基于MCMC 的MTBF 值区间估计方法研究

孟庆东，杨 珍

(佛山市南海区技师学院，广东 528237)

0 引言

对机电产品进行可靠性分析最基本的工作是要确定其寿命分布参数。机电产品寿命服从两参数Weibull 分布，其分布参数的贝叶斯估计需要对后验分布进行二重积分。根据贝叶斯公式，在求解可靠性特征量MTBF 值区间估计时，需要进行内积分限为函数的二重积分。在进行积分时，由于Bayes 后验分布复杂且内积分限为函数，数值积分方法失效［1-3］。

利用Bayes 理论进行统计推断，需要积分运算。对于两参数Weibull 分布，需要对Bayes 后验分布进行二重积分。一般有两种方法进行积分运算，即数值积分与Monte Carlo 积分。

运用数值积分计算时会遇到一些问题。当被积函数较复杂时，将导致计算精度降低。同时，积分区间的大小也会直接影响计算结果，使得Bayes 后验计算出现不稳定的趋势。对于多重积分，因为每个外层积分都取决于内层积分在一组点上的取值，所以会出现误差的累积。

Monte Carlo 积分从目标分布中抽样模拟，利用随机抽样所得点进行统计推断，避免了数值积分中的求积节点计算与系统网格的划分，使得积分计算的效率与可操作性显著提高。但是，在Bayes 推断中，运用Monte Carlo 方法是有困难的，具体表现在Bayes 后验分布多为复杂、高维非标准的分布。当目标密度函数易于抽样时，可以利用Monte Carlo 方法产生近似样本，并利用样本的函数值计算Bayes 后验期望估计。当目标密度函数难以抽样时，可以利用MCMC 方法思想直接构造出Bayes 后验分布π(m，η|T)的马尔科夫链，基于所得样本可以进行各种统计推断［4-6］。

1 MCMC 方法

MCMC 方法通过建立一个以后验分布π(x)为平稳分布的马尔科夫链，对π(x)进行抽样，然后根据所得样本进行统计推断［7］。如通过抽样得到π(x)的样本X(1)，…，X(n)，则:

其中D 为状态空间，于是可得估计:

如果X(1)，…，X(n)是平稳分布为π(x)的马尔科夫过程的样本时，上式也成立。

为了构造马尔科夫链，设给定状态Xt条件下，下一步状态为Xt+1。则任意选择一个不可约转移概率q(* ，* )以及一个函数α(* ，* )，定义p(x，y)=q(x，y)α(x，y)，则p(x，y)为马氏链一个转移核。如果链在时刻t 处于状态x，即X(t)= x，首先由q(* | x)产生一个潜在的转移x →y，然后根据概率α(x，y)决定是否转移。可以从Unif(0，1)中抽一个随机数u，则:

通常，称q(* ，* )为建议分布。

为使后验分布π(x)成为平稳分布，在有q(* ，* )后，应选择一个α(* ，* )使相应的p(x，y)以π(x)为其马氏链平稳分布，可以选择:

此时，可以证明产生的马尔科夫链是可逆的，满足平稳方程，即: π(x)q(x，y)= π(y)q(y，x)

2 Weibull 分布下MTBF 值区间估计

2.1 先验分布为伽马－ 逆伽马分布的MTBF 值区间

选取均匀分布分布为建议分布，则:

其中，α(x，y)为Metropolis-Hastings 比率，my和ηy是在一步迭代中，从建议分布中抽取的建议值，mx和ηx是一步迭代的初始值。迭代过程如下:

①θ = (m，η)= (θ(t－1)0，θ(t－1)1);

②从建议分布Unif(－0.5，0.5)中产生候选点;θ'

③令θ″ = θ + θ'，即让建议值随机游动一个距离;

④根据上式计算接受概率α(θ，θ″);

⑤以概率α(θ，θ″)接受θ″ = θ(t)，否则令θ =θ(t)。

以某机电新产品运行时间为现场样本，用上述方法进行计算，得到结果如表1 所示。

表1 MCMC 方法计算结果

图1 和图2 分别是参数m、η 以及MTBF 值的全部迭代轨迹和后验分布的密度直方图。

图1 参数m 和η 及MTBF 值迭代轨迹图

图2 参数m 和η 及MTBF 值的后验密度直方图

由于计算可靠性特征量MTBF 值区间估计时，数值积分方法失效，依据工程经验用参数点估计的区间估计端点来近似MTBF 值的置信区间。但是这种方法存在一定问题，一是求得的置信区间精度不高，有扩大的趋势;二是近似方法并没有可靠的理论支撑。通过表1 的计算结果，可以看出MCMC 方法解决了上述问题，使得可靠性评估在质量与效率上都得到提高。

2.2 先验分布为二元正态分布的MTBF 值区间估计

先验分布为二元正态分布时，计算结果如表2 所示。

表2 MCMC 方法计算结果

图3 和图4 分别是参数m、η 以及MTBF 值的全部迭代轨迹和后验分布的密度直方图。

图3 参数m 和η 及MTBF 值的迭代轨迹图

图4 参数m 和η 及MTBF 值的后验密度直方图

3 结论

通过MCMC 构建马尔科夫链，使Bayes 后验计算运用的数值积分方法转化成从简单的分布中抽样并推断。基于抽样所得分布参数样本，MTBF 值、可靠度、失效率等各种可靠性特征量的求解都可以有效实施，不再受数值积分的限制，提高了模型计算的稳定性、可操作性与适应性。MCMC 方法解决了数值积分问题带来的不便，有利于贝叶斯理论在可靠性评估中的推广。

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