金融时间序列中同积向量的充分改进最小二乘估计研究

曹 潇

（西北政法大学 经济管理学院，西安710100）

在金融资产价格波动研究中，同积过程｛yt｝的同积向量往往是未知的，需由观察到的样本估计得到。现有文献对同积向量的最小二乘估计、估计量的极限分布和对同积向量的假设检验进行了研究［1－3］，但是没有考虑矩阵∑21不为零时的情形，统计量T（＾γT－γ）的极限分布是非标准的。本文将研究同积向量的充分改进的最小二乘估计方法，旨在克服这一困难。这一研究可以为实际的微观金融资产波动分析提供有力的工具。

1 同积向量的最小二乘估计

若n维随机向量同积，并有同积向量a，那么a可由最小二乘法一致地估计得到。为说明最小二乘法的合理性，作以下考虑。a为yt的同积向量，因此zt＝a′yt为一单变量I（0）的过程。

但是，若a不是yt的同积向量，那么zt＝a′yt仍为I（1）变量，此时可得

式（1）中，T为样本量，W（r）是标准维纳过程，r∈ ［0，1］。令Λ＝Ψ（1）P，Ψ（L）为无穷阶滞后多项式，Λ决定于Δyt的自相关系数矩阵。（1）式是一正定的二次型，从而有

因此，只要ｙｔ是同积的，并有同积向量ａ，以下最优问题

的解a，即A的最小二乘估计，是同积向量的一致估计。

同积向量的最小估计通常在同积过程的三角表示形式中进行。同积过程｛yt｝的三角表示形式为：

这里，y1t为单变量随机变量，y2t为（n－1）维随机向量。现有文献给出了参数α和γ的最小二乘估计。

2 充分改进的最小二乘估计

同积向量的充分改进的最小二乘估计（fully modified OLS），简称改进的OLS。考虑同积系统的三角表示形式：

（u1t，u2t）′有表示形式＝ Ψ（L）ε，其中，Ψ（L）为无穷阶滞后多项式，｛εt｝独立同分布，E（εt）＝0，D（εt）＝E）＝ Ω＝PP′。令Λ ＝ Ψ（1）P，则有：

若∑21不为零，构造将其从y1t中减去，可得修改后的同积系统为＝α＋＋，其中其中的矩阵L′对中的参数作估计，得最小二乘估计＾α＋T和＾γ＋T，

其中，W（r）为n维标准维纳过程，参数δ＋的表示式：

方差矩阵∑可由下式

3 结论

综上分析，构造充分改进的最小二乘估计＾α＋＋T和＾γ＋＋T需要采取以下步骤：先以y1t对常数和y2t作回归，取得残差＾u1t；然后用＾u1t和＾u2t构造估计量＾Γv和；对y1t作调整＝计算＾δ＋；最后用对常数和y2t作回归，并将 T＾δ＋从（∑y2t＾y＋1t）中减去。

值得注意的是，以上的分析并不依赖于u1t和u2t的具体的参数结构，所以从这个意义上说，改进的OLS方法是一种非参数的方法，有助于充分的最小二乘估计。

［1］ 王志强.基于改进最小二乘支持向量机的最优解估计方法［J］.计算机与应用，2013（11）：27－28.

［2］ 程延强.广义均方误差标准下双类估计优于最小二乘估计的充分条件［J］.中国科教创新导刊，2008（10）：21－23.

［3］ 杨旸.相依误差下线性回归模型最小二乘估计的相合性［J］.统计与决策，2014（4）：31－33.

［4］ 陈海清.广义Pareto分布参数的最小二乘估计［J］.应用概率统计，2013（4）：64－70.

［5］ 尹小红.线性模型广义最小二乘估计的中偏差、重对数律与相对效率［J］.湖南文理学院学报：自然科学版，2013（3）：27－28.