例谈构造法解题

　　构造法是通过构造图形、函数、事例等解决数学问题的一种方法.对于某些题目，如果能恰当地运用构造法，就会使问题得到巧妙简捷的解决，现举要如下.
　　一、构造事例
　　例1：求证C■■+C■■+C■■…+C■■=2■
　　证明：集合｛a■，a■，a■，…，a■｝的子集个数是C■■+C■■+C■■…+C■■.
　　另外，求该集合的子集个数也可这样进行：分n个步骤，每一步都有2种方法，即a（i=1，2，3，…，n）选或不选，从而得子集个数为2■.
　　∴C■■+C■■+C■■…+C■■=2■.
　　例2：求（a+b+c）■展开式共有多少项.
　　解：（a+b+c）■展开式中的项为a■b■c■，其中m+n+l=10（m，n，l∈N），于是就转化为求该不定方程的非负整数解有几解.
　　现构造事例如下：画12个“O”，将其中两个“O”用“/”划去，记剩下的10个“O”在两划线“/”的左中右的个数为（比如?覫?覫OOOOOOOOOO表示m=0，n=0，l=10），那么不定方程的每一非负整数解对应于此事例中的一种划法，反过来此事例中的每一种划法对应于该不定方程的一个非负整数解.
　　∴（a+b+c）■展开式项数为C■■=66.
　　问题（2012陕西理，8）：两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同的情形）共有（?摇?摇）
　　A.10种?摇?摇?摇?摇B.15种?摇?摇?摇?摇C.20种?摇?摇?摇?摇D.30种
　　分析：问题相当于在OOOOO中取到3个的为胜者，比如取到当中3个的，则此人第一局输，第二、三、四局赢，共比赛四局.故共有2C■■=20种情形，选C.
　　二、构造图形
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　例1：已知正四面体A-BCD的棱长为a，求
　　（1）外接球的半径；
　　（2）与棱都相切的球的半径.
　　分析：（1）构造一个正方体，使正四面体的各棱为正方体的面对角线，那么正方体的外接球就是正四面体的外接球.
　　易得正方体的半径为■a，故外接球的半径为■·■·■a=■a.
　　（2）所求的球即为上题中构造的正方体的内切球，故所求半径为■·■a=■a.
　　例2：已知x，y，z∈（0，1），求证：x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）＜1.
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　证明：构造边长为1的正三角形ABC，
　　在边AB、AC、BC上分别取点D、E、F，
　　使AD=x，CE=y，BF=z，
　　则BD=1-x，AE=1-y，CF=1-z.
　　由△ADE、△CEF、△BFD的面积之和小于△ABC的面积，得
　　■x（1-y）+■y（1-z）+■z（1-x）＜■，即x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）＜1.
　　三、构造函数（或式子）
　　例1：证明：（a■■+a■■+…+a■■）（b■■+b■■+…+b■■）≥（a■b■+a■b■+…a■b■）■.
　　分析：要证明原不等式，只需证明
　　4（a■■+a■■+…+a■■）（b■■+b■■+…+b■■）≥［2（a■b■+a■b■+…+a■b■）］■.
　　由此联想到一元二次函数根的判别式，故可构造一个二次函数.
　　证明：构造函数
　　y=（a■■+a■■+…+a■■）x■+2（a■b■+a■b■+…+a■b■）x+（b■■+b■■+…+b■■）（*）
　　即y=（a■x+b■）■+（a■x+b■）■+…+（a■x+b■）■，易知对任意x∈R，总有y≥0.
　　（1）若a■■+a■■+…+a■■=0，即a■=a■=…a■=0，所证不等式显然成立；
　　（2）若a■■+a■■+…+a■■＞0，则（*）中△=［2（a■b■+a■b■+…+a■b■）］■-4（a■■+a■■+…+a■■）（b■■+b■■+…+b■■）≤0，则所证不等式成立.
　　综上，所证不等式总成立。
　　例2：求sin18°值.
　　分析：构造一个与sin18°有关的等式，然后通过解方程求得sin18°的值.
　　解：∵sin36°=cos54°
　　∴2sin18°cos18°=4cos■18°-3cos18°
　　即2sin18°=4cos■18°-3
　　化为4sin■18°+2sin■18°-1=0
　　解得sin18°=■（舍去）或sin18°=■
　　∴sin18°=■