发散思维在初中数学教学中的应用

[摘 要] 数学新课程改革强调，发展学生的个性和创新能力是教学的核心， 而培养学生的发散性思维是实现这一目标的重要手段之一. 笔者结合教学中的实践经验及发散思维在初中数学课堂的应用，提出了几点培养发散思维的建议.

[关键词] 新课改；初中数学；课堂教学；发散思维

发散思维（Divergent Thinking）又称为求异思维或辐射思维，指大脑在思维过程中呈现出的一种扩散状态的思维模式，表现为思维视野广阔. 美国心理学家吉尔福特认为，发散思维具有流畅性、灵活性、独创性三个主要特点. 流畅性指智力活动进行的畅通，是发散性思维量的指标；灵活性指思维的多方指向性，如触类旁通、随机应变；独创性指思维从不同角度思考同一问题，如一题多解、一物多用等方式培养思维能力. 学校提倡的发散思维是在教育环境中创造一定的提升空间，满足不同学习者的需要，真正达到“授人以渔”的目的. 因此，如何提高对学生发散思维的培养成为研究者们的关注热点. 现结合自己在教学中的实践经验， 对发散思维在初中数学教学课堂的应用进行的探究， 提出了几点培养发散思维的建议.

■ 培养发散思维鼓励一题多解

发散思维代表了一个人思维能力的广度与灵活度，良好的数学能力首先建立在优秀的发散思维基础上. 数学题的答案只有一个，但获取答案的路径却有很多. 数学教学不是告诉学生答案，也不仅仅是为其指明一条路径，而应鼓励、培养学生自主探索的能力. 盲目地陷入题海，不如鼓励学生用多种方法求解经典题目，倡导一题多解、一题多思，养成良好的发散思维能力，即便面对陌生、复杂的题目也能尽快发现多种解题路径.

例1？摇 如图1所示，D，E两点在△ABC的边BC上，AB=AC，AD=AE，求证：BD=EC.

■

分析1？摇 此题出现在刚学完三角形全等的判定方法之后，学生易受满足任意三个相等条件判定三角形全等的定式思维影响而出错，而这种思维是片面的. 比如，有些同学由AB=AC得到∠B=∠C，联系条件AB=AC，AD=AE得到△ABD≌△ACE后即推出结论.

分析2？摇 此题不利用“SSS”判定，其余判定方法均可，借此例可以回顾全等三角形判定方法的应用.

证法1？摇 由AB=AC，AD=AE可得∠B=∠C，∠ADE=∠AED. 由三角形的外角性质可证得∠BAD=∠CAE，所以△ABD≌△ACE（SAS）. 所以BD=EC.

证法2 ？摇由证法1可知∠BAD=∠CAE，∠B=∠C，又AB=AC，所以△ABD≌△ACE（ASA）.

证法3 ？摇可证∠BAD=∠CAE，再证△ABD≌△ACE（AAS）.

分析3 ？摇可引导学生添加辅助线，通过不证三角形全等解决问题，让学生应用等腰三角形三线合一的性质.

证法4 ？摇如图1所示，过点A作AF⊥BC于点F，因为AB=AC，AD=AE，AF⊥BC，所以BF=FC，DF=EF. 所以BD=EC.

证法5 ？摇作△ADE底边的中线或顶角平分线也可证明.

同时，在教学过程中引导学生自主修改题目条件的教学方式也是培养发散思维的有效手段. 在一题多解的基础上，学生通过修改题目建立新题，不仅是对题目本身更深层次的理解，也是一种问与答的角色转换. 学生站在提问者的角度看待问题，有助于他们发现数学定理万变不离其宗的原理.

■ 善用发散思维做到一题巧解

发散思维有助于学生一题多解，但缜密的集中思维能将其提升为一题巧解. 在很多习题解答中，不少学生都能发现两种以上的解题思路，但这并不意味着他们能找到最快捷的解题方法. 如恰恰选择了复杂的解题思路，很容易在推导过程中犯错并花费更多的时间. 巧用定理往往能简化解题步骤，而这必须建立在学生对公理、定理与推论拥有深层次理解的基础之上.

例2？摇 已知0

A. a+b B. a-b C. a+b2 D. a 2+b

这种字母类问题看似不知如何下手，要想准确计算不容易，可将一般问题转化为特殊问题，即将“特殊值”代入各个选项计算，则可轻松获解. 不妨设a=0.6，b=-0.6，计算得A=0，B=1.2，C=0.96，D=-0.24，所以答案为B. 这些在代数中用特殊值，几何题用特殊值来思考，就是培养学生创造性地做题的发散思维能力.

例3？摇 已知■（■-1）=2，求a+b的值.

该题若直接算出a，b的值，很难，但若把a+b看成一个整体，设■=t，则方程可简化为非常简单的一元二次方程t（t-1）=2，容易求出t=2或t=-1（舍去），从而求出■=2，a+b=4.

此类例题主要培养学生发散思维的创造性，做题时不拘泥于形式，能够大胆地简化问题、快速求解. 发散思维不仅包括思考方向多变，也包括逆向思维.

例4？摇 已知方程2x 2-（3m+n）x+mn=0，且2m>n>0，求证：方程的两实数根中一个比n大，一个比n小.

此题若先求出方程的两根，再与n进行比较，是一个很笨的方法. 下面介绍一种运用逆向思维解题的方法：设方程的两根为x■，x■，要证结论即证（x■-n）·（x■-n）<0，结合根与系数的关系得（x■-n）（x■-n）=x■x■-n（x■+x■）+n 2=■<0.

本题没有确定的数值，但有一定的性质特点. 思考时方法不止一个，但效果不同. 培养学生的发散思维能力时，我们要鼓励引导学生找出最简洁的方法，不仅要培养思考的广阔性，还要培养发散思维的能力.

培养发散思维最有效的方式莫过于让学生总结在解题过程中所用到的公理、定理，一题多解能让学生发现解答同一题所用到的多种定理、推论，而对定理的再反思则有助于学生总结如何筛选、发现最简易快捷的解题路径，努力使数学成为学生的乐趣.

■ 善用发散思维做到一题巧解

数学试题千变万化，因此教师在课堂教学中要经常进行“一题多变”，引导学生大胆联想，可以使学生看到所学知识的联系，激发学习积极性、趣味性，培养探索、创新能力，防止就题论题的思维方式. 通过关联教学，还可以让学生从不同侧面加深对问题本质的认识，这是培养发散思维能力很好的途径. 采用一法多用的教学模式，不仅能培养学生多思多问、自主探索的习惯，还能培养学生敏锐的观察力和积极的求异思维.

（1）已知方程的一根，不解方程可求另一根及有关字母系数的值. 如已知方程5x 2-kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值.

（2）已知方程，求两根的和与两根的积表示的代数式的值，如利用根与系数的关系，分别求一元二次方程2x 2-3x-1=0两个根的平方和及倒数和.

（3）已知方程的两根之和与两根之积，求一个一元二次方程，使它的根是原方程各根的平方.

（4）与根的判别式结合，可判别两根的符号.

（5）利用根与系数的关系解决二次函数图象与x轴交点问题.

发散思维练习在初中数学教学课堂中的应用是一个发展中的问题，教师必须边探索总结、边实践改进，才可以将其很好地应用于数学课堂教学，给整个教学过程带来益处. 初中生有其独特的心理特征，逆反心理、好胜心和求知欲都很强烈，教师可以根据学生这一特点进行教学方法、教学方式的改变，使学生时刻保持学习热情，积极投入到数学课堂发散思维练习中. 当然，初中数学课堂发散思维练习是一种新型的数学教学模式，其发展仍需要广大教师同仁的共同努力和探索.