利用几何画板为学生的几何直观“保驾护航”

一、关于“几何直观”

在《数学课程标准》（2011年版）中，新增了“几何直观”这个关键词，引起了数学教育界的广泛讨论。在数学教育文献中，认为“直观是直接从感觉的具体的对象背后，发现抽象的、理想的状态的能力”。克莱因认为数学的直观即是对概念、证明的直接把握。徐利治认为，几何直观就是借助看到的或想到的集合图形的形象关系产生对数量关系的直接感知。综上所述，几何直观代表了一种从图形出发发现问题本质的能力。

几何直观能力主要包括空间想象能力（如识图、画图、制模能力），直观洞察能力（对图形位置、角度大小的判断），用“图形语言”来思考问题的能力（数形结合思想）。在小学几何教学中更多的是关注实验几何、经验几何和几何直观能力。通过学生的拼一拼、折一折、量一量等操作，要求学生凭借自己看得到的，经过不完全归纳，得到一些数学结论。

依赖几何直观的“直观型”课程成为数学课程设计的主流之一，我国新课程已经把几何直观看做是贯穿数学课程的线索之一。新课标中重点培养学生的几何直观能力，是希望学生能够凭借图形的直观性特点将抽象的数学语言与直观的图形语言有机结合起来，使抽象思维同形象思维结合起来，发现问题的本质，突破数学理解上的难点。

二、“几何直观”培养教学的困难

对几何直观能力的培养应该渗透于小学阶段各种不同类型的知识点的教学中，特别是在几何图形内容的教学过程中更应该着重突出。但在目前的几何教学中，往往会遇到这些困难：1.学习内容过于抽象，学生无法理解；2.学习结论已知，学生无学习兴趣。

在欧式几何中公理化地认定点无大小，线无长短，面无大小，这些理想化的定义与学生已有的生活经验相冲突。很多学生认为几何比代数难学，原因就在于几何比代数更难在生活中寻找到实体经验的支持，很大程度依赖于学生自身的空间想象能力和逻辑思维能力。但小学阶段是培养学生几何直观能力的起点，我们需要借助一定的具体表象，帮助学生将抽象的概念具体化。否则，过于抽象的几何概念会造成学生学习上的挫败感，挫败感会阻碍学生对几何图形的兴趣和探索，也就失去了培养学生几何直观能力的机会。

几何概念是抽象的，但小学生一旦获取了某个结论，学习探索也往往就到此为止，停留在“知其然，不知其所以然”的阶段。正如一本悬疑小说提前知道了结局，那估计没有几个读者会愿意再去读作品了一样。随着学生接触的信息量逐渐变大，学生会越来越早获得课本上甚至课本外的知识结论，一旦已经有了知识结论，就会自动省略探究过程，即使在教师的要求下进行一些实验操作，也是抱着结论进行的可有可无的操作活动，甚至忽略了操作过程中一些不符合结论的情况，这样也就失去培养学生几何直观能力的机会。

但这样的情况会在日后的课堂教学中经常呈现，笔者以《圆的认识》一课为例，希望通过信息技术的引入，即几何画板的采用，对这类问题的解决有一定的启发。

三、几何画板的引入

1．对图形的理解帮助

如何让学生体会“无数”呢？学生接触过自然数的无穷性，但图形中的无数在生活中是没有实物支持的。在一个圆中，半径有无数条，就是归结为圆是由无数个点组成的。但凡是我们能看到的就是有限的，那么几何画板能做的就是比人工绘制更趋向于无限。

测量是很多数学结论获取的基础，但测量必定会出现误差。这时几何画板的引入能帮助学生进行大量的数学实验，初步帮助学生形成某种猜想或是验证某个猜想。三角形内角和、三边关系等凡是涉及测量的数学实验都可以引入几何画板，但即使是计算机，在数值精确的取舍上也会造成一些数据的呈现不符合结论，这时更是锻炼学生几何直观能力的机会。

随着计算机的普及，完全可以让学生利用几何画板进行大量的数学实验，通过数据猜想数学结论，这样对几何直观能力的培养会更加高效。

四、直观背后的数学理性

直观是前提，抽象是本质，适度是关键。欧几里得的《几何原本》作为几何领域的典范著作，却是在古埃及、古巴比伦时期的“直观几何”的基础上发展起来的。数学其他分支的形成、发展也是如此。数学发展的历史进程，反映了人类对数学的认识过程——直观和逻辑之间相辅相成。事实上，存在于“直观几何”与“欧氏几何”之间的“希腊初期的几何”，已经出现了演绎证明的逻辑成分。数学发展的历史过程，可以反映出人类对数学的认识过程。

几何直观能力的培养最终是希望提高学生的数学能力，能够让学生自己解决问题，甚至是教师未曾教学的内容，这背后的数学理性才是每个数学老师追求的最高境界。♪