《概率论》教学中的四个重点

2014-01-13李华灿李群芳吴克晴

宜春学院学报 2014年9期

李华灿，李群芳，吴克晴

(1. 江西理工大学理学院;2. 赣州师范高等专科学校数学系，江西赣州 341000)

，求Y=sinX 的概率密度。

《概率论与数理统计》是一门研究随机现象［1，2］统计规律性的学科，与《高等数学》、《线性代数》一起构成理工科学生大学数学［3］的三大块，已广泛应用于经济管理、工程技术、金融、生物、环境、国防等领域，是一门应用性很强的学科。该课程以《概率论》为基础，强调《数理统计》的应用。下面就教师在《概率论》教学中需要突出的四个方面的知识点加以叙述，以便引起重视。

1 事件与事件独立性的本质

事件［4］的本质是集合，概率的本质是集合所对应图形的面积。事件是样本空间的子集，故事件的本质是集合。对于集合，学生们都知道，它有包含、相等、交、并、差、互不相容、互补七种运算，那么事件也相应地有这么七种关系，只是集合的互补运算在《概率论》称为事件的互逆或称对立。同理，集合所包含的运算律如交换律、结合律、分配律以及对偶律也同样适用于事件。一般来说，在中学的时候，对于一个复杂的集合，习惯用文氏图来表示，图形很显然是有面积的，如果在这里规定样本空间Ω 的面积为1，则事件的概率就是样本空间所对应子集的图形面积(事件是样本空间的子集)。因此，图形的面积所具有的性质和公式也可以搬到事件的概率上去，如可列可加性、两事件和的概率与单调不减性等。

独立的本质是互不影响。独立，顾名思义，互不影响，故两事件A 与B 相互独立，指的是两事件A 与B 互不影响，用概率语言可表述为事件A 与B 的发生互不影响，于是就可得两事件A 与B 互相独立的五个充要条件:(1)事件B 的发生与否不影响事件A 发生的概率，即P(A| B)= P(A|)=P(A);(2)事件A 的发生与否不影响事件B 发生的概率，即P(B| A)= P(B| A)= P(B);(3)由乘法公式P(AB)=P(A)P(B| A)与事件A 的发生与否不影响事件B 发生的概率P(B| A)= P(B)联立可得P(AB)= P(A)P(B);(4)因事件B 的发生与否不影响事件A 发生的概率，故事件B 的发生与否也不影响事件A 发生的概率，同理事件A 的发生与否不影响事件B 发生的概率，事件A 的发生与否不影响事件B 发生的概率，从而三对事件A 与、与B、与相互独立;(5)P(A| B)+ P(A| B)= 1。以上是两个事件独立的五个充要条件，另外在讲多个事件的独立性的时候，注意提醒同学们:多个事件独立，则对它的任意分组各种运算也独立。如已知事件A1、A2、A3、A4相互独立，则A1∪A2与A3∩A4独立，以及A1、A2－A3、A4也独立。

2 几个重要的典型分布的来源背景

3 正态分布N(μ，σ2)的概率密度函数及应用场合

正态分布［6］是《概率论与数理统计》中最重要的分布，该课程的应用部分《数理统计》说白了讲的就是正态分布的应用，其概率密度函数为在这里一定要注意提醒下中的σ 是在根号外面，而不是在里面。另外，对于正态分布的应用场合，一定要向同学们讲清楚，这在课程的难点——中心极限定理里面会用到，即凡是可以表示成许多相互独立的随机因素叠加(和)的随机变量都可以看成正态分布，如各种测量的误差、人的生理特征、工厂产品的尺寸、农作物的收获量、热噪声电流强度、学生们的考试成绩等等都可以看成服从正态分布的随机变量。掌握了这个知识点，那么看似复杂的中心极限定理就变得简单。如在同分布的中心极限定理中，设由于可以看作n 个相互独立的随机变量Xk的和，当n 充分大时，由正态分布可知可以视为服从正态分布的随机变量，故可以近似地看成服从即N(nμ，nσ2)，再将其标准化，可得可近似看作服从N(0，1)，于是便可得同分布的中心极限定理的结论。

4 关于一维连续型随机变量的分段单调函数的密度函数的求法

若已知一维连续型随机变量X 的概率密度函数［7］为fX(x)，Y = g(X)，求fY(y)。在此主要有两种方法: (1)分布函数法。先求出Y = g(X)的分布函数FY(y)= P(Y ≤y)，再通过求导得出fY(y)= (FY(y))'。(2)公式法。若Y = g(X)是严格单调可导函数，其反函数为X = h(Y)，则

其中Z 表示函数g(X)的值域。

由上面求随机变量函数Y = g(X)的概率密度函数的方法可知，若Y = g(X)是分段单调函数，则只能根据方法1。但是，根据学生们的思维习惯，常采用方法2—公式法，由此就产生了公式法的滥用。在此，教师应注意引导学生，对于分段单调函数的概率密度函数的求解也可以采用公式法，只是应该首先将Y = g(X)拆成若干个严格单调区间，再分别运用公式法求概率密度函数，最后相加。

，求Y=sinX 的概率密度。

解:解法一:分布函数法(略);

解法二:公式法当时，Y = sinX 严格单调递增，其反函数X= h(Y)= arcsinY，故由公式法可得