不同分布的BUTI的大偏差

盛婷婷

(内蒙古民族大学 数学学院，内蒙古 通辽 028000)

0 引言

假设条件1：∃T>0，当t≥T时一致地有

成立．在上述的三个条件下，文献[1]得到如下的部分和的精确大偏差

假设条件5：存在某个非负的随机变量Y和某个正数C2，Y的分布函数G(x)属于控制变化尾分布(见定义2)，对于∀x>0和充分大的n，有

文献[5]研究了带延拓负相依的关系的随机变量的和的精确大偏差；文献[6]在一致变化尾分布上探讨了带延拓负相依关系的随机变量的和的精确大偏差；文献[7]研究了独立同分布的带有长尾分布的随机变量的和的精确大偏差，文献[8]给出了负相依同分布的带有长尾分布的随机变量的和的精确大偏差．本文在上述提到的论文的基础上讨论了长尾分布上的二元上尾独立不同分布的随机变量序列的部分和和随机和的大偏差．

接下来介绍所需要的基本概念：

定义4[12]称某一随机变量X或者其分布函数F(x)属于一致变化尾分布的,当且仅当

或

成立．

由文献[12]知长尾分布族包含了控制变化尾分布族，而控制变化尾分布族包含了一致变化尾分布族，而正则变化尾分布族又是一致变化尾分布族的子族．

1 部分和的大偏差

定理1设{Xi,i≥1}为一个BUTI的不同分布的、非负的随机变量序列，其对应的分布序列为{Fi(x),i≥1}，对应的数学期望序列为{μi,i≥1}；假设存在非负的随机变量X、Y和常数μ，满足假设条件3-5，则对任意常数γ>0，有

证明由于

由二元上尾独立的定义知，当x充分大时，存在δ∈(0，1)，使得对于1≤i

P(Xi>x,Xj>x)/P(Xi>x)≤δ

由假设条件4和5可知

所以有

故结论成立．

2 非确定和的精确大偏差

给出一个假设条件8：当t→∞时，对于任意的δ>0和任意小的ε>0有

定理2设{Xi,i≥1}为一个BUTI的不同分布的、非负的随机变量序列，其对应的分布序列为{Fi(x),i≥1}，对应的数学期望序列为{μi,i≥1}，且独立于取非负整数值的随机过程{N(t),t≥0}；假设存在非负的随机变量X、Y和常数μ，满足假设条件3-5，假设{N(t),t≥0}满足以上的假设条件8，则对任意常数r>0，当t→∞时，对x≥γλ(t)一致地有：

证明对任意的0<δ<1，有

由于

任意的0<δ1<1由假设条件8可得

所以有

L2≥(1-δ1)P(S(1-δ)λ(t)-(1-δ)μλ(t)>x+μλ(t)-(1-δ)λ(t)μ)

又由定理1可得:

从上式可导出

从而有

故结论成立．

3 结论

大偏差理论的研究已成为保险、金融等精算研究领域的热点之一，前人分别从对模型的建立、不同分布族的分析、计数过程的复杂程度等方面入手，探讨了不同情况下的大偏差的问题，本文则在前人的研究基础上研究了带BUTI关系的服从长尾分布的、不同分布的随机变量的随机和的大偏差，并得到了随机变量的随机和的大偏差的下界的一致渐近结果，推广了已知存在的相应结论．

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