边形A1OCE1为正方形，所以A1C⊥E1O.

又BD？奂平面BB1D1D，E1O？奂平面BB1D1D，且BD∩E1O=O，所以由上可得A1C⊥平面BB1D1D.

（Ⅱ）解：如图3，以O为原点，以OA为x轴的正方向，以OB为y轴的正方向，建立空间直角坐标系，则有B（0，1，0），C（-1，0，0），A1（0，0，1），A（1，0，0）， =（-1，1，0）， =（-1，0，-1）， = ， = + = + =（-1，1，1）.

由（Ⅰ）可知，平面BB1D1D的一个法向量n1 = =（-1，0，-1）， =（-1，1，1）， =（-1，0，0）.

设平面OCB1的法向量n2 =（x，y，z），则n2 · =0，n2· =0，于是有-x+y+z=0，-x=0，解得x=0，y=-z.取y=1，得z=-1，故n2=（0，1，-1）.

所以cos< n1，n2>= = = .

由图3可知，平面OCB1与平面BB1D1D的夹角为锐角，所以所求的夹角为 .

小结 用向量法求解二面角时，其基本步骤是：①建立坐标系，写出相关点的坐标，一个平面只需写出不共线的三个点的坐标.②找出两个平面的法向量，若不能直接找到，则可以建立方程组求解.在高考试卷中，两个平面的法向量一般是一找一求.③求出两个法向量的夹角的余弦值.④根据图形判断二面角的大小与法向量夹角大小的关系，从而确定二面角的大小.考试中许多考生直接将法向量的夹角当成二面角的夹角的大小而丢分，法向量的夹角与二面角的大小是相等或互补关系，一般要通过图形来确定.本题最大的难点是B1点的坐标写不出.当点的坐标不能直接求解时，我们可以通过向量相等或向量的加减法来得到，这是一种常用的方法.

策略3：三垂线法

例3 （2013年高考辽宁理科卷第18题）如图4，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点.

（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面PBC；

（Ⅱ）若AB=2，AC=1，PA=1，求二面角C-PB-A的余弦值.

难度系数 0.65

分析 第（Ⅰ）问要证明面面垂直，可将其转化为证明线面垂直来实现.解答第（Ⅱ）问时，由图5，过点C容易作出平面PAB的垂线，所以用三垂线法求二面角比较简便.

（Ⅰ）证明：由AB是圆的直径，得AC⊥BC.由PA⊥平面ABC，BC？奂平面ABC，得BC⊥PA.又PA∩AC=A，PA？奂平面PAC，AC？奂平面PAC，所以BC⊥平面PAC.由于BC？奂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAC.

（Ⅱ）解：如图5，过点C作CM⊥AB于点M.由于PA⊥平面ABC，CM？奂平面ABC，所以PA⊥CM，则CM⊥平面PAB.过点M作MN⊥PB于点N，连接NC.由三垂线定理得 CN⊥PB，所以∠CNM为二面角C-PB-A的平面角.

在Rt△ABC中，AB=2，AC=1，得BC= ，CM= ，BM= .

在Rt△PAB中，由AB=2，PA=1，得PB= .由于△BNM∽△BAP，所以 = ，即MN= .

在Rt△CNM中，CN= ，则cos∠CNM= ，所以二面角C-PB-A的余弦值为 .

小结 三垂线法是求二面角最常用的方法之一，其步骤是：①过一个平面内的一点作另一个平面的垂线，然后过垂足作出公共棱的垂线，从而得到一个直角三角形.②求出所得直角三角形的两边，然后求出二面角.当比较容易由一个平面内的点作出另一个平面的垂线时，我们通常用三垂线法求二面角更快捷.解答这类问题主要有两种方法：一是用面积法求斜边上的高，二是用三角形相似求边长.

（责任编校/周峰）

在高考数学理科试题中每年有80%的试卷考查二面角的求解问题，虽然难度不算大，但是真正得满分的也只有40%左右比例的考生，主要原因是考生找不到二面角的平面角或计算错误.下面介绍一些求解二面角的常用策略.

策略1：定义法

例1 （2013年高考山东理科卷第18题）如图1所示，在三棱锥P-ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA=BP=BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ=2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH.

（Ⅰ）求证：AB∥GH；

（Ⅱ）求二面角D-GH-E的余弦值.

难度系数 0.60

分析 第（Ⅰ）问要证明线线平行，可先证明线面平行；由（Ⅰ）可知AB∥GH，而AB⊥平面PBQ，从而GH⊥平面PBQ，于是根据二面角的定义，我们很容易找到二面角的平面角.

（Ⅰ）证明：由于D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，所以EF∥AB，DC∥AB.所以EF∥DC.

由于EF？埭平面PCD，DC？奂平面PCD，所以EF∥平面PCD.

由于EF？奂平面EFQ，平面EFQ∩平面PCD=GH，所以EF∥GH.

又EF∥AB，所以AB∥GH.

（Ⅱ）解：在△ABQ中，AQ=2BD，AD=DQ，所以∠ABQ=90°，即AB⊥BQ.

由于PB⊥平面ABQ，所以AB⊥PB.由于BP∩BQ=B，所以AB⊥平面PBQ.

由（Ⅰ）可知AB∥GH，所以GH⊥平面PBQ.又FH？奂平面PBQ，所以GH⊥FH.同理可得GH⊥HC.所以∠FHC为二面角D-GH-E的平面角.

设BA=BQ=BP=2，连接FC.

在Rt△FBC中，由勾股定理可得FC= ；在Rt△PBC中，由勾股定理可得PC= .

又H为△PBQ的重心，所以HC= PC= ，同理有FH= .

在△FHC中，根据余弦定理可得cos∠FHC= =- ，即二面角D-GH-E的余弦值为 - .

小结 本题主要考查线面平行、线线平行的相互关系以及二面角的求法.用定义法求二面角时，首先观察公共棱是否垂直两个平面内与二面角的公共棱交于同一点的两条直线组成的平面，或者说两个平面内是否有两条直线垂直于公共棱.如果有，一般用定义法求解，找出该角组成的三角形，然后解三角形.本题的主要扣分点是许多考生没有先证明AB⊥BQ，特别是在用向量法求解二面角时，若题中没有明显的三线两两互相垂直的关系，一般要先证明垂直关系.本题要用到平面几何的两个主要性质：①若三角形一边上的中线等于这边的一半，则这边所对的角是直角；②重心到顶点的距离等于它到对边中点的距离的2倍.

策略2：向量法

例2 （2013年高考陕西理科卷第18题）如图2，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB =AA1= .

（Ⅰ）证明：A1C⊥平面BB1D1D；

（Ⅱ）求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ的大小.

难度系数 0.60

分析 第（Ⅰ）问将线面垂直转化为线线垂直来证明.由于正方形的对角线相互垂直，又A1O⊥平面ABCD，有明显的建立坐标系的条件，用定义法求解不好找，所以选择用向量法求解.

（Ⅰ）证明：由于A1O⊥平面ABCD，且BD？奂平面ABCD，所以A1O⊥BD.在正方形ABCD中，AC⊥BD，且A1O∩AC=O，所以BD⊥平面A1AC.又A1C？奂平面A1AC，所以A1C⊥BD.在正方形ABCD中，AO=1；在Rt△A1O A中，A1O=1.

设B1D1的中点为E1，则四边形A1OCE1为正方形，所以A1C⊥E1O.

又BD？奂平面BB1D1D，E1O？奂平面BB1D1D，且BD∩E1O=O，所以由上可得A1C⊥平面BB1D1D.

（Ⅱ）解：如图3，以O为原点，以OA为x轴的正方向，以OB为y轴的正方向，建立空间直角坐标系，则有B（0，1，0），C（-1，0，0），A1（0，0，1），A（1，0，0）， =（-1，1，0）， =（-1，0，-1）， = ， = + = + =（-1，1，1）.

由（Ⅰ）可知，平面BB1D1D的一个法向量n1 = =（-1，0，-1）， =（-1，1，1）， =（-1，0，0）.

设平面OCB1的法向量n2 =（x，y，z），则n2 · =0，n2· =0，于是有-x+y+z=0，-x=0，解得x=0，y=-z.取y=1，得z=-1，故n2=（0，1，-1）.

所以cos< n1，n2>= = = .

由图3可知，平面OCB1与平面BB1D1D的夹角为锐角，所以所求的夹角为 .

小结 用向量法求解二面角时，其基本步骤是：①建立坐标系，写出相关点的坐标，一个平面只需写出不共线的三个点的坐标.②找出两个平面的法向量，若不能直接找到，则可以建立方程组求解.在高考试卷中，两个平面的法向量一般是一找一求.③求出两个法向量的夹角的余弦值.④根据图形判断二面角的大小与法向量夹角大小的关系，从而确定二面角的大小.考试中许多考生直接将法向量的夹角当成二面角的夹角的大小而丢分，法向量的夹角与二面角的大小是相等或互补关系，一般要通过图形来确定.本题最大的难点是B1点的坐标写不出.当点的坐标不能直接求解时，我们可以通过向量相等或向量的加减法来得到，这是一种常用的方法.

策略3：三垂线法

例3 （2013年高考辽宁理科卷第18题）如图4，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点.

（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面PBC；

（Ⅱ）若AB=2，AC=1，PA=1，求二面角C-PB-A的余弦值.

难度系数 0.65

分析 第（Ⅰ）问要证明面面垂直，可将其转化为证明线面垂直来实现.解答第（Ⅱ）问时，由图5，过点C容易作出平面PAB的垂线，所以用三垂线法求二面角比较简便.

（Ⅰ）证明：由AB是圆的直径，得AC⊥BC.由PA⊥平面ABC，BC？奂平面ABC，得BC⊥PA.又PA∩AC=A，PA？奂平面PAC，AC？奂平面PAC，所以BC⊥平面PAC.由于BC？奂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAC.

（Ⅱ）解：如图5，过点C作CM⊥AB于点M.由于PA⊥平面ABC，CM？奂平面ABC，所以PA⊥CM，则CM⊥平面PAB.过点M作MN⊥PB于点N，连接NC.由三垂线定理得 CN⊥PB，所以∠CNM为二面角C-PB-A的平面角.

在Rt△ABC中，AB=2，AC=1，得BC= ，CM= ，BM= .

在Rt△PAB中，由AB=2，PA=1，得PB= .由于△BNM∽△BAP，所以 = ，即MN= .

在Rt△CNM中，CN= ，则cos∠CNM= ，所以二面角C-PB-A的余弦值为 .

小结 三垂线法是求二面角最常用的方法之一，其步骤是：①过一个平面内的一点作另一个平面的垂线，然后过垂足作出公共棱的垂线，从而得到一个直角三角形.②求出所得直角三角形的两边，然后求出二面角.当比较容易由一个平面内的点作出另一个平面的垂线时，我们通常用三垂线法求二面角更快捷.解答这类问题主要有两种方法：一是用面积法求斜边上的高，二是用三角形相似求边长.

（责任编校/周峰）